Balanser

Vid modellering av processer, enhetsoperationer eller delar av dessa kan man uppst¨alla balan-ser f¨or additiva storheter. Vid uppst¨allning av mass-, energi-, entropi-, r¨orelsem¨angd-, kraft-samt ¨ovriga balanser ¨ar det av v¨asentlig betydelse att klart definiera balansomr˚adet och balanstiden samt att s¨arskilja mellan begrepp s.s. del- (partial-) och totalbalans. De termo-dynamiska storheterna ¨ar ofta definierade som differentialer vilket inneb¨ar att definitionerna givits f¨or infinitesimalt sm˚a balansvolymer. Felaktiga slutsater kan l¨att dras utg˚aende fr˚an f¨or st¨orre balansvolymer erh˚allna storheter ifall denna skillnad inte klarg¨ors.

L˚at oss betrakta en storhet X som kan vara massa, m¨angd, energi, entropi eller n˚agon annan additiv storhet. F¨or en given balanstid och ett definierat balansomr˚ade som utg¨or volymen som innesluts av den yta som definierar balansgr¨ansen f˚as,

Xin+Xprod =Xut+Xack (2.1.1)

d¨ar Xin anger den till balansomr˚adet under balanstiden inkommande m¨angden av X, Xprod

anger den i balansomr˚adet under balanstiden producerade m¨angden avX,Xutanger den fr˚an balansomr˚adet under balanstiden utkommande m¨angden avXsamtX_ackden i balansomr˚adet under balanstiden ackumulerade m¨angden avX.

Vi skall i det f¨oljande betrakta denna balans f¨or olika balanstider och volymer. F¨or balanser vid fortfarighetstillst˚and g¨aller att den ackumulerade m¨angden Xack = 0. F¨or totalbalanser g¨aller att Xprod = 0. F¨or partialbalanser ger Xprod kopplingen med en annan partialbalans (t.ex. vid uppst¨allandet av partialbalanser f¨or ¨amnesm¨angden av kemiska species i en reaktor angerX_prodhur mycket av ¨amnesm¨angden f¨or respektive species som har deltagit i de kemiska reaktionerna. Summan (¨over alla species) av de producerade ¨amnesm¨angderna multiplicerade med deras mol¨ara massa, d.v.s. summan av producerad massa ¨ar givetvis =0). Observera att entropibalansen f¨or en irreversibel situation kan uppfattas som en partialbalans eftersom irreversibla f¨or¨andringar alltid medf¨or en entropi¨okning i omgivningen. X_in respektive X_ut ges av transportprocessen. Utg˚aende fr˚an dessa termer kan ¨aven uttryck f¨or transportpro-cessen inne i balansomr˚adet h¨arledas. Transportfenomen behandlas ing˚aende bl.a. i Bird, Steward och Lighfoot (7).

2.1.1. Balans f¨or en mikrovolym dV

Om vi f¨or balanstiden dt uppg¨or balansen f¨or en infinitesimal balansvolym dV erh˚alles, dXin+ dXprod = dXut+ dXack (2.1.2)

eller

X˙indt+ ˙Xproddt = ˙Xutdt+ dXack

dt dt (2.1.3)

Genom division med balanstiden dt erh˚alles en s.k. str¨ombalans som i detta fall g¨aller f¨or balansvolymen dV och balanstiden dt,

X˙_in+ ˙X_prod = ˙X_ut+ dXack

dt (2.1.4)

D˚a balanstiden definieras som tiden fr˚ant₀ till t erh˚alles,

∫ t vilken ¨ar den generella balansen f¨or en mikrovolym dV under balanstident−t0.

2.1.2. Balans f¨or en makrovolym V

I m˚anga till¨ampningar (och speciellt under denna kurs) ¨onskar man uppst¨alla balanser f¨or fysiskt st¨orre balansvolymer. Balansvolymen kan vara definierad som volymen som innes-luts av den slutna ytan (som definierar balansgr¨ansen) runt en pump, en kompressor, en

˚angavdelning, en fabrik etc. I dylika fall best˚ar balansomr˚adet av o¨andligt m˚anga balansvoly-mer dV och den ackumulerade respektive producerade m¨angden av X m˚aste d¨arf¨or integreras

¨

over hela balansvolymen. L˚at oss f¨orst dela hela balansvolymen V indelvolymer d˚a f˚ar man f¨oljande balanser f¨or balanstiden ∆t

X˙0 ∆t+ ∆X1,prod = ˙X1 ∆t+ ∆X1,ack

X˙₁ ∆t+ ∆X_2,prod = ˙X₂ ∆t+ ∆X_2,ack (2.1.6) . . .

X˙_n−1 ∆t+ ∆X_n,prod = ˙X_n ∆t+ ∆X_n,ack

Ifall vi summerar allanbalanser f¨or delvolymerna f˚as summabalansen f¨or hela balansvolymen V,

Ekvation (2.1.9) eller (2.1.10) ¨ar en generell balansekvation f¨or variabelnX f¨or makrovolymen V under balanstiden dt.

Genom division med balanstiden dt erh˚alles i likhet med balansen f¨or mikrovolymen en s.k.

str¨ombalans som i detta fall g¨aller f¨or balansvolymen V och balanstiden dt, X˙in+ ˙Xprod,tot = ˙Xut+ dXack,tot

dt (2.1.11)

I denna kurs uppst¨alls n¨astan uteslutande str¨ombalanser f¨or makrovolymer och balanstiden dt. D˚a balanstiden definieras som tiden fr˚an t₀ till t erh˚alles p˚a motsvarande s¨att,

∫ t vilken ¨ar den generella balansen f¨or en makrovolym V under balanstiden t− t0. Genom att j¨amf¨ora balanserna f¨or mikrovolymen dV och makrovolymen V kan man observera att produktionen och ackumuleringen av X f¨or makrovolymens del ersatts med den totala pro-duktionen respektive ackumuleringen avX inom balansomr˚adet medan i balansen f¨or mikro-volymen endast ing˚ar den ”lokala” produktionen respektive ackumuleringen. Sambandet mellan ackumulerings- och produktionshastighetstermerna f¨or en mikro- respektive makro-balansvolym ges av,

d¨ar _∂V^∂ = _∂x∂y∂z^∂3 ochx,y,z¨ar koordinaterna. Denna skillnad har i regel ingen st¨orre betydelse f¨or de ber¨akningar som utf¨ors under denna kurs emedan de flesta balanser som uppst¨alls

¨

ar totalbalanser f¨or fortfarighetstillst˚and f¨or vilka b˚ade produktions- respektive ackumule-ringstermen ¨ar lika med noll. Men bl.a. f¨or entropistr¨ombalansens del kan felaktiga slutsatser dras t.ex. om den totala entropiproduktionsstr¨ommen blir positiv f¨or makrobalansvolymen trots att den lokala entropiproduktionsstr¨ommen n˚agonstans inne i balansvolymen ¨ar negativ.

Det termodynamiska villkoret f¨or realiserbara processer,

S˙prod≥0 (2.1.15)

medf¨or att,

S˙prod,tot ≥0 (2.1.16)

f¨or makrobalansen.

Man b¨or d¨aremot observera att det senare villkoret inte entydigt anger att det f¨orra villkoret

¨

ar uppfyllt. Vid unders¨okning av olika processalternativ anger kriteriet

S˙prod,tot <0 (2.1.17)

d¨aremot alltid entydigt att det existerar n˚agot ˙S_prod < 0 lokalt inom balansomr˚adet. Den ur entropibalanser f¨or makrovolymer ber¨aknade ˙Sprod,tot anger s˚aledes alltid entydigt att totalprocessen ¨ar orealiserbar ifall villkoret (2.1.17) ¨ar uppfyllt. Kriteriet (2.1.17) ¨ar s˚aledes anv¨andbart genom att alla t¨ankta processalternativ d¨ar ˙Sprod,tot < 0 m˚aste f¨orkastas. Man b¨or dock observera att detta inte automatiskt inneb¨ar att alla processalternativ d¨ar ˙S_prod,tot ≥ 0 skulle vara realiserbara.

Ifall inga restriktioner uppst¨alls vad betr¨affar m¨ojliga tillst˚andsf¨or¨andringar (d.v.s. om man inte fastl˚aser inneh˚allet i balansomr˚adet till givna enhetsoperationer) ¨ar villkoret f¨or makroba-lansen ˙S_prod,tot ≥0 ett anv¨andbart utmanande kriterium. Utmanande genom att det ˚aterst˚ar att finna de lokala tillst˚andsf¨or¨andringar vilka uppfyller makrobalansen s˚a att ˙Sprod ≥0 lokalt i varje delvolym inom makrobalansens balansgr¨anser. F¨or en fastslagen enhetsoperation eller process ¨ar d¨aremot endast vissa tillst˚andssf¨or¨andringar m¨ojliga. Detta inneb¨ar att villkoret S˙_prod ≥ 0 i vissa fall inte uppfylls trots att villkoret ˙S_prod,tot ≥ 0 ¨ar uppfyllt f¨or makroba-lansen. Vid unders¨okning av fastslagna enhetsoperationer b¨or man d¨arf¨or alltid ¨aven f¨ors¨akra sig om att ˙S_prod ≥0 f¨or alla delvolymer i balansomr˚adet.

Som ett idealiserat gr¨ansfall utnyttjas i en del f¨orenklade h¨arledningar i denna kursbok att S˙_prod,tot = 0. H¨arvid b¨or man vara klart medveten om att detta ideala gr¨ansfall ¨aven f¨oruts¨atter ˙Sprod = 0 f¨or samtliga mikrobalansvolymer. Ett dylikt gr¨ansfall kallas d¨arf¨or i denna kursbok f¨or idealiserat gr¨ansfall.

F¨or uppst¨allning av balanser b¨or de m¨ojliga balansbidrag som kan komma i fr˚aga definieras.

Beskrivning av n˚agra balansbidrag ges i de f¨oljande avsnitten, medan utf¨orligare beskrivning-ar av andra balansbidrag finns bl.a. i Coulson & Richbeskrivning-ardson (1), Look & Sauer (2), Henley

& Rosen (3), Prigogine & Defay (4) samt t.ex. von Schalien (5) och Myr´een (6).