1. EKONOMISKA ANALYSER
1.2. Pengars v¨ arde som funktion av tiden
1.2.2. Betalningsstr¨ ommars ekvivalenta eng˚ angsbetalningar
Som redan n¨amnts upptr¨ader int¨akter och utgifter ofta t¨amligen j¨amnt f¨ordelade ¨over ett tidintervall. Dylika betalningar uppst˚ar genom f¨ors¨aljning av tillverkade produkter. Trots att betalningarna alltid uppr¨ader vid diskreta tidpunkter kan man utan m¨arkbart fel i en kalkyl vid en matematisk behandling av dessa ofta upptr¨adande betalningar uppfatta dem som i tiden kontinuerliga betalningsstr¨ommar.
F¨or att kunna j¨amf¨ora dylika kontinuerliga betalningsstr¨ommar som har dimensionen ett belopp per tidenhet (Euro/ h), med eng˚angsbetalningar, vars dimension ¨ar enbart ett belopp (Euro), m˚aste man ber¨akna det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen vid den tidpunkt d˚a eng˚angsbetalningen erl¨agges. Detta kan ske p˚a f¨oljande s¨att.
Det tidintervall (t1;t2) inom vilket betalningsstr¨ommen infaller delas upp i ett antal sam-manh¨angande delintervall ∆ti, vilka v¨aljes tillr¨ackligt sm˚a f¨or att man inom varje delintervall skall kunna betrakta produkten k(ti)·∆ti som en eng˚angsbetalning vid tidpunkten ti. H¨ar
¨
ar k(ti) v¨ardet av betalningsstr¨ommen vid tidpunkten ti, som ligger inom ett betraktat in-tervall. Denna eng˚angsbetalning kan omr¨aknas till en ekvivalent eng˚angsbetalning ∆Ki(to) vid en valbar referenstidpunkt to med uttrycket (1.2.2), allts˚a
∆Ki(t0) =k(ti)·∆ti·P−
(ti−t0 )
˙ ar
S˚a kan man f¨orfara med betalningen inom varje tidintervall ∆ti. D˚a de ber¨aknade ekvivalenta delbetalningarna ∆Ki(to) intr¨affar vid samma tidpunkt to kan de adderas, varvid man f˚ar det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen inom hela tidintervallet (t1;t2)
K(t0) = Σ∆Ki(t0) = Σk(ti)·P−(ti−ar˙ t0 ) ·∆ti (1.2.4) Summeringen skall naturligtvis ske ¨over samtliga deltidintervall. L˚ater man deltidintervallens antal v¨axa, s˚a att samtliga ∆ti g˚ar mot dt, kan enligt definitionen p˚a best¨amd integral summauttrycket i (1.2.4) skrivas
K(t0) =
t2
∫
t1
k(t)·P−(tar˙−t0 ) dt (1.2.5)
Integrationen kan utf¨oras om man k¨anner funktionen k(t), dvs. betalningsstr¨ommens tid-beroende inom intervallet (t1;t2) F¨or det specialfall, att betalningsstr¨ommen ¨ar konstant inom detta intervall, allts˚a
k(t) =c, t1 < t < t2 (1.2.6)
f˚as efter integrering
K(t0) = c· ˙ar
lnP ·(P−(t1−ar˙ t0 ) −P−(t2−ar˙ t0 )) (1.2.7) En i m˚anga fall mera realistisk uppskattning av penningstr¨ommars tidsberoende ¨ar att de
¨
okar eller minskar med en viss br˚akdel av f¨oreg˚aende ˚ars v¨arde. Som en r¨att god approxi-mation kan r¨akna med att l¨onerna f¨or industriarbetare i b¨orjan av 80-talet ¨okade med ca.
9 %/˙ar. Ifall antalet anst¨allda vid ett f¨oretag har varit konstant under en f¨oljd av ˚ar har l¨onekostnaderna vid f¨oretaget under dessa ˚ar stigit exponentiellt med 9 %/˙ar. Ett annat exempel kan vara kostnaderna f¨or r˚amaterial, som till f¨oljd av produktionskapacitetens ut-byggnad, f¨orb¨attringar i produktionstekniken eller h˚ard konkurrerns mellan olika tillverkare kan sjunka med en viss br˚akdel per ˚ar. S˚a har skett med bl.a. en del petrokemiska produkter.
I dylika fall kan betalningsstr¨ommens tidsberoende skrivas
k(t) =k(t1)·Qt−ar˙t1 (1.2.8)
d¨ar Q ¨ar en prisfaktor, som kan ber¨aknas ur
Q= 1 + 0,01· q
%/˙ar (1.2.9)
d¨arqbetecknar den ˚arliga procentuella ¨okningen av betalningsstr¨ommens belopp. Ifall det ¨ar fr˚aga om en minskning inf¨orsq med negativt f¨ortecken ochQ f˚ar d˚a ett v¨arde som ¨ar mindre
¨ an 1.
F¨or ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen vid tidpunkten to av en dylik expo-nentiellt ¨okande eller minskande betalningsstr¨om inf¨ors k(t) enligt (1.2.8) i uttrycket (1.2.5), varvid man efter utf¨ord integrering f˚ar
K(t0) = k(t1)· ˙ar
ln(P/Q) ·(1−(P/Q)−(t2−tar˙ 1 ))·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.10)
I specialfalletQ = P blir exponentialuttrycket i integralen lika med 1, varvid den ekvivalenta eng˚angsbetalningen kan ber¨aknas enligt,
K(t0) =k(t1)·(t2−t1)·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.11) Ifall betalningsstr¨ommen k(t) inte kan uttryckas i form av exponentialfunktionen (1.2.8), varav funktionen (1.2.6) ¨ar ett specialfall, m˚aste man vid ber¨akningen utg˚a fr˚an integralut-trycket (1.2.5). I andra specialfall kan integrationen utf¨oras, vilken leder till andra explicita uttryck f¨or betalningsstr¨ommens ekvivalenta eng˚angsv¨arde. I m˚anga fall kan integrationen inte utf¨oras analytiskt. Detta ¨ar fallet t.ex. d˚ak(t) ¨ar grafiskt given. Integrationen m˚aste d˚a utf¨oras numeriskt eller grafiskt.
I det f¨oreg˚aende har behandlats kontinuerliga betalningsstr¨ommar f¨or diskreta r¨anteperioder.
Resonemanget leder s˚asom tidigare n¨amndes till n˚agot felaktigt resultat eftersom alla ”be-talningsstr¨ommar” i sj¨alva verket utf¨ors som diskreta eng˚angsbetalningar. F¨or ekonomiska kalkyler d¨ar de diskreta eng˚angsbetalningarna sker i perioder som ¨ar mycket kortare ¨an r¨anteperioden eller d˚a betalningsperioderna varierar ¨ar det ¨andam˚alsenligt att utnyttja kon-tinuerliga betalningsstr¨ommar.
D˚a ”betalningsstr¨ommen” ¨ar diskret och diskretiseringsintervallet stort i j¨amf¨orelse med r¨ an-teperioden (t.ex. 1 ˚ar) kan vid anv¨andning av kontinuerliga betalningsstr¨ommar ber¨aknas en ekvivalent r¨antefot f¨or den kontinuerliga betalningsstr¨ommen svarande mot r¨antefoten f¨or den diskreta ”betalningsstr¨ommen”.
Vid ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen f¨or en konstant diskret ”betalnings-str¨om” k(t) = c som infaller i b¨orjan av n p˚a varandra f¨oljande ˚ar f˚as med den ”diskreta”
r¨antefoten ((%/pDar)˙ )
K(t0) =c( 1−PDn
(1−PD)PDn) (1.2.12)
d¨ar PD anger den ”diskreta” r¨antefaktorn,
PD = (1 + 0,01( pd
%/˙ar)) (1.2.13)
Kombineras eq. (1.2.7) med eq. (1.2.12) (d¨ar t2 =t0+n och t1 =t0) f˚as, Pn−1
(lnP)Pn = 1−PDn
(1−PD)PDn (1.2.14)
eller
f(P) =PD−1−lnP(PDn−1 Pn−1( P
PD
)n) (1.2.15)
varur den ekvivalenta kontinuerliga r¨antefaktorn P kan best¨ammas f¨or en given diskret r¨antefaktor PD ur f(P) = 0. F¨or best¨amning av roten f(P) = 0 kan Bolzano s¨okning utnyttjas (Subroutine BOLZAN (8) i appendix).
Exempel 1.3.
En produktionsavdelning har effektbehovet 7 MW under 8000 h/ ˚ar. F¨oretaget k¨oper elektrisk energi till ett pris av 50 Euro/ MWh. B˚ade det ˚arliga energibehovet och energipriset antas f¨orbli konstanta under en l˚ang f¨oljd av ˚ar. Ber¨akna den ekvivalenta eng˚angsutgiften f¨or elektrisk energi vid avdelningen h¨anf¨ord till tidpunkten to f¨or en tidsperiod p˚a 8 ˚ar, d˚a r¨antefoten ¨ar 7 %/ ˚ar och tidpunkten to v¨aljes
a) vid periodens b¨orjan, b) vid periodens slut !
Exempel 1.4
Vid en reparationsavdelning utf¨ors i medeltal 4000 arbetstimmar per m˚anad. Medeltiml¨onen
2016 ¨ar 20 Euro/ h, vartill kommer 30 % av timl¨onerna som l¨onebikostnader f¨or f¨oretaget.
Man kan anta att antalet arbetstimmar per m˚anad f¨orblir konstant samt att timl¨onen under den kommande tio˚arsperioden ¨okar med 3 %/ ˚ar. Ber¨akna: a) medeltiml¨onen per arbetare vid avdelningen ˚ar 2026, b) det ekvivalenta beloppet av f¨oretagets l¨onekostnader vid avdel-ningen under inkommande tio˚arsperiod h¨anf¨ort till tidpunkten 1.1.2016 om kalkylr¨antefoten
¨
ar 4 %/ ˚ar ! Exempel 1.5.
Diskontera en ˚arlig int¨akt p˚a 10.000 Euro som infaller vid varje ˚ars slut under n˚ar till tid-punkten t0 = 0. J¨amf¨or resultatet om betalningsstr¨ommen ¨ar kontinuerlig.
Exempel 1.6.
Visa att ifall ett l˚an,K(t0), f¨or vilket m˚aste erl¨aggas en ˚arlig r¨anta,p %, ˚aterbetalas undern
˚ar med mstycken (lika stora ekvidistanta) annuiteter per ˚ar, kan de totala r¨antekostnaderna f¨or l˚anet ber¨aknas enligt, (q·n−1)·K(t0) samt summan av annuiteterna under ett ˚ar ber¨aknas enligt, q·K(t0) d¨ar q ges av,
q = p
100% ·
1 + 1 (
1 + p/100%m )n·m
−1
Om antalet annuiteter per ˚ar fastsl˚as ¨ar det i m˚anga fall ¨andam˚alsenligt, att utrita p som funktion av nmed q som parameter. I figur 1.1 illustreras detta d˚a antalet annuiteter per ˚ar fastslagits till m= 12 och 12q anges som parameter.
Figur 1.1 ˚Arlig r¨anta som funktion av l˚anetiden med den m˚anatliga annuiteten som parameter.