Ber¨ akning av v¨ arme¨ overf¨ oringstal

S˚asom fr˚an v¨arme¨overf¨oringsl¨aran ¨ar bekant kan v¨arme¨overf¨oringstalet vid forcerad konvek-tion ber¨aknas med uttryck av typen

N u=f(Re, P r, ...) (5.1.51)

d¨ar N u ¨ar Nusselts tal, Re ¨ar Reynolds’ tal och P r ¨ar Prandtls tal. Dessa variabelsam-manst¨allningar har man kommit till medelst dimensionsanalys och genom att utnyttja t.ex.

gr¨ansskiktsbetraktelser. Genom att anpassa l¨ampliga sammanst¨allningar av dessa dimen-sionsl¨osa variabler till experimentellt erh˚allna v¨arden har man f˚att uttryck, med vilka Nusselts tal och d¨armed det i detta tal ing˚aende v¨arme¨overf¨oringstalet kan ber¨aknas f¨or ett stort an-tal tekniskt viktiga v¨arme¨overf¨oringsf¨orlopp. M˚anga viktiga funktionella samband av typen (5.1.51) har angivits av McAdams (6). Utg˚aende fr˚an gr¨ansskiktsbetraktelser erh˚alles f¨or geometriskt enkla v¨arme¨overf¨oringsproblem sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek. Man kan i dylika fall ¨aven s¨aga att h¨ogerledet i (5.1.51) kan utnyttjas f¨or att empiriskt kartl¨agga tjockleken p˚a det ideala gr¨ansskiktet.

Vi skall i det f¨oljande h¨arleda sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek f¨or tv˚a geometriskt enkla fall.

Det f¨orsta fallet g¨aller v¨armeledning fr˚an en cylindrisk yta med radien R (t.ex. ett r¨or).

Utg˚aende fr˚an v¨armeledningsekvationen, Q˙ =−λ·A· dΘ

dr =−λ·2·π·r·L· dΘ

dr (5.1.52)

g¨aller f¨or gr¨ansskiktet, ∫ R+∆

R

dr

r =−λ·2·π·L Q˙

∫ Θ∆

Θ_R

dΘ (5.1.53)

varur erh˚alles,

Q˙ =−λ·2·π·L

ln(^R+∆_R ) (Θ_∆−Θ_R) (5.1.54)

Utg˚aende fr˚an konvektiv v¨arme¨overf¨oring har man,

Q˙ =α·A·(ΘR−Θ∆) =α·2·π·R·L·(ΘR−Θ∆) (5.1.55) Genom att kombinera (5.1.54) och (5.1.55) samt utnyttjadet av definitionslikheten f¨or Nus-selts tal,

N u= α·d

λ (5.1.56)

erh˚alles sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek f¨or en cylindrisk kropp enligt,

N u= 2

ln(1 + ^∆_R) (5.1.57.a)

Utg˚aende fr˚an ekvation (5.1.57.a) erh˚alles f¨or gr¨ansskiktets tjocklek,

∆ = d

2(e^{N u2} −1) (5.1.57.b)

Ekvationerna (5.1.57.a) och (5.1.57.b) ger sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek vid v¨arme¨overf¨oring ut fr˚an en cylindrisk yta. Ifall v¨arme¨overf¨oringen sker in˚at fr˚an den cylindriska ytan (t.ex. till mediet inne i ett r¨or) ¨andras uttrycken (5.1.57.a-b) enligt,

N u= −2

ln(1− ^∆_R) (5.1.57.c)

samt utg˚aende fr˚an ekvation (5.1.57.c) erh˚alles f¨or gr¨ansskiktets tjocklek,

∆ = d

2(1−e^{N u−2}) (5.1.57.d)

Man kan ur uttrycken (5.1.57) konstatera att med minskad gr¨ansskiktstjocklek ¨okar Nusselts tal och vice versa. Vidare kan man konstatera att gr¨ansv¨ardet f¨or o¨andligt tjockt gr¨ansskikt (vid v¨arme¨overf¨oring ut˚at) och maximalt gr¨ansskikt (∆ = ^d₂) vid v¨arme¨overf¨oring in˚at ger Nusselts tal lika med noll varvid v¨arme¨overf¨oringen avstannar.

Ofta utnyttjas samma uttryck f¨or ber¨akning av Nusselts tal vid v¨arme¨overf¨oring till mediet p˚a inre respektive yttre sidan av r¨or. I dylika fall g¨aller f¨or det fall att Nusselts tal ¨ar detsamma f¨or vardera fallet sambandet mellan det ideala gr¨ansskiktets tjocklek p˚a inre respektive yttre sidan av r¨oret enligt (5.1.57.a) och (5.1.57.c),

∆_in = d

2( ∆ut d

2 + ∆ut

) (5.1.57.e)

Ur ekvation (5.1.57.e) kan konstateras att d˚a det yttre gr¨ansskiktets tjocklek g˚ar mot noll motsvaras detta av att det inre gr¨ansskiktets tjocklek g˚ar mot noll samt d˚a det yttre gr¨ ans-skiktets tjocklek g˚ar mot o¨andligheten g˚ar det inre gr¨ansskiktets tjocklek mot ^d₂.

Det andra geometriska fallet f¨or vilket vi skall h¨arleda sambandet mellan gr¨ansskiktets tjock-lek och Nusselts tal ¨ar v¨arme¨overf¨oring fr˚an en sf¨arisk kropp med radien R. Utg˚aende fr˚an v¨armeledningsekvationen f˚as f¨or en sf¨arisk kropp,

Q˙ =−λ·A· dΘ

dr =−4·π·r²·λdΘ

dr = 4·π·λ dΘ

d(¹_r) (5.1.58) Varvid f¨or gr¨ansskiktet g¨aller,

∫ _R+∆¹

P˚a motsvarande s¨att som i det f¨oreg˚aende fallet f˚as utg˚aende fr˚an konvektiv v¨arme¨overf¨oring, Q˙ =α·A·(ΘR−Θ∆) =α·4·π·R²·(ΘR−Θ∆) (5.1.61) Kombineras uttrycken (5.1.60) och (5.1.61) samt utnyttjandet av definitionen p˚a Nusselts tal enligt (5.1.56) erh˚alles f¨or en sf¨arisk kropp sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek,

Det kan vara v¨art att notera att f¨or en sf¨arisk kropp kommer Nusselts tal att asymptotiskt g˚a mot v¨ardet 2 n¨ar gr¨ansskiktet ¨okar i tjocklek. D.v.s. v¨arme¨overf¨oringen fr˚an en sf¨arisk yta kan inte minskas till noll genom att ¨oka gr¨ansskiktets tjocklek. F¨or gr¨ansskiktstjockleken

∆ =d¨ar N u= 3 vilket inneb¨ar att v¨arme¨overf¨oringen fr˚an en sf¨arisk kropp till omgivningen genom ett gr¨ansskikt som ¨ar tjockare ¨an diametern hos den sf¨ariska kroppen i stort s¨att regleras av gr¨ansskiktets v¨armeledningsf¨orm˚aga λ. Ifall gr¨ansskiktets tjocklek ¨ar mindre ¨an den sf¨ariska kroppens diameter kommer gr¨ansskiktets tjocklek d¨aremot att vara avg¨orande f¨or v¨arme¨overf¨oringen.

Trots att man i ovanst˚aende h¨arledningar definierat ett samband mellan Nusselts tal och tjockleken p˚a ett idealt gr¨ansskikt kan dock sambandet mellan Nusselts tal och ¨ovriga dimen-sionsl¨osa grupper empiriskt kartl¨aggas utan begr¨ansningar h¨anf¨orda till ett idealt gr¨ansskikt med ekvation (5.1.51). Uttrycket (5.1.51) b¨or d˚a uppfattas som ett rent empiriskt samband mellan v¨arme¨overf¨oringstalet och ¨ovriga variabler. Sambandet till ett idealt gr¨ansskikt ger dock en viss utg˚angspunkt f¨or definiering av strukturen p˚a h¨ogerledet i ekv. (5.1.51). F¨or sf¨ariska kroppar utnyttjas t.ex. uttryck av typen,

N u= 2 +b1·Re^b2 ·P r^b3 (5.1.63) medan t.ex. f¨or cylindriska kroppar utnyttjas,

N u=b1·Re^b2 ·P r^b3 (5.1.64) T.ex. i Fagerholm (15) ges flera uttryck av ovann¨amnd typ f¨or olika str¨omningsfall. Uttrycken av typen (5.1.51) samt (5.1.63-64) kan med f¨ordel ¨overf¨oras till kvotekvationer. I det f¨oljande ges n˚agra praktiskt anv¨andbara kvotekvationer f¨or ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstalet i v¨armev¨axlare. Vid v¨arme- och mass¨overf¨oring (t.ex. torkning) ¨ar det ¨aven brukligt att korrigera v¨arme¨overf¨oringstalet f¨or samtidig mass¨overf¨oring. Dylika uttryck genomg˚as dock inte i detta sammanhang. I ¨Ohman (16) ges en del v¨ardefulla synpunkter p˚a modeller f¨or samtidig v¨arme- och mass¨overf¨oring f¨or n˚agra geometriskt enkla fall.

Det i ovanst˚aende uttryck ing˚aende Prandtls tal ¨ar enbart beroende av det str¨ommande mediets egenskaper och kan ber¨aknas med likheten

P r = 3,60·( µ

cP)·( cp

kJ/kg^◦C)·(kJ/mh^◦C

λ ) (5.1.65)

Vid ber¨akning av Re b¨or str¨omningskanalens geometri vara bekant. F¨or str¨omning inuti en tub eller annan sluten kanal g¨aller

Re= 1110·( m˙

t/h)·( m lv.yta

)·(cP

µ ) (5.1.66)

H¨ar ¨ar ˙m viktstr¨ommen i kanalen, l_v.yta den del av kanalens omkrets, ber¨aknad vinkelr¨att mot str¨omningsriktningen, som gr¨ansar till v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen samt µdet str¨ommande mediets viskositet vid k¨arnstr¨ommens temperatur.

F¨or turbulent str¨omning i en sluten kanal g¨aller α = 1,69·( λ H¨ar ¨arλdet str¨ommande mediets v¨armeledningsf¨orm˚aga,A¨ar str¨omningstv¨arsnittet i kanalen samtµv¨ar mediets viskositet vid v¨aggtemperaturen. Denna likhet kan anv¨andas f¨or organiska v¨atskor, icke starkt utsp¨adda vattenl¨osningar samt f¨or gaser inom omr˚adena

0,7< P r <120

Re >10.000 l/l_v.yta>60 d¨ar l ¨ar kanalens l¨angd i str¨omningsriktningen.

F¨or vatten och starkt utsp¨adda vattenl¨osningar anser Kern (1) att (5.1.67) ger f¨or h¨oga v¨arden och rekommenderar ett utbyte av koefficienten 1,69 mot 1,44. De egenskaper hos vatten, som ¨ar av betydelse i v¨arme¨overf¨oringsh¨anseende, kan uttryckas som funktioner av vattentemperaturen, den i v¨arme¨overf¨oringsh¨anseende ekvivalenta diameternde och vattnets str¨omningshastighet w i kanalen, varvid

d_e= 4·A/l_v.yta (5.1.68)

w = 2,78·( m˙

t/h)·(cm²

A )m/s (5.1.69)

F¨or vatten, som ju ¨ar ett synnerligen vanligt kylmedium i industrin, har Kern (1) gett diagram f¨or ber¨akning av α, vilka i n˚agot modifierad form ges av uttrycket,

( α

MJ/(m²h^oC)) = ( w

m/s)^0,8( de

mm)^−0,2(20 + 0,275(Θ

oC)) (5.1.70) F¨or lamin¨ar str¨omning i cirkul¨ara tuber kan man ber¨akna v¨arme¨overf¨oringstalet med ut-trycket

och f¨or sm˚a v¨arden p˚a d_i och m˚attlig temperaturdifferens mellan v¨aggen och det lamin¨art str¨ommande mediet. F¨or stora di och stora temperaturdifferenser har man ¨aven naturligt konvektion i tuben, som verkar h¨ojande p˚a v¨arme¨overf¨oringstalet.

Vid korsstr¨om genom tubsatser kan Reynolds’ tal ber¨aknas f¨or den minsta str¨omningstv¨ ar-arean, varvid man f˚ar

d¨arp¨ar avst˚andet mellan tv˚a n¨arliggande tubers centrumlinje,b_y ¨ar tubernas yttre diameter, ltub ¨ar l¨angden av en tub samt n¨ar antalet tuber i ¨oversta tubraderna r¨aknade som h¨orande till den ¨oversta tubraden.

F¨or ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstalet vid turbulent str¨omning genom tubsatsen kan f¨oljande, med (5.1.59) sammanh¨orande uttryck anv¨andas:

α= 2200·f_A·( λ

kJ/mh^◦C)·(cm dy

)·( Re

1000)^0,61·P r^0,31kJ/m²h^◦C (5.1.73)

H¨ar ¨ar 0,7 < f_A < 1,3. Vilket v¨arde p˚a f_A som skall anv¨andas beror p˚a tubanordningen.

m˚anga tubrader i str¨omningsriktningen och i sick-sackanordning ger v¨arden p˚a fA n¨ara 1,3 medan f¨arre tubrader i rak anordning ger fA n¨ara 0,7.

Vid ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstalet p˚a mantelsidan av tubmantelv¨armev¨axlare som ¨ar f¨orsedda med sk¨armpl˚atar, vars h¨ojd ¨ar 75 % av mantelns inre diameterd_msamt vars inb¨ordes avst˚and ¨ar ls, ber¨aknas Re enligt, Ber¨aknas Re p˚a detta s¨att kan man ber¨akna v¨arme¨overf¨oringstalet med kvotektionen

α= 16·( λ Detta uttryck beaktar inte en eventuell str¨omning utanf¨or tubknippet och ej heller l¨ackage genom sk¨armpl˚atarna. En noggrannare ber¨akningsmetod, som beaktar dessa str¨ommar, har utvecklats av Bell (7).

5.1.4.4 Ber¨akning av v¨armegenomg˚angstalet vid kondensation

I det fall att det v¨armeavgivande ¨ar t.ex. fuktig luft och luften kommer i kontakt med en kall v¨armeyta kommer fukten i luften under vissa omst¨andigheter att b¨orja kondensera.

D˚a kondensering sker kommer v¨armegenomg˚angstalet att f¨or¨andras, vilket normalt resul-terar i en b¨attre v¨arme¨overf¨oring och som i sin tur medf¨or att den erforderliga v¨armeytan kommer att minska f¨or lika stor v¨arme¨overf¨oring eller vid konstant temperaturdifferens.

V¨armev¨axling med fuktig luft anv¨ands bl.a. i pappersindustrin d¨ar man tar tillvara v¨armen i den fuktiga luften fr˚an pappersmaskiners torkparti i s.k. v¨arme˚atervinningssystem. I dylika v¨arme˚atervinningssystem anv¨ands fuktig luft fr˚an torkpartiet f¨or att i luft-luft v¨armev¨axlare v¨arma upp torr uteluft som beh¨ovs vid torkningen och i luft-vatten v¨armev¨axlare v¨arma upp processvattenstr¨ommar.

I det f¨oljande ges n˚agra uttryck f¨or ber¨akning av det totala v¨armegenomg˚angstalet, ktot, d˚a det sker kondensering. Det b¨or kanske p˚apekas att uttrycken har skrivits i en s˚adan form att det totala v¨armegenomg˚angstalet ktot reduceras till det ”normala” v¨armegenomg˚angstalet, k, om ingen kondensering sker.

I det f¨oljande betecknas det kalla mediets lokala temperatur θ₁ och det varma mediets lokala temperatur θ2. Det varma mediets fukthalt x(θ2) vid temperaturen θ2 m˚aste ytterligare anges. I det fall det sker kondensering ¨ar det v¨armeavgivande mediet, givetvis, en gas och fuktkvoten anges som massan av den komponent i gasen som kommer att kondensera dividerat med den torra gasens massa.

L˚at k beteckna v¨armegenomg˚angstalet fr˚an kondensatet (med temperaturen θk) p˚a v¨ arme-ytan p˚a den varma sidan i v¨armev¨axlaren till det kalla mediet ochα₂ beteckna v¨arme¨overf¨ or-ingstalet vid samtidig mass¨overf¨oring fr˚an den fuktiga gasen till kondensatet. ktot anger det totala v¨armegenomg˚angstalet fr˚an det varma till det kalla mediet.

Om man uppst¨aller en differentiell energistr¨ombalans f¨or v¨arme¨overf¨oringen f˚as,

k·(θk−θ1)·dA=α2·(θ2−θk)·dA+ d ˙mk·[ha˙(θ2)−hk(θk)] (5.1.79) Genom att dividera energistr¨ombalansen med den differentiella ytan dA f˚as enligt Soininen (18),

k·(θk−θ1) =α2·(θ2−θk) + α2·[x(θ2)−x(θk)]

c_p,g(θ_k) ·[ha˙(θ2)−hk(θk)] (5.1.80)

d¨ar uttrycket framf¨or entalpidifferensen mellan ˚angan och kondensatet i h¨ogra membrum mot-svarar ^{d ˙}_dA^mk och ger definitionen av v¨arme¨overf¨oringstalet,α2, under samtidig mass¨overf¨oring, Soininen (18). d ˙m_k ¨ar den diferentiella kondensatm¨angden.

Om gr¨ansfuktkvoten xk(θk) ¨ar l¨agre ¨an fuktkvoten x(θ2) hos den varma gasen kommer det att ske kondensering, varvid fuktkvoten hos gasen vid kondensatskiktet (med temperaturen θk) kommer att vara lika med gr¨ansfuktkvoten. I detta fall inf¨ors x(θk) =xk(θk) i uttrycket (5.1.80). Ekvation (5.1.80) inneh˚aller s˚aledes endast en obekant variabel, kondensatets tem-peratur, θk. D˚a kondensatets temperatur har l¨osts kan det totala v¨armegenomg˚angstalet best¨ammas.

Gr¨ansfuktkvoten kan ber¨aknas enligt (3.4.6) d˚a gasens totaltryck,p_totoch ˚angans partialtryck pa˙ samt den torra gasens och den kondenserande gaskomponentens mol¨ara massor ¨ar givna.

F¨or fuktig luft ¨ar f¨orh˚allandet mellan vattnets och den torra gasens mol¨ara massor 0,622 varvid man erh˚aller uttrycket (3.4.7) f¨or ber¨akning av gr¨ansfuktkvoten. F¨or fuktig luft g¨aller

¨

aven att den m¨attade vatten˚angans tryck vid i fr˚agavarande temperatur kan ber¨aknas med god nogrannhet fr˚an m¨attningskurvan (3.3.7). Genom att definiera nollpunkten f¨or entalpin vid 0^oC kan ˚angans och kondensatets entalpi samt den specifika v¨armekapaciteten f¨or den varma gasen i (5.1.80) ber¨aknas med teknisk noggrannhet enligt,ha˙(θ2) = ∆hk(0^oC) +c^′′_p·θ2, h_k(θ_k) = c^′_p·θ_k och c_p,g(θ_k) =c_p,t.l.+x(θ_k)·c^′′_p. Numeriska v¨arden p˚a f¨or˚angningsentalpin,

∆hk(0^oC), de specifika v¨armekapaciteterna f¨or vatten,c^′_p, vatten˚anga,c^′′_p, och torr luft,cp,t.l., ges i avsnitt 3.4.2.

Uttrycket (5.1.80) ger kondenstatets temperatur, θ_k. Det totala v¨armegenomg˚angstalet kan d¨arefter ber¨aknas utg˚aende fr˚an energistr¨ombalansen,

ktot·(θ2−θ1) =k·(θk−θ1) (5.1.81) varvid erh˚alles,

ktot =k· θk−θ1

θ₂−θ₁ (5.1.82)

Observera att det totala v¨armegenomg˚angstalet enligt (5.1.82) har ber¨aknats vid de lokala temperaturerna θ₁ och θ₂ f¨or det kalla respektive det varma mediet. Eftersom v¨ armegenom-g˚angstaletktot f¨or¨andras under v¨arme¨overf¨oringen kan man, exempelvis, ber¨akna v¨armeytan genom att diskretisera temperaturen p˚a den kalla sidan och f¨or varje diskretiseringsteg ber¨akna den mot den diskretiserade ”kalla” temperaturen motsvarande temperaturen och fuktkvoten f¨or det varma mediet. D¨arefter kan man ber¨akna medeltemperaturdifferenser och v¨ armegenom-g˚angstal samt erforderlig v¨armeyta f¨or varje temperaturintervall.

Observera ¨aven att inf¨orandet av gr¨ansfuktkvoten, x_k(θ_k), i (5.1.80) f¨orutsatte att det sker kondensering p˚a den varma sidan i v¨armev¨axlaren, d.v.s. att gr¨ansfuktkvoten xk(θk), vid kondensatets temperatur ¨ar l¨agre ¨an fuktkvotenx(θ₂) hos den varma fuktiga gasen. I det fall att detta antagande inte g¨aller ¨ar x(θk) =x(θ2) i uttrycket (5.1.80). Varvid erh˚alles,

ktot·(θ2−θ1) =k·(θk−θ1) =α2·(θ2−θk) (5.1.83) Men eftersom det inte finns n˚agot kondensatskikt i detta fall kan man ers¨attaθkmed v¨ aggtem-peraturen,θ_w, p˚a den varma sidan i v¨armev¨axlaren och d¨arefter best¨amma v¨aggtemperaturen och ktot fr˚an likheterna i (5.1.83) varvid erh˚alles,

1 ktot

= 1

k + 1

α2

(5.1.84) α₂ anger i detta fall v¨armegenomg˚angstalet fr˚an det varma mediet till v¨aggen utan samtidig mass¨overf¨oring ochkv¨armegenomg˚angstalet fr˚an v¨aggen p˚a den varma sidan i v¨armev¨axlaren till det kalla mediet.

Exempel 5.9.

Best¨am erforderlig v¨armeyta f¨or uppv¨armning av 70 kg/ s kall luft fr˚an 10^oC till 45^oC med 20 kg/ s fuktig luft som har den inkommande temperaturen 80^oC och fuktkvoten 0,15 kg vatten/

kg torr luft. V¨arme¨overf¨oringen sker i motstr¨om. Ber¨akna ¨aven den varma fuktiga luftens temperatur och fuktkvot efter v¨armev¨axlaren. V¨armegenomg˚angstalet fr˚an kondensatskiktet till den kalla luften uppskattas vara k=0,06 kW/ m²/ ^oC och v¨arme¨overg˚angstalet fr˚an den varma fuktiga gasen till kondenstatet vid den samtidiga materie¨overf¨oringen α2=0,05 kW/

m²/ ^oC. Best¨am ¨aven det totala v¨armegenomg˚angstalet, k_tot, vid utloppstillst˚andet. Hur mycket st¨orre skulle det totala v¨armegenomg˚angstalet vara vid motsvarande tillst˚and om det kalla mediet skulle vara vatten. V¨armegenomg˚angstalet fr˚an kondensatskiktet till vattnet kan i detta fall uppskattas vara k=3 kW/ m²/^oC.

5.1.5. Tryckfall i v¨armev¨axlare

Vid p˚atvingad str¨omning med konvektiv v¨arme¨overf¨oring i slutna kanaler ¨ar b˚ade tryckfallet per l¨angdenhet och v¨arme¨overf¨oringstalet beroende av vikstr¨ommen i str¨omningskanalen.

Vid turbulent str¨omning ¨ar tryckfallet per l¨angdenhet n¨ara proportionellt med viktstr¨ommen upph¨ojd i potensen 2, medan v¨arme¨overf¨oringstalet enligt ovan givna uttryck ¨ar proportionellt med viktstr¨ommen upph¨ojd i potenser mellan 0,5 och 0,8.

Tryckfallet inuti tuber kan ber¨aknas med str¨omningsl¨arans teori. F¨or eng˚angsmotst˚anden vid anslutning av tubknippen till gavelstycken rekommenderar Kern (1) v¨ardetζ = 4, varvid

¨

aven en oj¨amn f¨ordelning av totala viktstr¨ommen i olika tuber i samma tublopp ¨ar beaktat.

Tryckfallet vid str¨omningen utanf¨or tuber ¨ar i h¨og grad beroende av tubanordningen. En metod f¨or ber¨akning av tryckfallet p˚a mantelsidan av tub-mantelv¨armev¨axlare ges av Emerson (8).

Vid dimensionering och k¨op av v¨armev¨axlare b¨or tryckfallet i dessa beaktas, ty med ett h¨ogre tryckfall f˚as ett b¨attre v¨armegenomg˚angstal f¨or v¨armev¨axlaren, vars v¨armeyta s˚alunda kan v¨aljas mindre. De minskade kostnaderna f¨or v¨armeytan m˚aste emellertid v¨agas mot de ¨okande konstnaderna f¨or den fl¨akt- eller pumpeffekt, som kr¨avs till f¨oljd av det ¨okande tryckfallet.

5.2. V¨armev¨axlarn¨at

5.2.1. Uppv¨armning- och avkylningskurvor

I det f¨oreg˚aende har v¨arme¨overf¨oring enbart i enskilda v¨armev¨axlare behandlats. Energieko-nomin i anl¨aggningar d¨ar flera v¨armev¨axlare ing˚ar ¨ar i h¨og grad beroende av hur effektivt de v¨armeavgivande medierna utnyttjas. Genom effektivt utnyttjande av i processen existerande varma och kalla str¨ommar kan m¨angden av externa resurser (f¨or uppv¨armning och kylning) minimeras. Prim¨ar- och sekund¨ar˚anga samt kondensat ¨ar de vanligaste v¨armeavgivande me-dierna i processindustrin. Genom ett rationellt utnyttjande av kondensat samt sekund¨ar˚anga kan m¨angden prim¨ar˚anga minimeras vilket medf¨or l¨agre totala energikostnader. D˚a stora system av v¨armev¨axlare analyseras erh˚alles ett s.k. v¨armev¨axlarn¨at av varierande komplex-itet. F¨or att enkelt och p˚a ett ¨oversk˚adligt s¨att kunna analysera v¨arme¨overf¨oringen inom n¨atverket kan n¨atverkets s.k. uppv¨armnings- och avkylningskurva uppritas.

N¨atverkets uppv¨armningskurva ber¨aknas utg˚aende fr˚an energistr¨ombalansen f¨or varje i n¨ at-verket ing˚aende v¨armev¨axlares v¨armeupptagande medium. F¨or en v¨armev¨axlare har vi,

Q˙u,i(Θu,i) = ˙mu,i·(hu,i(Θu,i, pu,i)−hu,i,in(Θu,i,in, pu,i)) (5.2.1)

d¨ar Θ_u,i,in ≤ Θ_u,i ≤ Θ_u,i,ut. Q˙_u,i(Θ_u,i) anger den av mediet i upptagna v¨armestr¨ommen d˚a temperaturen stiger fr˚an den inkommande till den utg˚aende temperaturen. H¨ar antas att v¨arme¨overf¨oringen sker vid konstant tryck pu,i. Genom att summera alla v¨armestr¨ommar Q˙u,i(Θu,i) samt med beaktandet av v¨armev¨axlarens v¨armef¨orluster f˚as,

Q˙u(Θu) =

∑n i=1

( ˙Qu,i(Θu) + ˙Qforl,i¨ (Θu)) (5.2.2)

F¨or varje v¨armev¨axlares v¨armeupptagande medium definieras ˙Qu,i(Θu) = 0 om Θu <Θu,i,in

och ˙Q_u,i(Θ_u) = Q˙_u,i(Θ_u,i,ut) f¨or Θ_u > Θ_u,i,ut. P˚a motsvarande s¨att f˚as den fr˚an det v¨armeavgivande mediet avgivna v¨armestr¨ommen d˚a temperaturen sjunker fr˚an den inkom-mande temperaturen till den utg˚aende temperaturen,

Q˙_a,i(Θ_a,i) = ˙m_a,i·(h_a,i,in(Θ_a,i,in, p_a,i)−h_a,i(Θ_a,i, p_a,i)) (5.2.3) Uppst¨alls en energistr¨ombalans f¨or v¨armev¨axlaren f˚as med beaktandet av v¨armev¨axlarens v¨armef¨orluster,

Q˙_a,i(Θ_a,i) = ˙Q_u,i(Θ_u,i) + ˙Q_f¨orl,i(Θ_u,i) (5.2.4) Summeras alla v¨armestr¨ommar f˚as,

Q˙a(Θa) =

∑n i=1

Q˙a,i(Θa,i) (5.2.5)

Fr˚an energistr¨ombalansen (5.2.5) och (5.2.2) f˚as nu,

Q˙a(Θa) = ˙Qu(Θu) (5.2.6) Ur ekvation (5.2.2) kan ˙Qu ber¨aknas som funktion av Θu d˚a Θu g˚ar fr˚an min{Θu,i,in} till max{Θ_u,i,ut}. Ur (5.2.6) l¨oses d¨arefter implicit det Θ_a som motsvarar ett givet ˙Q_u.

Genom att utrita Θ_a och Θ_u som funktion av den upptagna samt till v¨armef¨orluster avgivna v¨armestr¨ommen ˙Qa erh˚alles v¨armev¨axlarn¨atverkets uppv¨armnings- (Θu) respektive avkyl-ningskurva (Θa) Linnhoff & Hindmarsh(12).

Figur 5.12 Uppv¨armnings- och avkylningskurva f¨or ett v¨armev¨axlarn¨at f¨ore och efter inf¨orandet av n¨odv¨andig extra uppv¨armning respektive kylning.

Ur figuren kan avl¨asas den drivande temperaturdifferensen f¨or ¨overf¨oring av v¨armestr¨ommen.

D˚a temperaturdifferensen ¨ar stor beh¨ovs liten v¨armeyta medan liten temperaturdifferens fordrar stor v¨armeyta. En stor temperaturdifferens inneb¨ar ett v¨armeavgivande medium motsvarande en h¨og energikostnad. En optimal temperaturdifferens ¨ar s˚aledes en kom-promiss mellan investerings- och driftskostnader och b¨or analyseras med de ekonomiska metoder som presenterades i avsnitt 1. Ifall den minsta drivande temperaturdifferensen mel-lan avkylnings- och uppv¨armningskurvan f¨or en viss upps¨attning av v¨armeavgivande och v¨armeupptagande medier blir liten eller negativ (ifall den ber¨aknas) b¨or extra uppv¨armning eller avkylning inf¨oras. Detta leder till en ny uppv¨armnings- och avkylningskurva f¨or en modifierad upps¨attning av v¨armev¨axlare. Extra uppv¨armning kan ˚astadkommas t.ex. genom att utnyttja prim¨ar˚anga eller n˚agon annan tillbudsst˚aende v¨armeavgivande k¨alla. Man b¨or h¨arvid givetvis str¨ava till att minimera dessa extra uppv¨armnings och avkylningskostnader.

Uppv¨armnings- och avkylningskurvan modifieras i detta fall s˚a att dessa f¨orskjuts sinsemel-lan tills den minsta till˚atna temperaturdifferensen satisfieras. Kurvornas utseende modifieras

¨

aven p.g.a. de extra f¨or uppv¨armning och kylning utnyttjade medierna (se figur 5.12).

En analys av v¨armev¨axlarn¨at p˚a basis av en identifikation vid vilken ”flaskhals” temperatur (p˚a engelska ”pinch temperature”) den minsta temperaturdifferensen mellan varma och kalla str¨ommar intr¨affar kallas ”the pinch design method” Linnhoff & Hindmarsh (12).

Uppv¨armnings och avkylningskurvan ger vid planeringsskedet ¨aven v¨ardefull till¨ aggsinfor-mation om den t¨ankta v¨arme¨overf¨oringen f¨or en v¨armev¨axlare lokalt strider mot termody-namikens andra huvudsats. En negativ lokal entropiproduktionsstr¨om ¨ar ett tecken p˚a en negativ lokal temperaturdifferens och vise versa. Trots att totalbalansen f¨or en v¨armev¨axlare indikerar korrekta temperaturdifferenser eller en positiv total entropiproduktionsterm kan den t¨ankta v¨arme¨overf¨oringen lokalt strida mot termodynamikens andra huvudsats. Detta illustreras i figur 5.13 d¨ar uppv¨armningskurvan f¨or 120 t matarvatten/ h (vid 8000 kPa) fr˚an 120^oC till 200^oC utritats tillsammans med avkylningskurvan f¨or det v¨armeavgivande mediet (35,34 t/ h ¨overhettad ˚anga vid temperaturen 250^oC och 1000 kPa). Den totala entropiproduktionsstr¨ommen ¨ar ˙S_prod,tot=1,46 kW/ K vilket indikerar att det kunde vara m¨ojligt att utf¨ora v¨arme¨overf¨oringen med en v¨armev¨axlare. Uppv¨armnings- och

Uppv¨armnings och avkylningskurvan ger vid planeringsskedet ¨aven v¨ardefull till¨ aggsinfor-mation om den t¨ankta v¨arme¨overf¨oringen f¨or en v¨armev¨axlare lokalt strider mot termody-namikens andra huvudsats. En negativ lokal entropiproduktionsstr¨om ¨ar ett tecken p˚a en negativ lokal temperaturdifferens och vise versa. Trots att totalbalansen f¨or en v¨armev¨axlare indikerar korrekta temperaturdifferenser eller en positiv total entropiproduktionsterm kan den t¨ankta v¨arme¨overf¨oringen lokalt strida mot termodynamikens andra huvudsats. Detta illustreras i figur 5.13 d¨ar uppv¨armningskurvan f¨or 120 t matarvatten/ h (vid 8000 kPa) fr˚an 120^oC till 200^oC utritats tillsammans med avkylningskurvan f¨or det v¨armeavgivande mediet (35,34 t/ h ¨overhettad ˚anga vid temperaturen 250^oC och 1000 kPa). Den totala entropiproduktionsstr¨ommen ¨ar ˙S_prod,tot=1,46 kW/ K vilket indikerar att det kunde vara m¨ojligt att utf¨ora v¨arme¨overf¨oringen med en v¨armev¨axlare. Uppv¨armnings- och

In document AAANNNLLLÄÄÄGGGGGGNNNIIINNNGGGSSS--- OOOCCCHHH SSSYYYSSSTTTEEEMMMTTTEEEKKKNNNIIIKKK (sivua 176-0)