5. V ¨ ARMETRANSPORT
5.1. V¨ armev¨ axlare
5.1.3. Kors- och blandstr¨ omv¨ armev¨ axlare
5.1.3.1. Konstruktiva utf¨ oranden
En korsstr¨omsv¨armev¨axlare k¨annetecknas av att de medier, som st˚ar i v¨armeutbyte med varandra, str¨ommar mer eller mindre vinkelr¨att mot varann. Ett typisk korsstr¨omsfall har man d˚a en gas eller en v¨atska tvingas att str¨omma genom en r¨orsats vinkelr¨att mot r¨oren, genom vilka det andra mediet str¨ommar. H¨arvid utnyttjas det faktum, att v¨arme¨overf¨ orings-talet i regel ¨ar st¨orre vid p˚atvingad str¨omning vinkelr¨att mot ¨an parallellt med v¨armeytan.
Korsstr¨omprincipen utnyttjas ¨aven ofta f¨or v¨armev¨axling mellan tv˚a gaser av ungef¨ar samma tryck i lamellv¨armev¨axlare. I denna till¨ampning ¨ar vardera gasens huvudstr¨omningsriktning visserligen parallell med v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen, men tack vare korsstr¨omsutf¨orandet kan gasernas in- och utloppskanaler byggas p˚a ett konstruktivt f¨ordelaktigt s¨att.
Med blandstr¨omsv¨armev¨axlare avses apparater, d¨ar tv˚a eller samtliga tre str¨omningss¨att dvs. med-, mot- och korsstr¨om ¨ar f¨oretr¨adda. M˚anga tub-mantelv¨armev¨axlare h¨or till denna grupp. En dylik v¨armev¨axlare kan best˚a av U-format b¨ojda tuber, som ¨ar inneslutna i en cylindrisk mantel. Str¨omningspricipen visas i vidst˚aende skiss, ur vilken det framg˚ar, att i v¨armev¨axlarens ¨ovre del str¨ommar medierna i motstr¨om medan de i dess nedre del str¨ommar i medstr¨om. Dylika v¨armev¨axlare kallas ofta 1-2 v¨armev¨axlare, emedan mediet p˚a mantelsidan har ett lopp och mediet i tuberna tv˚a lopp genom v¨armev¨axlaren. Det finns ¨aven 1-4, 2-4, 3-6 o.s.v. v¨armev¨axlare.
Figur 5.10
F¨or att h¨oja turbulensen p˚a mantelsidan av v¨armev¨axlaren och d¨armed v¨arme¨overf¨oringstalet f¨orses dylika tub-mantelv¨armev¨axlare ofta med sk¨armpl˚atar, som tvingar mediet p˚a mantelsi-dan att i huvudsak str¨omma vinkelr¨att mot tuberna. Principen framg˚ar av vidst˚aende skiss.
Sk¨armpl˚atarnas inb¨ordes avst˚and ¨ar i allm¨anhet mellan 20 % och 100 % av inre mantel-diametern samt deras h¨ojd ca. 75 % av manteldiametern. I v¨armev¨axlare med sk¨armpl˚atar sker str¨omningen lokalt f¨oretr¨adesvis enligt korsstr¨omsprincipen medan den i stort sker b˚ade enligt med- och motstr¨omsprincipen.
Figur 5.11
5.1.3.2. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta
F¨or kors- och blandstr¨omsv¨armev¨axlare skrivs v¨arme¨overf¨oringslikheten:
Q˙ =k·A·∆Θm (5.1.35)
d¨ar ˙Q ¨ar den totalt ¨overf¨orda v¨armestr¨ommen, k ¨ar v¨armegenomg˚angstalet, A ¨ar totala v¨armeytan samt ∆Θm ¨ar ett l¨ampligt valt medeltal av skillnaden hos de b˚ada mediernas temperaturer i v¨armev¨axlaren. Denna medeltemperaturskillnad ¨ar f¨orutom av mediernas in-och utloppstemperaturer ¨aven beroende av v¨armev¨axlarens konstruktiva utf¨orande.
F¨or vanliga typer av v¨armev¨axlare har uttryck f¨or ∆Θm kunnat h¨arledas under ett antal f¨orenklande antaganden, bl.a. konstant v¨armegenomg˚angstal, temperaturberoende v¨ armekapa-citetsstr¨ommar, ingen fas¨overg˚ang i v¨armev¨axlaren och ¨aven antaganden om fullst¨andig eller ingen temperaturutj¨amning inom samma medium ¨over l¨ampligt valda str¨omningstv¨arsnitt i v¨armev¨axlaren. ˚Atskilliga olika tub-mantelv¨armev¨axlare har s˚alunda unders¨okts av Bowman, Mueller och Nagle (3). P˚a f¨orslag av den sistn¨amde redovisas f¨or ∆Θm s˚a, att man inf¨or en dimensionsl¨os faktor F enligt f¨oljande likhet:
∆Θm =F ·∆Θln (5.1.36)
d¨ar ∆Θln ber¨aknas
∆Θln = (Θa1−Θb2)−(Θa2−Θb1) lnΘΘa1−Θb2
a2−Θb1
(5.1.37) allts˚a p˚a det s¨att som medeltemperaturdifferensen ber¨aknas f¨or en motstr¨omsv¨armev¨axlare.
Inf¨ors ∆Θm enligt (5.1.37) i (5.1.35) f˚as
Q˙ =k·A·F ·∆Θln (5.1.38)
med ∆Θln ber¨aknad enligt (5.1.37). Denna likhet g¨aller generellt f¨or v¨armev¨axlare med konstanta v¨armegenomg˚angstal och konstanta v¨armekapacitetsstr¨ommar.
Den dimensionsl¨osa storheten F, som kallas den logaritmiska medeltemperaturskillnadens korrektionsfaktor, ¨ar f¨orutom av v¨armev¨axlarens utf¨orande ¨aven en funktion av tv˚a storheter R och S, som definieras:
R=
C˙b
C˙a = Θa1−Θa2
Θb2−Θb1
(5.1.39.a) S = Θb2−Θb1
Θa1−Θb1
(5.1.39.b) H¨ar betecknar a det v¨armeavgivande och b det v¨armemottagande mediet.
Funktionen F(R,S) kan h¨arledas f¨or geometriskt enkla fall utg˚aende fr˚an analytisk l¨osning av uppst¨allda differentialekvationer f¨or l¨osning av v¨armev¨axlarens temperaturprofiler. P.g.a. att uttrycken blir relativt komplicerade redan f¨or enkla fall ˚aterges F(R,S) i litteraturen (1,2,3,14) vanligen i form av diagram. F¨or 1-2 tub-mantel v¨armev¨axlare erh˚alles (se t.ex. 17),
F(1−2)=
samt f¨or 2-4 v¨armev¨axlare, F(2−4) =
I appendix ˚aterges diagram ¨over F f¨or 1-2 och 2-4 tub-mantelv¨armev¨axlare. F¨or de vanligaste korsstr¨omsfallen h¨anvisas till Perry (14).
Med uttryck (5.1.38) och ett f¨or ifr˚agavarande v¨armev¨axlartyp g¨allande diagram ¨over funk-tionen F(R,S) kan kors- och blandstr¨omsv¨armev¨axlare dimensioneras. Man b¨or emellertid minnas, att funktionerna F(R,S) h¨arletts under idealiserade antaganden, som i verkligheten inte ¨ar helt uppfyllda. S˚asom av diagrammen framg˚ar har kurvorna f¨or konstantR-v¨arde ett med F-axeln n¨ara parallellt f¨orlopp inom ett visstS-intervall. Inom detta intervall skulle en liten f¨orskjutning i R-kurvans f¨orlopp ge mycket varierande v¨arden p˚a F, eventuellt v¨ardet F = 0. Hamnar man vid ber¨akningarna p˚a ett s˚adant avsnitt av R-kurvan, d¨ar dess f¨orlopp
¨
ar n¨ara parallellt med F-axeln, kan den aktuella v¨armev¨axlartypen inte anses vara l¨amplig f¨or uppv¨armnings- eller kylningsuppgiften, utan en annan typ av v¨armev¨axlare, i vilken mot-str¨omsprincipen ¨ar b¨attre utnyttjad, b¨or v¨aljas.
F¨or en motstr¨omsv¨armev¨axlare ¨ar definitionsm¨assigt F = 1. Om man i en kors- eller bland-str¨omsv¨armev¨axlare anv¨ander kondenserande ˚anga som v¨armeavgivande medium s˚a att Θa1
= Θa2 = Θk, f˚as enligt (5.1.39) R = 0. Gr¨anskurvan f¨or R som g˚ar mot noll sammanfaller medF = 1 i alla dessa diagram, varf¨or allts˚a i detta fallF = 1 oberoende av v¨armev¨axlartyp.
Detsamma g¨aller on man har isotermisk kokning ¨over hela v¨armeytan.
Uttrycket (5.1.38) j¨amteF-diagrammen kan ocks˚a anv¨andas f¨or ber¨akning av tv˚a in- och/ eller utloppstemperaturer d˚a v¨armeytan, v¨armegenomg˚angstalet, v¨armekapacitetsstr¨ommarna och de tv˚a ¨ovriga in och/ eller utloppstemperaturerna ¨ar bekanta. Ifr˚agavarande temperaturer lig-ger mellan de temperaturer, som kan ber¨aknas f¨or mot- och en medstr¨omsv¨armev¨axlare med samma utg˚angv¨arden. Inom detta temperaturintervall kan den ena in- eller utloppstempera-turen antas. V¨armestr¨ommen samt den andra obekanta temperaturen kan d˚a ber¨aknas med likheter av typen (5.1.4). Nu kan Roch S ber¨aknas och F avl¨asas, varefter v¨armestr¨ommen kan ber¨aknas med (5.1.38). Ifall de med (5.1.4) och (5.1.38) ber¨aknade v¨armestr¨ommarna
¨
ar lika stora ¨ar den antagna in- eller utloppstemperaturen korrekt. Ifall s˚a icke ¨ar fallet kan ber¨akningen upprepas med en annan antagen temperatur. D¨arefter kan man t.ex. grafiskt best¨amma den temperatur, som ger de enligt (5.1.4) och (5.1.38) ber¨aknade v¨armestr¨ommarna lika stora v¨arden.
Exempel 5.8.
Unders¨ok om den i exempel 5.4. n¨amnda vattenuppv¨arningen kan ˚astadkommas med en 1-2 eller en 2-4 v¨armev¨axlare och ber¨akna i vardera fallet beh¨ovlig v¨armeyta om v¨ armegenom-g˚angstalet ¨ar 8 MJ/ m2h◦C.
5.1.3.3. Volymetriskt v¨arme¨overf¨oringstal och medeltemperaturdifferens
I fall d˚a str¨omningsf¨orh˚allandena ¨ar sv˚ara att beskriva och d˚a v¨armeytan ¨ar sv˚ar att exakt de-finiera kan det vid f¨orenklad beskrivning av v¨arme¨overf¨oringsmekanismen vara ¨andam˚alsenligt att ist¨allet f¨or v¨armeytan definiera en v¨arme¨overf¨oringsvolym samt motsvarande v¨arme¨ over-f¨oringstal definierad per denna volym. Ett dylikt v¨arme¨overf¨oringstal ben¨amnes volymetriskt v¨arme¨overf¨oringstal. Sambandet mellan det volymetriska v¨arme¨overf¨oringstalet och det per yta definierade v¨arme¨overf¨oringstalet ges av,
αv =α· A
V (5.1.41)
Vid utnyttjandet av volymetriskt v¨arme¨overf¨oringstal b¨or s˚aledes f¨orh˚allandet mellan v¨ ar-meytan och motsvarande volym beskrivas. T.ex. vid beskrivning av kors- och blandstr¨omsv¨ ar-mev¨axling kan det vara ¨andam˚alsenligt att ist¨allet f¨or faktorn F definiera ett f¨orh˚allande f som anger hur stor del av v¨arme¨overf¨oringsvolymen som t¨ankes ske idealt utg˚aende fr˚an fullst¨andigt ˚aterblandade medier medan v¨arme¨overf¨oringen i den resterande volymen t¨ankes ske idealt enligt med- eller motstr¨omsprincipen. Detta f¨orfarande kan t.ex. utnyttjas vid f¨orenklad beskrivning av v¨arme¨overf¨oringen i en spraytork d¨ar ideal medstr¨omstorkning och torkning med fullst¨andigt ˚aterblandade medier kan anses vara gr¨ansfallen f¨or str¨ omnings-mekanismerna under torkningen. Den differentiella v¨armestr¨ommen vid koordinaten x fr˚an inloppet ges enligt ovanst˚aende av,
d ˙Q=αv·(1−f)·dV ·∆Θ(x) +αv ·f·dV ·∆Θ(L) (5.1.42) H¨ar anger (1−f) den br˚akdel av v¨arme¨overf¨oringsvolymen dV som antas ske enligt med- eller motstr¨omsprincipen medan f anger motsvarande andel av volymelementet som t¨ankes vara fullst¨andigt ˚aterblandat. L anger koordinaten vid utloppet. Antages att samma f¨orh˚allande mellan str¨omningstyperna g¨aller fr˚an inlopp till utlopp samt genom inf¨orandet av uttrycket f¨or temperaturdifferensen ∆Θ(x) enligt ekvation (5.1.32) f¨or med- eller motstr¨omsv¨armev¨axling f˚as,
d¨ar
∆Θmedel = (1−f)·∆Θln+f ·∆Θ(L) (5.1.45)
D.v.s. den totala v¨armestr¨ommen ges av det volymetriska v¨arme¨overf¨oringstalet multiplicerat med den totala volymen i vilken v¨arme¨overf¨oringen t¨ankes ske samt den drivande medeltem-peraturdifferensen. Medeltemperaturdifferensen ges utg˚aende fr˚an dessa antaganden av det f¨orh˚allande mellan den logaritmiska medeltemperaturdifferensen och temperaturdifferensen vid utloppet som best¨ams av volymandelen f¨or motsvarande str¨omningsmekanism. Ifall fak-torn F som utnyttjas vid beskrivning av kors- och blandstr¨omsv¨armev¨axling nu uttryckes i faktorn f erh˚alles,
F = 1−f ·(1− ∆Θ(L)
∆Θln ) (5.1.46)
5.1.4. V¨armegenomg˚angstalet
5.1.4.1. Definition
F¨or ber¨akning av v¨armegenomstalet k f¨or den v¨arme¨overf¨orande v¨aggen, som i de tidigare givna uttrycken karakteriserats av v¨armeytan A, g¨aller:
k =( 1 D˚a v¨armegenomg˚angstalet k ber¨aknas p˚a detta s¨att skall den fritt valbara v¨armeytan A anv¨andas i uttrycken. ¨Ovriga i (5.1.47) ing˚aende storheter ¨ar:
Aa = den av mediet a ber¨orda ytan av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen
Af a = medeltv¨arytan av f¨orsmutsningarna p˚a den sida av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen som ber¨ors av mediet a, ber¨aknad vinkelr¨att mot v¨armestr¨ommens riktning.
Af b = d:o f¨or f¨ormutsningarna p˚a den sida av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen, som ber¨ors av mediet b.
Av = d:o f¨or den rena v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen
Ab = den av medietb ber¨orda ytan av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen
sf a = tjockleken av f¨orsmutsningarna p˚a den sida av v¨aggen, som ber¨ors av mediet a.
sv = tjockleken av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen utan f¨orsmutsningar
sf b = tjockleken av f¨orsmutsningarna p˚a den sida av v¨aggen, som ber¨ors av medietb.
αa = v¨arme¨overf¨oringstalet vid ytanAa
αb = d:o vid ytanAb
λf a = v¨armeledningsf¨orm˚agan hos f¨orsmutsningarna med tjockleken sf a
λf b = v¨armeledningsf¨orm˚agan hos f¨orsmutsningarna med tjockleken sf d λv = v¨armeledningsf¨orm˚agan hos den rena v¨aggen
F¨or plana v¨arme¨overf¨orningsv¨aggar, vilka f¨orekommer t.ex. i lamellv¨armev¨axlare, kan man v¨alja A=Aa och ¨aven s¨atta
A/Aa =A/Af a =A/Av =A/Af b =A/Ab = 1 (5.1.48)
F¨or cirkul¨ara tuber med inre diametern di f¨or den rena tuben f˚ar man omA v¨aljes lika med de rena tubernas inre yta och ifall sf a, sv och sf d samtliga ¨ar t¨amligen sm˚a i j¨amf¨orelse med di:
A/Aa=di/(di−2sf a) (5.1.49a) A/Af a =di/(di−sf a) (5.1.49b) A/Av =di/(di+sv) (5.1.49c) A/Af b =di/(di+ 2sv+sf b) (5.1.49d) A/Ab =di/(di+ 2sv + 2sf b) (5.1.49e)
Med uttrycket (5.1.47) kan man ber¨akna v¨armev¨axlarens v¨armegenomg˚angstal k om de i h¨ogra ledet ing˚aende storheternas v¨arden kan ber¨aknas, m¨atas eller uppskattas.
I m˚anga industriellt anv¨anda v¨armev¨axlare f˚as en betydande f¨orsmutsning av v¨arme¨overf¨ or-ingsv¨aggen. Dessa f¨orsmutsningar kan uppst˚a som avlagringar av salter, slem eller stoft fr˚an det f¨orbistr¨ommande mediet eller utg¨ora oxider, som bildats till f¨oljd av korrosionsangrepp p˚a v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen. Tjockleken av bel¨aggningarna ¨okar i regel med tiden, vilket medf¨or att v¨armev¨axlaren efter ett visst antal drifttimmar m˚aste fr˚ankopplas och reng¨oras. Bel¨ agg-ningarna ¨ar ofta por¨osa och impregnerade med det f¨orbistr¨ommande mediet. Ifall detta ¨ar en v¨atska kan man som en god approximation r¨akna med att bel¨aggningarna har v¨atskans v¨armeledningsf¨orm˚aga.
Ibland kan man motverka en snabb tillv¨axt av tjockleken hos avlagringarna genom att v¨alja en v¨armev¨axlare, som har h¨og str¨omningshastighet hos mediet p˚a den sida av v¨arme¨overf¨ or-ingsytan, d¨ar f¨orsmutsningen sker. Gilmour (4) och Kern (5) har rediovisat f¨or beaktansv¨arda synpunkter p˚a dimensionering och drift av v¨armev¨axlare, som l¨oper risk att snabbt f¨orsmutsas.
5.1.4.2. Ensidigt f¨orstorad v¨armeyta
I vissa v¨armev¨axlingsfall kommer v¨arme¨overf¨oringstalen vid v¨arme¨overf¨oringsv¨aggens b¨agge ytor att vara av olika storleksordning. Detta ¨ar t.ex. fallet d˚a man med kondenserande ˚anga skall uppv¨arma en gas, varvid v¨arme¨overf¨oringstalet p˚a ˚angsidan ¨ar v¨asentligt st¨orre ¨an p˚a gassidan. Om v¨aggen ¨ar fri fr˚an bel¨aggningar kommer v¨arme¨overf¨oringsmotst˚andet f¨or den konvektiva v¨arme¨overf¨oringen vid den gasber¨orda sidan av v¨aggen att dominera i summan av v¨arme¨overf¨oringsmotst˚and vid ber¨akning av v¨armegenomg˚angstalet enligt (5.1.47). I dylika fall kan man ansenligt f¨orb¨attra v¨arme¨overg˚angen p˚a den sida av v¨aggen d¨ar v¨arme¨overf¨ or-ingstalet ¨ar litet och d¨armed ¨aven v¨armegenomg˚angstalet, k, genom att f¨orstora denna sida av v¨aggen med fenor. Dylika fenor kan t.ex. vara l¨angs tuberna p˚asvetsade l˚anga ribbor.
Fentuber av detta slag kan anv¨andas i dubbelr¨orv¨armev¨axlare och i tub-mantelv¨armev¨axlare utan sk¨armpl˚atar, d˚a str¨omningen i huvudsak sker l¨angs tuberna. Fenorna kan ocks˚a st¨allas vinkelr¨att mot tuben och utformas som cirkul¨ara eller stj¨arnformiga skivor, eller best˚a av ett spiralvridet band runt tuben. Dylika fentuber anv¨ands fr¨amst i korsstr¨omsv¨armev¨axlare.
Vidare kan v¨arme¨overf¨oringsv¨aggens ena yta f¨orstoras med p˚asvetsade stift.
Att inf¨ora den f¨orstorade ytanAaellerAb i (5.1.47) vid ber¨akningen av v¨armegenomg˚angstalet f¨or fentuben leder emellertid inte till korrekt resultat, emedan man i regel har en beaktansv¨ard temperaturgradient i fenan. F¨or att beakta detta har man definierat en fenverkningsgradηf en
i fenan utg˚aende fr˚an f¨oljande v¨arme¨overf¨oringslikhet,
Q˙ =α·(A−Abas+ηf en·Af en)·∆Θ (5.1.50) H¨ar ¨ar
A = den v¨atske- eller gasber¨orda ytan av v¨aggen om den vore utan fenor Abas = kontaktytan mellan v¨agg och fena
Af en = fenans totala v¨atske- eller gasber¨orda yta α = v¨arme¨overf¨oringstalet vid v¨aggen
∆Θ = temperaturskillnaden mellan det v¨armeavgivande eller v¨armemottagande mediet och v¨aggen om denna vore utan fenor
Av detta inses, att om den av mediet b ber¨orda ytan av v¨arme¨overf¨oringsv¨aggen f¨orsetts med fenor, skall i uttrycket (5.1.47) Ab ers¨attas med uttrycket
Ab −Abas+ηf en·Af en
Fenverkningsgraden ¨ar beroende av fenans geometri, dess v¨armeledningsf¨orm˚aga samt v¨ ar-me¨overf¨oringstalet mellan fenan och omgivande medium. Under vissa f¨orenklande antagan-den kan man h¨arleda uttryck, med vilka ηf en f¨or olika fengeometrier kan ber¨aknas. Exempel h¨arp˚a finner man bl.a. hos Kern (1).
5.1.4.3. Ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstal
S˚asom fr˚an v¨arme¨overf¨oringsl¨aran ¨ar bekant kan v¨arme¨overf¨oringstalet vid forcerad konvek-tion ber¨aknas med uttryck av typen
N u=f(Re, P r, ...) (5.1.51)
d¨ar N u ¨ar Nusselts tal, Re ¨ar Reynolds’ tal och P r ¨ar Prandtls tal. Dessa variabelsam-manst¨allningar har man kommit till medelst dimensionsanalys och genom att utnyttja t.ex.
gr¨ansskiktsbetraktelser. Genom att anpassa l¨ampliga sammanst¨allningar av dessa dimen-sionsl¨osa variabler till experimentellt erh˚allna v¨arden har man f˚att uttryck, med vilka Nusselts tal och d¨armed det i detta tal ing˚aende v¨arme¨overf¨oringstalet kan ber¨aknas f¨or ett stort an-tal tekniskt viktiga v¨arme¨overf¨oringsf¨orlopp. M˚anga viktiga funktionella samband av typen (5.1.51) har angivits av McAdams (6). Utg˚aende fr˚an gr¨ansskiktsbetraktelser erh˚alles f¨or geometriskt enkla v¨arme¨overf¨oringsproblem sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek. Man kan i dylika fall ¨aven s¨aga att h¨ogerledet i (5.1.51) kan utnyttjas f¨or att empiriskt kartl¨agga tjockleken p˚a det ideala gr¨ansskiktet.
Vi skall i det f¨oljande h¨arleda sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek f¨or tv˚a geometriskt enkla fall.
Det f¨orsta fallet g¨aller v¨armeledning fr˚an en cylindrisk yta med radien R (t.ex. ett r¨or).
Utg˚aende fr˚an v¨armeledningsekvationen, Q˙ =−λ·A· dΘ
dr =−λ·2·π·r·L· dΘ
dr (5.1.52)
g¨aller f¨or gr¨ansskiktet, ∫ R+∆
R
dr
r =−λ·2·π·L Q˙
∫ Θ∆
ΘR
dΘ (5.1.53)
varur erh˚alles,
Q˙ =−λ·2·π·L
ln(R+∆R ) (Θ∆−ΘR) (5.1.54)
Utg˚aende fr˚an konvektiv v¨arme¨overf¨oring har man,
Q˙ =α·A·(ΘR−Θ∆) =α·2·π·R·L·(ΘR−Θ∆) (5.1.55) Genom att kombinera (5.1.54) och (5.1.55) samt utnyttjadet av definitionslikheten f¨or Nus-selts tal,
N u= α·d
λ (5.1.56)
erh˚alles sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek f¨or en cylindrisk kropp enligt,
N u= 2
ln(1 + ∆R) (5.1.57.a)
Utg˚aende fr˚an ekvation (5.1.57.a) erh˚alles f¨or gr¨ansskiktets tjocklek,
∆ = d
2(eN u2 −1) (5.1.57.b)
Ekvationerna (5.1.57.a) och (5.1.57.b) ger sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek vid v¨arme¨overf¨oring ut fr˚an en cylindrisk yta. Ifall v¨arme¨overf¨oringen sker in˚at fr˚an den cylindriska ytan (t.ex. till mediet inne i ett r¨or) ¨andras uttrycken (5.1.57.a-b) enligt,
N u= −2
ln(1− ∆R) (5.1.57.c)
samt utg˚aende fr˚an ekvation (5.1.57.c) erh˚alles f¨or gr¨ansskiktets tjocklek,
∆ = d
2(1−eN u−2) (5.1.57.d)
Man kan ur uttrycken (5.1.57) konstatera att med minskad gr¨ansskiktstjocklek ¨okar Nusselts tal och vice versa. Vidare kan man konstatera att gr¨ansv¨ardet f¨or o¨andligt tjockt gr¨ansskikt (vid v¨arme¨overf¨oring ut˚at) och maximalt gr¨ansskikt (∆ = d2) vid v¨arme¨overf¨oring in˚at ger Nusselts tal lika med noll varvid v¨arme¨overf¨oringen avstannar.
Ofta utnyttjas samma uttryck f¨or ber¨akning av Nusselts tal vid v¨arme¨overf¨oring till mediet p˚a inre respektive yttre sidan av r¨or. I dylika fall g¨aller f¨or det fall att Nusselts tal ¨ar detsamma f¨or vardera fallet sambandet mellan det ideala gr¨ansskiktets tjocklek p˚a inre respektive yttre sidan av r¨oret enligt (5.1.57.a) och (5.1.57.c),
∆in = d
2( ∆ut d
2 + ∆ut
) (5.1.57.e)
Ur ekvation (5.1.57.e) kan konstateras att d˚a det yttre gr¨ansskiktets tjocklek g˚ar mot noll motsvaras detta av att det inre gr¨ansskiktets tjocklek g˚ar mot noll samt d˚a det yttre gr¨ ans-skiktets tjocklek g˚ar mot o¨andligheten g˚ar det inre gr¨ansskiktets tjocklek mot d2.
Det andra geometriska fallet f¨or vilket vi skall h¨arleda sambandet mellan gr¨ansskiktets tjock-lek och Nusselts tal ¨ar v¨arme¨overf¨oring fr˚an en sf¨arisk kropp med radien R. Utg˚aende fr˚an v¨armeledningsekvationen f˚as f¨or en sf¨arisk kropp,
Q˙ =−λ·A· dΘ
dr =−4·π·r2·λdΘ
dr = 4·π·λ dΘ
d(1r) (5.1.58) Varvid f¨or gr¨ansskiktet g¨aller,
∫ R+∆1
P˚a motsvarande s¨att som i det f¨oreg˚aende fallet f˚as utg˚aende fr˚an konvektiv v¨arme¨overf¨oring, Q˙ =α·A·(ΘR−Θ∆) =α·4·π·R2·(ΘR−Θ∆) (5.1.61) Kombineras uttrycken (5.1.60) och (5.1.61) samt utnyttjandet av definitionen p˚a Nusselts tal enligt (5.1.56) erh˚alles f¨or en sf¨arisk kropp sambandet mellan Nusselts tal och gr¨ansskiktets tjocklek,
Det kan vara v¨art att notera att f¨or en sf¨arisk kropp kommer Nusselts tal att asymptotiskt g˚a mot v¨ardet 2 n¨ar gr¨ansskiktet ¨okar i tjocklek. D.v.s. v¨arme¨overf¨oringen fr˚an en sf¨arisk yta kan inte minskas till noll genom att ¨oka gr¨ansskiktets tjocklek. F¨or gr¨ansskiktstjockleken
∆ =d¨ar N u= 3 vilket inneb¨ar att v¨arme¨overf¨oringen fr˚an en sf¨arisk kropp till omgivningen genom ett gr¨ansskikt som ¨ar tjockare ¨an diametern hos den sf¨ariska kroppen i stort s¨att regleras av gr¨ansskiktets v¨armeledningsf¨orm˚aga λ. Ifall gr¨ansskiktets tjocklek ¨ar mindre ¨an den sf¨ariska kroppens diameter kommer gr¨ansskiktets tjocklek d¨aremot att vara avg¨orande f¨or v¨arme¨overf¨oringen.
Trots att man i ovanst˚aende h¨arledningar definierat ett samband mellan Nusselts tal och tjockleken p˚a ett idealt gr¨ansskikt kan dock sambandet mellan Nusselts tal och ¨ovriga dimen-sionsl¨osa grupper empiriskt kartl¨aggas utan begr¨ansningar h¨anf¨orda till ett idealt gr¨ansskikt med ekvation (5.1.51). Uttrycket (5.1.51) b¨or d˚a uppfattas som ett rent empiriskt samband mellan v¨arme¨overf¨oringstalet och ¨ovriga variabler. Sambandet till ett idealt gr¨ansskikt ger dock en viss utg˚angspunkt f¨or definiering av strukturen p˚a h¨ogerledet i ekv. (5.1.51). F¨or sf¨ariska kroppar utnyttjas t.ex. uttryck av typen,
N u= 2 +b1·Reb2 ·P rb3 (5.1.63) medan t.ex. f¨or cylindriska kroppar utnyttjas,
N u=b1·Reb2 ·P rb3 (5.1.64) T.ex. i Fagerholm (15) ges flera uttryck av ovann¨amnd typ f¨or olika str¨omningsfall. Uttrycken av typen (5.1.51) samt (5.1.63-64) kan med f¨ordel ¨overf¨oras till kvotekvationer. I det f¨oljande ges n˚agra praktiskt anv¨andbara kvotekvationer f¨or ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstalet i v¨armev¨axlare. Vid v¨arme- och mass¨overf¨oring (t.ex. torkning) ¨ar det ¨aven brukligt att korrigera v¨arme¨overf¨oringstalet f¨or samtidig mass¨overf¨oring. Dylika uttryck genomg˚as dock inte i detta sammanhang. I ¨Ohman (16) ges en del v¨ardefulla synpunkter p˚a modeller f¨or samtidig v¨arme- och mass¨overf¨oring f¨or n˚agra geometriskt enkla fall.
Det i ovanst˚aende uttryck ing˚aende Prandtls tal ¨ar enbart beroende av det str¨ommande mediets egenskaper och kan ber¨aknas med likheten
P r = 3,60·( µ
cP)·( cp
kJ/kg◦C)·(kJ/mh◦C
λ ) (5.1.65)
Vid ber¨akning av Re b¨or str¨omningskanalens geometri vara bekant. F¨or str¨omning inuti en tub eller annan sluten kanal g¨aller
Re= 1110·( m˙
t/h)·( m lv.yta
)·(cP
µ ) (5.1.66)
H¨ar ¨ar ˙m viktstr¨ommen i kanalen, lv.yta den del av kanalens omkrets, ber¨aknad vinkelr¨att
H¨ar ¨ar ˙m viktstr¨ommen i kanalen, lv.yta den del av kanalens omkrets, ber¨aknad vinkelr¨att