Ekonomisk optimering av kontinuerliga variabler

Ett ofta upptr¨adande problem ¨ar valet av optimala v¨arden ˚at kontinuerliga variabler. Det kan g¨alla val av driftsparametrar, t.ex. temperaturer, tryck eller koncentrationer, val av dimen-sioneringsv¨arden f¨or apparaten, t.ex. v¨armeytor i v¨armev¨axlare, eller best¨amning av tidsperi-oder mellan utbyte av f¨orslitna maskindelar eller tv¨attning av apparater som f¨ormutsas. Ofta

¨

ar dylika variabler sinsemellan beroende och man kan v¨anta sig att det finns en upps¨attning av ” b¨asta ” variabelv¨arden, vilka d˚a b¨or best¨ammas samtidigt.

Processernas ekonomiska resultat p˚averkas i allm¨anhet av hur dessa variablers v¨arden v¨aljs.

Det st˚ar i ¨overrensst¨ammelse med f¨oretagets ekonomiska m˚als¨attning att v¨alja den upps¨ att-ning v¨arden f¨or variablerna, som ger f¨oretaget maximal vinst, f¨orutsatt naturligtvis att dessa v¨arden ¨aven ur andra synpunkter ¨ar godtagbara. Detta ekonomiska villkor skall s˚alunda anv¨andas som kriterium f¨or den b¨asta upps¨attningen parameterv¨arden.

I regel kan man ber¨akna eller uppskatta hur ifr˚agavarande variabler p˚averkar de betalningar och betalningsstr¨ommar, som upptr¨ader i den unders¨okta processen. Dessa betalningar och betalningsstr¨ommar kan d˚a uttryckas som funktioner av dessa variabler, antingen som matematiskt eller grafiskt givna samband. Utg˚aende fr˚an dessa betalningsfunktioner kan man h¨arleda en ekvivalent vinst p˚a det s¨att som beskrivs i avsnittet 1.3.1. Denna ekvivalenta vinst blir d˚a en funktion av de variabler, vilka skall best¨ammas s˚a att den ekvivalenta vinsten f˚ar ett maximum.

I specialfallet att en vinstfunktionV(t0, x) kan uttryckas som en analytisk funktion av endast en variabel x, vilken kan v¨aljas inom intervallet (x1;x2), kan den ekvivalenta vinsten n˚a sitt maximum antingen f¨or v¨ardetx1 eller v¨ardetx2 eller f¨or s˚adana v¨arden p˚ax, som ligger inom det stipulerade intervallet och ¨ar r¨otter till likheten

dV(t0, x)

dx = 0 (1.3.4)

Ifall dess r¨otter ¨ar xi medi = 3,4...n pr¨ovas vilket v¨arde V(t0, xi) medi = 1,2...nsom ¨ar st¨orst och tillh¨orande v¨arde p˚a variabeln x v¨aljes.

Ifall n˚agon betalningsfunktion som ing˚ar i V(t0, x) inte enkelt kan uttryckas i matematisk form utan t.ex. ¨ar grafiskt given kan vinstfunktionen inte deriveras f¨or att ge likheten (1.3.4).

Den kan emellertid i allm¨anhet ritas inom intervallet (x1;x2) i ett diagram och det v¨arde p˚a x, f¨or vilket V(t0, x) har sitt st¨orsta v¨arde inom detta intervall kan avl¨asas ur diagrammet.

Denna grafiska metod ¨ar naturligtvis anv¨andbar ¨aven om vinstfunktionen kan uttryckas som en matematisk funktion. Ett diagram ¨over funktionen V(t0, x) visar dessutom ¨oversk˚adligt hur starkt beroende den ekvivalenta vinsten ¨ar av variabelnx.

D˚a den ekvivalenta vinsten ¨ar beroende av flera variabler, speciellt om de ¨ar flera ¨an tv˚a och sinsemellan beroende, blir en grafisk best¨amning av de optimala variabelv¨ardena mindre

¨

oversk˚adlig och arbetsdryg. ¨Aven en analytisk best¨amning av optimiv¨ardena leder ofta till ett stort r¨aknearbete, emedan antalet kombinationer av variabelv¨arden, f¨or vilka maximum f¨or vinstfunktionen kan intr¨affa, ¨okar snabbt med antalet variabler.

Utom de r¨otter till ekvationssystemet med n ekvationer

∂V(z_k)

∂zk

= 0 k = 1,2...n (1.3.5)

d¨ar samtliga r¨otter ligger inom resp. valbarhetsintervall f¨or variablerna z_k, kan alla 2ⁿ kom-binationer f¨or variablernas intervallgr¨anser ge maximum f¨or V(to,z1,z2...zn). Vidare kan maximum f˚as f¨or v¨arden, som ligger vid intervallgr¨ansen f¨or n˚agon eller n˚agra variabler men inne i valbarhetsintervallet f¨or andra variabler.

I s˚adana fall, d˚a en analytisk eller grafisk l¨osning inte n˚as med rimlig m¨angd r¨aknearbete kan man till¨ampa numeriska optimeringsmetoder f¨or att finna optimipunkten. I appendix ges tv˚a algoritmer f¨or numerisk optimering (minimering) av en godtycklig olinj¨ar funktion i flera variabler utan bivillkor, Fletcher & Powells metod samt Powells metod. Metoderna baserar sig p˚a kvadratisk approximation av den aktuella funktionen och konvergerar p˚a ett iterationsvarv ifall ¨aven den unders¨okta funktionen ¨ar kvadratisk. F¨or icke kvadratiska funktioner kr¨avs ett st¨orre antal iterationer f¨or att erh˚alla l¨osningen. F¨or godtyckliga funktioner kan inte heller konvergens garanteras och f¨or funktioner med flera lokala optima erh˚alles som l¨osning (ifall en s˚adan uppn˚as) endast ett lokalt optimum. Lokalt optimum uppn˚as i ”normala” fall med f¨arre ¨an 100 funktionsber¨akningar f¨or vardera algoritmen ifall antalet variabler ¨ar f¨arre ¨an 20. F¨or att delvis l¨osa problemet med lokala optima kan optimeringsproceduren startas med olika initialv¨arden p˚a de s¨okta variablerna.

Den f¨orra metoden utnyttjar analytisk gradientinformation f¨or l¨osning av optimeringsprob-lemet medan den senare metoden inte fordrar explicit gradientinformation f¨or l¨osning av opti-meringsproblemet. Algoritmerna som ges i appendix g˚ar under namnen FMFP och POWELL (8),(9). I appendix ges vidare en optimeringsmetod MARQDT (8) som l¨oser optimum f¨or en speciell typ av kvadratisk kriteriefunktion under allm¨anna bivillkor samt en algoritm som l¨oser optimum f¨or linj¨ara funktioner under linj¨ara bivillkor LINMIN (8).

I vissa fall ¨ar de begr¨ansande villkoren f¨or hur variablerna f˚ar v¨aljas beroende av varandra, varvid valbarhetsintervallen ers¨attes med bivillkor i form av en eller flera ekvationer. D˚a kan den matematiska behandlingen f¨orenklas om man utnyttjar Lagranges multiplikatorer.

F¨or vissa typer av bivillkor (t.ex. max och min gr¨anser f¨or variablerna) kan ¨aven s.k.

strafffunktioner utnyttjas vid l¨osningen av optimeringsproblemet. I fall d˚a variablerna z_k

¨

ar begr¨ansade inom ett visst intervall kan t.ex. f¨oljande straffunktion utnyttjas, S(z₁, z₂, ..., z_n) =

d¨ar m ¨ar ett j¨amnt heltal och Sk,0 konstanter som kan uppskattas ur, Sk,0 =|∂V(zk)

∂z_k |gr¨ans

zk,max−zk,min

2m (1.3.7)

Straffunktionen adderas till den ursprungliga funktionen V(zk) varvid den sammanslagna funktionen W(z₁, z₂, ..., z_n) minimeras.

z₁,zmin₂,...,z_n{W(z1, z2, ..., zn) =V(z1, z2, ..., zn) +S(z1, z2, ..., zn)} (1.3.8) I andra fall kan den ekvivalenta vinsten - eller n˚agon annan storhet vars v¨arde skall optimeras - uttryckas som en linj¨ar funktion av de valbara variablerna. Hur dessa f˚ar v¨aljas kan ˚ater vara begr¨ansat av linj¨ara likheter eller olikheter. ¨Ar de oberoende variablerna f˚a ¨ar best¨amningen av optimipunkten ett trivialt problem, men antalet m¨ojliga kombinationer stiger snabbt med antalet variabler. Optimum f¨or en linj¨ar funktion med linj¨ara bivillkor kan l¨osas med linj¨ar programmering. I vissa fall kan ¨aven minimum f¨or en linj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor eller minimum f¨or en olinj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor l¨osas med en algoritm f¨or linj¨ar programmering. I det f¨oljande avsnittet skall vi n¨armare studera n˚agra problemst¨allningar som kan l¨osas med linj¨ar programmering. I appendix ges ett datorprogram LINMIN f¨or l¨osning av linj¨arprogrammeringsproblem med den s.k. 2-fas SIMPLEX metoden. Detta program liksom ¨aven de ¨ovriga programmen i appendix finns beskrivna i programbiblioteket CHEEP, Westerlund (8).

Dynamisk programmering ¨ar en speciell metod f¨or best¨amning av optimala v¨arden f¨or vari-abler i s˚adana system, som kan delas upp i flera steg inom vilka ett mindre antal av vari-ablerna kan isoleras. Den matematiska proceduren till˚ater en optimering inom varje steg skilt f¨or sig med beaktande av g¨allande bivillkor, f¨or att efter slutf¨ord ber¨akning ge en upps¨attning v¨arden p˚a de valbara variablerna, vilka leder till ett totalt optimum, t.ex. ett maximum f¨or en vinstfunktion.

En n¨armare genomg˚ang av de mera avancerade metoderna f¨or ber¨akning av optima och de v¨arden p˚a oberoende variabler f¨or vilka dessa optima erh˚alles faller utanf¨or ramen f¨or denna kurs. N˚agot utf¨orligare introduktioner till dessa metoder ges av bl.a. Rao (6), Taha (7) och Peters & Timmerhaus (1).

Exempel 1.11.

En apparat som arbetar vid h¨og temperatur skall v¨armeisoleras. Isoleringens pris ¨ar (4 +

s

cm)·1600 Euro, d¨ar s ¨ar isoleringens tjocklek. Kostnaderna f¨or v¨armef¨orlusterna ber¨aknas vara 6000 Euro/ ˚ar d˚a isoleringstjockleken ¨ar 5 cm och kan antas vara indirekt proportionella med isoleringstjockleken. Denna b¨or vara minst 2 cm f¨or att dess yttemperatur inte skall bli f¨or h¨og men kan p˚a grund av utrymmesbrist inte g¨oras st¨orre ¨an 10 cm. Ber¨akna den

f¨ordelaktigaste isoleringstjockleken om apparaten skall vara i drift under a) 5 ˚ar,

b) 15 ˚ar och kalkylr¨antefoten ¨ar 6 %/ ˚ar !

Exempel 1.12.

Totala effektbehovet f¨or en N-stegs kompressor med mellankylning efter varje steg ges av, Ptot,N = m˙

η_mη_ad ( _N

∑

i=1

(h(pi, T_i^′)−h(pi−1, T0)) )

d¨ar T_i^′ ges av,

s(p_i, T_i^′) =s(p_i−1, T₀)

Best¨am trycken p₁, p₂, ..., p_N−1 s˚a att energikostnaderna f¨or kompressionen minimeras. ˙m, T0, p0, pN, N, ηm, ηad, uttryck f¨or specifik entalpi och entropi samt energipriset ¨ar givna.

Uppg¨or ett huvudprogram samt l¨ampligt underprogram f¨or l¨osning av optimeringsproblemet med n˚agon av de numeriska optimeringsmetoder som ges i appendix.