2. GRUNDPRINCIPER VID MODELLERING
2.3 Energistr¨ ombalansen
Energistr¨ombalanser f¨or makrovolymer utg¨or en viktig del av de balanser som uppst¨alls i denna kursbok. Av denna orsak skall vi h¨ar kortfattat studera de poster som ing˚ar i denna balans.
Termodynamikens f¨orsta huvudsats uppfattas i tekniska sammanhang fr¨amst som en lag om energins best˚and. Villkoret att energi varken kan uppst˚a eller f¨orintas kan uttryckas i form av en storhetsekvation, en s.k. energibalans.
Uppst¨alls en allm¨an total energistr¨ombalans f¨or en makrovolym har vi, E˙pot,in+ ˙Ekin,in+ ˙Uin+ ˙Wf,in+ ˙Qin+Pin = E˙pot,ut+ ˙Ekin,ut+ ˙Uut+ ˙Wf,ut+ ˙Qut+Put+ dEpot,tot
dt + dEkin,tot
dt + dUtot
dt (2.3.1)
De f¨orsta posterna i v¨anstra membrum st˚ar f¨or de med materien till balansomr˚adet inkom-mande potentiella, kinetiska samt inre energistr¨ommarna och frammatningseffekten vid ba-lansgr¨ansen ( ˙Wf = pV˙). F¨or station¨ara balansgr¨anser ¨ar det ofta ¨andam˚alsenligt att sam-mansl˚a inre energistr¨ommen och frammatningseffekten till en enda entalpistr¨om ˙H enligt defi-nitionen ˙H = ˙U+pV˙. De tv˚a senare posterna i v¨anstra membrum anger de utan materiestr¨om till balansomr˚adet inkommande v¨arme och elektriska (eller mekaniska) energistr¨ommarna. I h¨ogra membrum finns motsvarande ur balansomr˚adet utstr¨ommande energiposterna samt de inom balansomr˚adet lagrade energiposterna i formen av potentiell, kinetisk och inre energi.
S˚alunda inneh˚aller den totala energibalansen i likhet med den totala massbalansen ingen energiproduktionsterm. D¨aremot ifall en partiell energistr¨ombalans uppst¨alls f¨or t.ex. ett kemiskt species (t.ex. f¨or en kemisk reaktor) erh˚alles,
E˙pot,in,i+ ˙Ekin,in,i + ˙Uin,i+ ˙Wf,in,i+ ˙Qin,i+Pin,i+ ˙Eprod,i = E˙pot,ut,i+ ˙Ekin,ut,i+ ˙Uut,i+ ˙Wf,ut,i+ ˙Qut,i +Put,i+ dEpot,i
dt + dEkin,i
dt + dUi
dt (2.3.2) Energiproduktionstermen h¨arr¨or sig fr˚an de kemiska reaktionernas reaktionsentalpi.
2.3.1. Bidrag till energistr¨ombalansen
D˚a en masstr¨om ˙m transporteras ¨over balansgr¨ansen f¨or den med sig en l¨agesenergistr¨om, som kan uttryckas enligt
E˙pot = ˙m·g·(z−zo) (2.3.3)
d¨ar z −zo ¨ar den h¨ojdniv˚askillnad (till en referensniv˚a) vid vilken masstr¨ommen passerar balansgr¨ansen.
En ¨over balansgr¨ansen transporterad masstr¨om ˙m f¨or med sig en r¨orelseenergistr¨om, som uttrycks enligt
E˙kin= 1
2mw˙ 2 (2.3.4)
d¨arw ¨ar masstr¨ommens hastighet vid balansgr¨ansen i f¨orh˚allande till denna. Ifall masstr¨ om-men har en oj¨amn hastighetsf¨ordelning, f˚as r¨orelseenergistr¨ommen som summan av bidrag med samma hastighet vid balansgr¨ansen.
D˚a materia str¨ommar ¨over balansgr¨ansen f¨or den med sig sin inre energi, som uttrycks enligt
U˙ = ˙m·u (2.3.5)
d¨ar u ¨ar materiens specifika inre energi. I det fall d˚a masstr¨ommen ¨ar en blandning av flera kemiska komponenter kan den sammanslagna inre energistr¨ommen ber¨aknas enligt,
U˙bl = ∆ ˙Ubl+∑
i=1
˙
mi·ui (2.3.6.a)
eller
U˙bl = ∆ ˙Ubl+∑
i=1
˙
ni·Um,i (2.3.6.b)
d¨ar ∆ ˙Ubl ¨ar blandningsinreenergistr¨ommen samt Um,i den mol¨ara inre energin f¨or respektive
”rent” species vid ifr˚agavarande tillst˚and. Vi skall l¨angre fram i texten studera ˙Ubl lite n¨armare varvid uttrycket (2.3.6.b) kan modifieras till,
U˙bl =∑
i=1
˙
ni·U¯m,i (2.3.7)
d¨ar ¯Um,i ¨ar den partiella mol¨ara inre energin och beskriver (i princip) speciets inre energi i den verkliga milj¨on.
Str¨ommen av inre energi ber¨aknas normalt tillsammans med materians frammatningseffekt vid balansgr¨ansen och kallas d˚a entalpistr¨om. Observera dock att endast den inre energin kan lagras.
F¨or att ¨overf¨ora materia ¨over en gr¨ansyta, bakom vilken ett tryck p r˚ader, kr¨avs ett fram-matningsarbete.
Frammatningseffekten ¨ar arbetets tidderivata, varvid f˚as om kraften ¨ar oberoende av tiden:
W˙f = ˙m·p·v=pV˙ =pAw=F ·w =Fds
dt = dWf
dt (2.3.8)
d¨ar F ¨ar den normalkraft, som p˚averkar materian vinkelr¨att mot gr¨ansytan och ds ¨ar den str¨acka, som materian f¨orflyttar sig.
V¨agens tidderivata ¨ar materians hastighet vid den delyta A av balansgr¨ansen, ¨over vilken materian transporteras. Kraften ¨ar produkten av denna delyta och trycket vid densamma.
D˚a produkten av str¨omningstv¨ararean och str¨omningshastigheten ¨ar materians volymstr¨om V˙ f˚as frammatningseffekten enligt produkten pV˙ eller ˙m·p·v, d¨ar v ¨ar materiens specifika volym.
I de flesta tekniska ber¨akningar sammansl˚as den inre energistr¨ommen och frammatningsef-fekten till en entalpistr¨om enligt,
H˙ = ˙U +pV˙ = ˙m(u+pv) = ˙m·h (2.3.9)
d¨arh ¨ar den mot masstr¨ommen svarande specifika entalpin. I det fall d˚a masstr¨ommen ¨ar en blandning av flera kemiska komponenter kan den sammanslagna entalpistr¨ommen ber¨aknas enligt,
H˙bl = ∆ ˙Hbl+∑
i=1
˙
mi·hi (2.3.10.a)
eller
H˙bl = ∆ ˙Hbl+∑
i=1
˙
ni·Hm,i (2.3.10.b)
d¨ar ∆ ˙Hbl ¨ar blandningsentalpistr¨ommen samt hi och Hm,i ¨ar den specifika respektive den mol¨ara entalpin f¨or respektive ”rent” species vid ifr˚agavarande tillst˚and. Blandningsen-talpistr¨ommen h¨arr¨or sig bl.a. fr˚an det faktum att frammatningseffekten f¨or blandningen inte ¨overensst¨ammer med frammatningseffekten f¨or summan av de enskilda species genom att blandningens volym inte ges av summan av de enskilda komponenternas volymer. Bland-ningsentalpistr¨ommen kan i m˚anga fall vara ansenlig.
I avsnitt 3 behandlas bl.a. gasblandningar f¨or r¨okgasber¨akningar. Vid r¨okgasber¨akningar ¨ar dock blandningsentalpistr¨ommen f¨orsumbar. I det f¨oljande skall vi dock kortfattat studera n˚agra uttryck f¨or beskrivning av f¨or¨andringen i inre energin, entalpin, entropin, gibbs energi och volymen hos en blandning.
Utg˚aende fr˚an definitionen av kemisk potential och Gibbs energi, f˚as f¨or¨andringen i den totala Gibbs energistr¨ommen f¨or en isoterm blandning (se t.ex. Rock (8)),
∆ ˙Gbl=∑
i=1
˙
ni(µi−µ′i) (2.3.13)
d¨ar µi ¨ar den kemiska potentialen f¨or komponent i i blandningen och µ′i ¨ar den kemiska potentialen f¨or komponenten isom ”ren” komponent och ˙ni anger ¨amnesm¨angdstr¨ommen av komponent i. Inf¨ors definitionen p˚a kemisk potential enligt,
µi =µoi +R·T ·ln(ai) (2.3.12)
d¨ar R ¨ar gaskonstanten, T den absoluta temperaturen, ai aktiviteten f¨or komponent i och µoi kemiska potentialen f¨or komponenten vid standardtillst˚and. V¨aljes nu samma standard-tillst˚and b˚ade f¨or den ”rena” komponenten och komponenten i sin verkliga milj¨o erh˚alles,
∆ ˙Gbl =R·T ∑
d¨ar xi ¨ar molbr˚aket och γi ¨ar aktivitetskoefficienten, erh˚alles fr˚an ekvation (2.3.13),
∆ ˙Sbl =−
Inf¨ores nu en partiell mol¨ar entalpi definerad enligt, H¯m,i = (∂H˙bl
F¨or¨andringen av blandningens volymstr¨om (j¨amf¨ort med volymstr¨ommen ber¨aknad som sum-man av de enskilda komponenternas volymstr¨ommar) f˚as ¨aven fr˚an ekvation (2.3.11) enligt,
∆ ˙Vbl =
F¨or¨andringen i blandningens inre energistr¨om ges av,
∆ ˙Ubl = ∆ ˙Hbl−p·∆ ˙Vbl
Varvid den partiella mol¨ara inre energin kan uttryckas p˚a motsvarande s¨att som den partiella Varvid den inre energistr¨ommen f¨or en blandning kan ber¨aknas enligt uttryck (2.3.7).
Observera att de p˚a ovan angivet s¨att ber¨aknade ∆ ˙Ubl, ∆ ˙Vbl, ∆ ˙Hbl, ∆ ˙Sbl och ∆ ˙Gbl anger skillnaden f¨or storheten ber¨aknad i den r¨atta milj¨on och ber¨aknad vid motsvarande tillst˚and i en artificiell milj¨o. F¨or en ideal blandning ¨ar γi′ =γi= 1 varvid δi = 1 och man erh˚aller,
Ifall storheterna ber¨aknas utg˚aende fr˚an blandning av rena substanser (d.v.s. a′i=1) erh˚alles f¨or en ideal blandning med aktiviteten f¨or komponenterna i blandningen modellerad enligt ai =xi, Observera att (2.3.32) (naturligtvis) uppfyller termodynamikens andra huvudsats och att
−∆ ˙Gbl,a′
i=1 anger den minsta m¨ojliga effekt som kr¨avs att separera ¨amnesm¨angdstr¨ommen av den ideala blandningen i ¨amnesm¨angdstr¨ommar av de rena substanserna vid en given temperatur. Uttryck (2.3.33) och (2.3.13) ¨ar d¨arf¨or centrala vid unders¨okning av bl.a. sepa-rationsprocesser.
V¨armestr¨ommar f¨orekommer d˚a energi f¨orflyttar sig i form av v¨armeledning genom materia, i vilken f¨orekommer temperaturgradienter. Av tradition uppfattas ocks˚a energistr¨ommar, som ¨overf¨ors i form av str˚alning som v¨armestr¨ommar, emedan str˚alningen oftast sker som
”v¨armestr˚alning” inom det infrar¨oda v˚agl¨angdsomr˚adet. Dessa energistr¨ommar f¨orknippas inte med samtidiga materiastr¨ommar i tekniska ber¨akningar.
Over balansgr¨¨ ansen ¨overf¨ors mekanisk effekt om materia transporteras l¨angs gr¨ansytan och i denna verkar kraft- eller sp¨anningskomponenter i r¨orelsens riktning. Krafterna kan vara friktionskrafter mellan mot varandra glidande materialytor och sp¨anningarna t.ex. skjuv-sp¨anningar i roterande axlar. Ifall balansgr¨ansen l¨oper genom en axel, som roterar med vinkelfrekvensen ω och p˚a axeln verkar vridmomentet Ma, ¨overf¨or axeln den mekaniska ef-fekten.
Pm =ωMa (2.3.34)
Elektriska effekter ¨overf¨ors i allm¨anhet l¨angs elkablar. Ibland kan ansenliga effekter ¨overf¨oras induktivt.
Energi kan lagras som potentiell, r¨orelse eller inre energi hos materien.
Inre energin kan vara lagrad som termisk och mekanisk energi beroende av materiens tem-peratur och tryck, bunden som kemisk energi beroende av massans uppbyggnad av molekyler (och de krafter som h˚aller atomerna samman till molekyler) samt som nukle¨ar energi beroende av massans uppbyggnad av atomer (och de krafter som h˚aller protoner och neutroner samman till atomer).
Uttryck (3.5.50) beskriver inre energins uppbyggnad.
F¨or partiella energibalanser som inneh˚aller en energiproduktionsterm g¨aller att summan av alla energiproduktionstermer b¨or vara lika med noll enligt,
∑
i=1
E˙prod,i = 0 (2.3.35)
eftersom ˙Eprod,i endast anger hur energin f¨orflyttats internt mellan partialbalanserna inom totalbalansens balansgr¨anser.