AAANNNLLLÄÄÄGGGGGGNNNIIINNNGGGSSS--- OOOCCCHHH SSSYYYSSSTTTEEEMMMTTTEEEKKKNNNIIIKKK

256  Download (0)

Kokoteksti

(1)

A A A N N N L L L Ä Ä Ä G G G G GN G N NI I IN N NG G GS S S- - - O O O C C C H H H

S S S Y Y Y S S S T T T E E E M M M T T T E E E K K K N N N I I I K K K

T T T a a a p p p i i i o o o W W W e e e s s s t t t e e e r r r l l l u u u n n n d d d

(2)
(3)

INNEH˚ALLSF ¨ORTECKNING Sida

F¨orord. . . .5

1. EKONOMISKA ANALYSER. . . .6

1.1. Industrif¨oretagets m˚als¨attning och ingenj¨orens uppgift. . . .6

1.2. Pengars v¨arde som funktion av tiden. . . .8

1.2.1. Eng˚angsbetalningars f¨orr¨antning. . . .8

1.2.2. Betalningsstr¨ommars ekvivalenta eng˚angsbetalningar. . . .10

1.2.3. Inflation. . . .14

1.3. Metoder f¨or val av det ekonomiskt b¨asta alternativet. . . .15

1.3.1. Ekvivalent vinst. . . .15

1.3.1.1. Nuv¨ardesmetoden. . . .16

1.3.1.2. Annuitetsmetoden. . . .17

1.3.2. Viktiga utg˚angsv¨arden f¨or ekonomiska kalkyler. . . .17

1.3.2.1. Pay-off metoden. . . .19

1.3.2.2. Internr¨antemetoden. . . .19

1.3.3. Ekonomisk optimering av kontinuerliga variabler. . . .22

1.4. Produktionsplanering. . . .25

1.4.1. Linj¨ar programmering. . . .26

1.4.1.1. Algoritm f¨or l¨osning av linj¨arprogrammerings- problem. . . .26

1.4.1.2. Minimum f¨or en linj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor. . . .28

1.4.1.3. Minimum f¨or en olinj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor. . . .29

1.4.2. Transportproblem. . . .29

1.4.2.1. Algoritm f¨or l¨osandet av transportproblem. . . .30

1.5. Slutkommentar. . . .33

2. GRUNDPRINCIPER VID MODELLERING. . . .34

2.1. Balanser. . . .34

2.1.1. Balans f¨or en mikrovolym dV . . . .34

2.1.2. Balans f¨or en makrovolym V . . . .35

2.2. Mass- och ¨amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .37

2.2.1. ¨Amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .38

2.2.2. Bidrag till mass- och ¨amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .39

2.3 Energistr¨ombalansen . . . .40

2.3.1. Bidrag till energistr¨ombalansen . . . .40

2.4 Entropistr¨ombalansen . . . .45

2.4.1. Bidrag till entropistr¨ombalansen . . . .46

2.5 Exempel p˚a balanser f¨or mikrovolymer . . . .48

(4)

3. EGENSKAPER HOS TEKNISKT VIKTIGA GASER. . . .52

3.1. Tillst˚andsstorheter. . . .52

3.1.1. Tillst˚andsekvationer. . . .55

3.1.2. Viktiga termodynamiska samband. . . .55

3.1.3. Modeller f¨or den specifika v¨armekapaciteten, cp(T). . . .60

3.1.4. Modeller f¨or tillst˚andsekvationen, v(p, T). . . .60

3.1.4.1. ”Idealgaslagen”. . . .60

3.1.4.2. Kompressibilitetsfaktor och virialkoefficienter. . . .62

3.1.4.3. Kubiska tillst˚andsekvationer. . . .62

3.1.4.4. Tillst˚andsekvationer baserade p˚a reducerat tryck och temperatur. . . .64

3.2. M¨angd- och koncentrationsstorheter. . . .66

3.3. Egenskaper hos vatten˚anga. . . .68

3.3.1. M¨attningstillst˚and. . . .68

3.3.2. ¨Overhettad och fuktig ˚anga. . . .70

3.3.3. Kokpunktsf¨orh¨ojning. . . .71

3.4. Egenskaper hos fuktig luft. . . .73

3.4.1. Luftens sammans¨attning och vatteninneh˚all. . . .73

3.4.2. Specifik entalpi f¨or fuktig luft. . . .75

3.4.3. Tillst˚andsdiagram f¨or fuktig luft. . . .76

3.4.4. Metoder f¨or best¨amning av luftens vatteninneh˚all. . . .76

3.5. Egenskaper hos r¨okgaser. . . .82

3.5.1. Br¨anslens sammans¨attning och v¨armev¨arde. . . .82

3.5.2. F¨orbr¨anningsluftbehov, r¨okgasm¨angd och -sammans¨attning . . .86

3.5.3. Ofullst¨andig f¨orbr¨anning. . . .89

3.5.4. R¨okgasers sammans¨attning vid kemisk j¨amvikt. . . .91

3.5.4.1. St¨okiometri. . . .91

3.5.4.2. Energi- och entropistr¨ombalans. . . .93

3.5.4.3. Minimering av gibbs energi. . . .94

3.5.5. R¨okgasers entalpi. . . .99

3.5.6. R¨okgasers temperatur. . . .101

3.5.7. Tillst˚andsdiagram f¨or r¨okgaser. . . .103

4. MATERIALTRANSPORT. . . .106

4.1. Transport av v¨atskor med pumpar. . . .106

4.1.1. V¨atskors egenskaper. . . .106

4.1.2. Allm¨anna egenskaper hos pumpar. . . .108

4.1.3. Vanliga pumptyper och deras anv¨andningsomr˚aden. . . .112

4.1.4. Centrifugalpumpars karakteristikor. . . .116

4.1.5. F¨ortr¨angningspumpars karakteristikor. . . .120

4.1.6. Pumpars arbetspunkt. . . .120

4.1.7. Best¨amning av elementmotst˚andstal. . . .125

4.1.8. Ventilmotst˚andstal samt -karakteristika. . . . 126

4.1.9. L¨agsta tryck. Kavitation och tv˚afasstr¨omning . . . .128

(5)

4.1.10. Pumpkopplingar . . . .130

4.1.10.1. Pumpens eller pumpkopplingens karakteristikor. . . . .131

4.1.10.2. Maximal verkningsgrad vid arbetspunkten. . . .133

4.2. Transport av gaser med fl¨aktar. . . .136

4.2.1. Fl¨aktars anv¨andningsomr˚ade. . . .136

4.2.2. Vanliga fl¨akttyper och deras karakteristikor. . . .137

4.2.3. Fl¨aktars arbetspunkt. . . .139

4.3. Transport av gaser med kompressorer. . . .141

4.3.1. Energi- och entropistr¨ombalanser f¨or kompressorer. . . .141

4.3.2. Adiabatisk kompression i ett eller flera steg. . . .142

4.3.3. Isotermisk verkningsgrad. . . .146

4.3.4. Optimal kompression i N-steg med mellankylning. . . .146

4.3.5. Optimal kompression i ett godtyckligt antal steg med mellankylning. . . .148

4.3.6. Olika kompressortyper och deras anv¨andningsomr˚aden. . . .149

5. V ¨ARMETRANSPORT. . . .152

5.1. V¨armev¨axlare. . . .152

5.1.1. V¨armev¨axling med kondenserande ˚anga. . . .154

5.1.1.1. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .154

5.1.1.2. Kommentarer r¨orande v¨armev¨axlare med ˚angkondensering. . . .156

5.1.2. Mot- och medstr¨omsv¨armev¨axlare. . . .160

5.1.2.1. Motstr¨omsprincipen vid v¨armev¨axling. . . .160

5.1.2.2. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .161

5.1.3. Kors- och blandstr¨omv¨armev¨axlare. . . .167

5.1.3.1. Konstruktiva utf¨oranden. . . .167

5.1.3.2. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .169

5.1.3.3. Volymetriskt v¨arme¨overf¨oringstal samt medeltemperaturdifferens. . . .171

5.1.4. V¨armegenomg˚angstalet. . . .172

5.1.4.1. Definition. . . .172

5.1.4.2. Ensidigt f¨orstorad v¨armeyta. . . .173

5.1.4.3. Ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstal. . . .174

5.1.4.4. Ber¨akning av v¨armegenomg˚angstal vid kondensation 179 5.1.5. Tryckfall i v¨armev¨axlare. . . .182

5.2. V¨armev¨axlarn¨at. . . .182

5.2.1. Uppv¨armnings- och avkylningskurvor. . . .182

5.2.2. Optimala v¨armev¨axlarn¨at. . . .186

5.2.2.1. Obegr¨ansade v¨armev¨axlarn¨ats optimala struktur . . . . .186

5.2.2.2. Begr¨ansade v¨armev¨axlarn¨ats optimala struktur. . . .188

5.2.2.3. Minimering av v¨armev¨axlarn¨atets totalkostnader. . . . .189

(6)

6. PROCESSIMULERING. . . . 193

6.1. Processimuleringsprogram. . . .193

6.2. Introduktion till PROCESS. . . .194

6.2.1. Huvudinstruktioner i PROCESS. . . .195

6.2.2. Underinstruktioner i PROCESS. . . .196

6.2.2.1. Underinstruktioner till ”TITLE”. . . .196

6.2.2.2. Underinstruktioner till ”COMPONENT DATA”. . . .197

6.2.2.3. Underinstruktioner till ”THERMODYNAMIC DATA” . . . . 197

6.2.2.4. Underinstruktioner till ”STREAM DATA”. . . .198

6.2.2.5. Underinstruktioner till ”UNIT OPERATIONS DATA”. . . .198

6.2.3. Simuleringsexempel med PROCESS. . . .200

6.3. Introduktion till ASPEN Plus. . . .202

6.3.1. Enheter i ASPEN Plus. . . .203

6.3.2. Block i ASPEN Plus. . . .205

6.3.3. Simuleringsexempel med ASPEN Plus. . . . 206

7. PROCESSOPTIMERING. . . . 212

APPENDIX. . . .219

A.1. Numeriska algoritmer f¨or rots¨okning och optimering. . . .219

A.1.1. BOLZAN - Bolzanos metod f¨or endimensionell rots¨okning . . .220

A.1.2. FMFP - Fletcher & Powell’s optimeringsalgoritm. . . .221

A.1.3. POWELL - Powell’s ”direction set” optimeringsalgoritm . . . . .224

A.1.4. LINMIN - 2-fas SIMPLEX optimeringsalgoritm. . . .229

A.1.5. MARQDT - Marquardt & Levenbergs icke linj¨ara regressionsalgoritm. . . .231

A.2. Termodynamiska tabeller. . . .235

A.2.1. Termodynamiska egenskaper hos vatten och vatten˚anga vid m¨attning. . . . 236

A.2.2. Mol¨ara entalpier f¨or n˚agra r¨okgaskomponenter. . . .237

A.3. Diagram . . . .239

A.3.1. h-s diagram f¨or vatten˚anga. . . .240

A.3.2. x-Θ diagram f¨or fuktig luft. . . .241

A.3.3. j-Θ diagram f¨or r¨okgaser och luft f¨or olika br¨anslen . . . .243

A.3.4. Den logaritmiska medeltemperturskillnadens korrektionsfaktor f¨or olika typer av v¨armev¨axlare. . . .251

A.4. F¨orteckning ¨over ¨ovningsuppgifter. . . .252

(7)

F¨orord

Bokenanl¨aggnings- och systemteknik¨ar fr¨amst avsedd som st¨od f¨or studerande som avl¨agger sin diplomingenj¨orsexamen vid ˚Abo Akademi, men kan ¨aven vara till nytta f¨or alumner som

¨

onskar uppdatera sina kunskaper i ¨amnet, eller f¨or andra tekniskt intresserade.

Boken ger en introduktion till process- och produktionsplanering samt sammansatta anl¨agg- ningars dimensionering och optimering. Enhetsoperationer f¨or material- och v¨armetransport, transportsystem f¨or v¨atskor och gaser, v¨armev¨axlarn¨at och andra process- och energitekniskt intressanta helheter inom processindustrin behandlas. Ekonomiska och milj¨om¨assiga aspek- ter i anslutning till problemst¨allningarna betonas.

Inneh˚allet f¨oruts¨atter att l¨asaren har vissa f¨orkunskaper i termodynamik och om kemiteknik.

Som st¨od i termodynamik rekommenderas t.ex. Look & Sauer (1986)Engineering Thermody- namics, PWS Engineering och f¨or djupare insikter i kemiteknik t.ex. Coulson & Richardson (1976) Chemical Engineering, Pergamon Press, och Mc Cabe, Smith & Harriot (1985) Unit Operations of Chemical Engineering, Mc Graw Hill.

Avsnitten i boken inneh˚aller ett flertal ¨ovningsuppgifter vars avsikt ¨ar att f¨or l¨asaren un- derl¨atta att ta till sig inneh˚allet och genom det f¨orv¨arva f¨ardigheten att sj¨alv kunna formulera och l¨osa nya mer avancerade anl¨aggnings- och systemtekniska problemst¨allningar, speciellt inom process- och tr¨af¨or¨adlingsindustrin. Stor vikt har d¨arf¨or lagts vid att ge f¨orst˚aelse av grundvalarna f¨or de teorier som behandlas.

Boken har utformats s˚a att varannan sida med avsikt l¨amnats tom f¨or att ge utrymme f¨or till¨aggsanteckningar. Inneh˚allet baserar sig i huvudsak p˚a de f¨orel¨asningar som jag h¨oll vid ˚Abo Akademi ˚aren 1985-2016. Vissa avsnitt i boken bygger ¨aven p˚a f¨orel¨asningar i anl¨aggnings- och apparatteknik utgivna av min f¨oretr¨adare professor Bertel Myr´een som han v¨alvilligt st¨allt till mitt f¨orfogande. Jag vill d¨arf¨or framf¨ora mitt varma tack till honom. Sam- tidigt vill jag ocks˚a tacka DI Ulla B¨ackstr¨om, TkD Hans Skrifvars, TkL Kurt Lundqvist och TkL Frej Bjondahl f¨or hj¨alp bl.a. vid renritning av diagram och figurer i de olika upplagorna av boken.

Bokens sjunde upplaga har kompletterats med till¨aggsmaterial i n˚agra avsnitt och tryckfel har r¨attats till, men boken ¨ar i huvudsak ett nytryck av den sj¨atte upplagan. F¨or att f¨orb¨attra inneh˚allet i framtida upplagor ¨ar undertecknad fortfarande tacksam f¨or kommentarer.

˚Abo 2019-03-01 Tapio Westerlund

(8)

1. EKONOMISKA ANALYSER

1.1. Industrif¨oretagets m˚als¨attning och ingenj¨orens uppgift

I den dynamiska milj¨o d¨ar industrif¨oretag verkar uppst˚ar st¨andigt nya situationer, som f¨oruts¨atter avg¨oranden av dem som arbetar inom f¨oretaget. Icke minst till ingenj¨orer delegeras r¨att att fatta beslut i fr˚agor d¨ar olika alternativ kan komma ifr˚aga.

Varje f¨oretag har en mera eller mindre konkret definierad m˚als¨attning, som best˚ar av flera komponenter. En av dessa komponenter, som i allm¨anhet ges stor vikt, ¨ar att f¨oretaget p˚a l˚ang sikt skall g˚a med vinst. Andra komponenter av stor vikt ¨ar skapandet av en s¨aker och trivsam arbetsmilj¨o f¨or de anst¨allda och minimeringen av de skadeverkningar, som den industriella verksamheten eller framst¨allda produkter kan ha.

F¨or de inom f¨oretaget arbetandes str¨avan att uppfylla m˚als¨attningen finns m˚anga begr¨ansan- de faktorer. Dylika kan vara knapphet p˚a ekonomiska resurser, p˚a r˚avaror eller arbetskraft, marknadens begr¨ansningar eller avsaknaden av tekniska l¨osningar, med vilka ¨onskat m˚al kun- de uppn˚as. Lagstiftningen begr¨ansar m¨ojligheterna att v¨alja kanske ekonomiskt f¨ordelaktiga alternativ f¨or verksamheten, s˚adana lagar ¨ar t.ex. patentlagen, arbetstidslagen, tryckk¨arlsla- gen, luftv˚ardslagen och vattenlagen. ¨Aven ing˚agna avtal s˚asom leveransavtal eller kollekti- vavtal begr¨ansar handlingsfriheten.

Det ¨ar de vid f¨oretaget anst¨allda ingenj¨orernas uppgift att, inom ramen f¨or sina befogenheter och ansvarsomr˚aden efter b¨asta f¨orm˚aga verka f¨or att samtliga faktorer beaktas. Uppenbart

¨

ar att s˚av¨al de ingenj¨orer, som har ansvaret f¨or och skall leda driften vid produktionsav- delningar, men ¨aven de som har forsknings- eller utvecklingsuppdrag inom f¨oretaget, kan g¨ora en betydande insats i detta h¨anseende. Alla m˚als¨attningens komponenter b¨or h¨arvid naturligtvis beaktas.

(9)

M˚anga g˚anger skall ingenj¨orerna avge f¨orslag eller fatta beslut, d˚a dessa inte kan g¨oras ut- g˚aende fr˚an en kvantitativ ekonomisk j¨amf¨orelse av ifr˚agakommande alternativ, utan m˚aste g¨oras intuitivt. Ofta st¨alls de emellertid inf¨or begr¨ansade beslutssituationer, d˚a enbart den ekonomiska m˚als¨attningen i form av maximal vinst under en ¨oversk˚adlig framtid har be- tydelse. I det f¨oljande skall endast j¨amf¨orelsen av dylika juridiskt, socialt, etiskt och ur milj¨ov˚ardssynpunkt godtagbara alternativ behandlas.

F¨oljande vanliga fr˚agest¨allningar belyser dylika valsituationer:

1. Skall en gammal apparat repareras eller en ny k¨opas?

2. Skall man v¨alja funktionss¨att ”a” eller ”b” f¨or en ny apparat?

3. Vilken kapacitet eller dimension skall v¨aljas f¨or en ny apparat?

4. Skall en maskin k¨opas av leverant¨oren A eller av leverant¨oren B?

5. Vilka v¨arden skall v¨aljas ˚at driftsparametrarna?

Dessa fr˚agor ¨ar teknisk-ekonomiska till sin natur och ˚atminstone utg˚angsv¨ardena f¨or en eko- nomisk kalkyl m˚aste ges av personer med kvalificerad teknisk skolning. Dylika utg˚angsv¨arden

¨

ar det produktutbyte processer kan v¨antas ge, behovet av olika dyra r˚amaterial,energibehovet, maskineriets kvalitet som utg˚angspunkt f¨or uppskattning av underh˚allskontnader o.s.v. Of- tast skall ingenj¨oren emellertid g¨ora ett definitivt f¨orslag eller beslut, varvid det naturliga ¨ar att han sj¨alv g¨or den ekonomiska kalkylen.

Observera, att det alltid g¨aller att sinsemellan j¨amf¨ora med varandra tv˚a eller flera alternativ.

Dessa kan vara till antalet begr¨ansade s˚asom i fr˚agest¨allningarna 1, 2 och 4 eller obegr¨ansade s˚asom i fr˚agest¨allningarna 3 och 5. I det senare fallet kan det g¨alla att v¨alja ett ekonomiskt optimalt v¨arde p˚a en kontinuerlig variabel.

Viktigt ¨ar att samtliga realistiska alternativ unders¨oks. S˚alunda kan d˚a man ¨overv¨ager ett k¨op av en apparat fr˚an n˚agondera av tv˚a m¨ojliga leverant¨orer ett tredje realistiskt alternativ vara, att man inte ¨overhuvudtaget k¨oper en apparat. Ocks˚a detta alternativ skall allts˚a tas med vid l¨onsamhetsj¨amf¨orelsen. Vidare ¨ar det viktigt, att samtliga faktorer som ber¨ors av ifr˚agavarande alternativ beaktas. Valet f˚ar t.ex. inte g¨oras s˚a, att vinsten maximeras endast f¨or den avdelning, f¨or vilken den som utf¨or kalkylen b¨ar ansvaret, utan att beakta de ekonomiska konsekvenser det f¨oreslagna alternativet har f¨or andra delar av f¨oretaget. En dylik

”suboptimering” kan leda till beslut, som inte ¨ar f¨orenliga med m˚als¨attningen f¨or f¨oretaget i sin helhet.

Det b¨or m˚ah¨anda understrykas, att den tekniskt sett b¨asta l¨osningen inte beh¨over vara det ekonomiskt b¨asta alternativet, i sj¨alva verket ¨ar detta r¨att s¨allan fallet.

(10)

I vissa fall kan naturligtvis en teknisk framom en ekonomisk optimering vara motiverad. H¨ar kan trivsel- och s¨akerhetsfaktorer spela in och f¨oretaget kan ha andra intressen att bygga en dyrare anl¨aggning ¨an omedelbara ekonomiska faktorer skulle f¨oruts¨atta.

Ekonomiska storheters v¨arde kan i allm¨anhet m¨atas i pengar och s˚alunda inf¨oras i matema- tiska uttryck. I det f¨oljande skall i korthet behandlas metoder, som kan till¨ampas d˚a man utf¨or ekonomiska kalkyler. Pengars v¨arde ¨ar emellertid beroende av vid vilken tidpunkt dessa st˚ar till f¨orfogande och innan man kan utf¨ora dessa kalkyler m˚aste man k¨anna till hur pengarnas v¨arde f¨or¨andras med tiden.

1.2. Pengars v¨arde som funktion av tiden

Vid ekonomiska kalkyler upptr¨adande problem ¨ar att med varandra j¨amf¨ora penningbelopp som f¨orekommer vid olika tidpunkter samt att j¨amf¨ora som kontinuerliga betalningsstr¨ommar, t.ex. kostnaderna f¨or r˚amaterial i en kontinuerlig process, med eng˚angsbetalningar, t.ex.

erlagt pris f¨or ink¨opt maskineri. J¨amf¨orelsen f¨orsv˚aras av att varje s˚adan betalning un- derg˚ar en v¨ardef¨or¨andring med tiden. Det ¨ar d¨arf¨or av vikt, att man ut¨over beloppen ocks˚a k¨anner till de tidpunkter, vid vilka eng˚angsbetalningarna och de tidintervall inom vilka be- talningsstr¨ommarna intr¨affar.

Det nominella v¨ardet eller beloppet av ett kapital, dvs. en penningsumma, ¨okar med tiden till f¨oljd av f¨orr¨antning. Detta inneb¨ar att en penningsumma i regel ¨ar mera v¨ard om den st¨alls till disposition vid en tidigare ¨an vid en senare tidpunkt. Man kan ju alltid investera detta penningbelopp vid den tidigare tidpunkten - om inte p˚a annat s¨att s˚a genom att deponera det i en bank - varvid man vid den senare tidpunkten ut¨over det ursprunliga beloppet f¨orfogar

¨

over en viss r¨anta. Myntenheten kan emellertid ocks˚a underg˚a en v¨ardef¨or¨andring, varigenom penningbeloppets reella v¨arde eller k¨opkraft minskar. En inflation motverkar allts˚a genom myntenhetens v¨ardeminskning den reella v¨arde¨okning av ett kapital, som f¨orr¨antningen ˚astad- kommer.

1.2.1. Eng˚angsbetalningars f¨orr¨antning

Till en b¨orjan fr˚anses eventuella f¨or¨andringar i myntenhetens v¨arde och granskas endast kapitaltillv¨axten genom f¨orr¨antning.

Antag att man vid en viss tidpunkt t0 l˚anar ett kapital, vars belopp vid denna tidpunkt ¨ar K(t0). F¨orutom att man efter en viss tid m˚aste ˚aterbetala l˚anesumman, m˚aste man ¨aven erl¨agga r¨anta, vilken ber¨aknas enligt en ¨overenskommen r¨antefotp. R¨antefoten anger hur stor

(11)

br˚akdel av kapitalet som per tidsenhet skall erl¨aggas i r¨anta och den ges vanligen i enheten

%/ ˚ar. Efter 1 ˚ar r¨aknat fr˚an l˚anetidpunkten ¨ar r¨antan K(t0)·0,01· p

%/˙ar

Om man i st¨allet f¨or att t.ex. ˚arligen betala r¨antan ˚at l˚anegivaren inr¨aknar den i det ur- sprungliga l˚anet, har detta efter 1 ˚ar stigit till

K(t0+ 1 ˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)

Under f¨oljande ˚ar skall r¨anta r¨aknas p˚a det s˚alunda ut¨okade l˚anebeloppet och l˚anesumman inklusive r¨anta har d˚a efter 2 ˚ar stigit till

K(t0+ 2 ˙ar) =K(t0+ 1 ˙ar)·(1 + 0,01· p

%/˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)

2

och allts˚a allm¨ant eftern˚ar till

K(t0+n ˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)n (1.2.1)

Man finner att l˚anesummans belopp ¨okar exponentiellt med antalet ˚ar, allts˚a med tiden.

I ovanst˚aende resonemang har man utg˚att fr˚an, att r¨anta l¨aggs till l˚anekapitalet vid varje

˚ars slut. Industriella investeringar ger avkastningen ofta i form av ¨over ˚aren utspridda f¨ors¨aljningsint¨akter eller besparingar till f¨oljd av uteblivna kostnader. Denna avkastning, som ¨ar r¨anta och ˚aterbetalning av det till produktionen ”l˚anade” kapitalet, kan omedelbart

˚ater investeras och p˚a det s¨attet f˚as r¨anteb¨arande. Hur detta sker kan variera fr˚an fall till fall. Uttrycket (1.2.1) kan under dessa omst¨andigheter inte anses g¨alla exakt.

Utan att g¨ora avkall p˚a den f¨or h¨ar behandlade ekonomiska ber¨akningar beh¨ovliga noggrann- heten kan man emellertid ta fasta p˚a att beloppet ¨okar exponentiellt med tiden

K(t) =K(t0)·Ptar˙t0 (1.2.2) Detta uttryck kan anv¨andas f¨or ber¨akning av det ekvivalenta beloppet vid tidpunkten t av en betalning, som utfaller vid tidpunkten t0. H¨ar ¨ar P en r¨antefaktor, som kan ber¨aknas ur f¨oretagets kalkylr¨antefotp enligt,

P = 1 + 0,01· p

%/˙ar (1.2.3)

Vid en j¨amf¨orelse av uttrycken (1.2.1) och (1.2.2) finner man att de ¨ar identiskt lika d˚a t−t0 = n˚ar. Exponenten tar˙t0 beh¨over emellertid inte vara ett heltal och kan ¨aven vara ett negativt tal.

(12)

Exempel 1.1.

En r¨akning p˚a 10.000 Euro skall betalas den 1.1.2012. Vad ¨ar beloppets ekvivalenta v¨arde den 1.1.2019 om kalkylr¨antefoten ¨ar

a) 4 %/˙ar, b) 8 %/˙ar ?

Exempel 1.2.

Man r¨aknar med att ˚ar 2023 kunna realisera en anl¨aggningsdel f¨or ett pris av 100.000 Euro.

Vad ¨ar det ekvivalenta v¨ardet av denna int¨akt ˚ar 2012, om kalkylr¨antefoten ¨ar 9 %/˙ar och man kan anta, att myntenhetens v¨arden inte f¨or¨andras ?

1.2.2. Betalningsstr¨ommars ekvivalenta eng˚angsbetalningar

Som redan n¨amnts upptr¨ader int¨akter och utgifter ofta t¨amligen j¨amnt f¨ordelade ¨over ett tidintervall. Dylika betalningar uppst˚ar genom f¨ors¨aljning av tillverkade produkter. Trots att betalningarna alltid uppr¨ader vid diskreta tidpunkter kan man utan m¨arkbart fel i en kalkyl vid en matematisk behandling av dessa ofta upptr¨adande betalningar uppfatta dem som i tiden kontinuerliga betalningsstr¨ommar.

F¨or att kunna j¨amf¨ora dylika kontinuerliga betalningsstr¨ommar som har dimensionen ett belopp per tidenhet (Euro/ h), med eng˚angsbetalningar, vars dimension ¨ar enbart ett belopp (Euro), m˚aste man ber¨akna det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen vid den tidpunkt d˚a eng˚angsbetalningen erl¨agges. Detta kan ske p˚a f¨oljande s¨att.

Det tidintervall (t1;t2) inom vilket betalningsstr¨ommen infaller delas upp i ett antal sam- manh¨angande delintervall ∆ti, vilka v¨aljes tillr¨ackligt sm˚a f¨or att man inom varje delintervall skall kunna betrakta produkten k(ti)·∆ti som en eng˚angsbetalning vid tidpunkten ti. H¨ar

¨

ar k(ti) v¨ardet av betalningsstr¨ommen vid tidpunkten ti, som ligger inom ett betraktat in- tervall. Denna eng˚angsbetalning kan omr¨aknas till en ekvivalent eng˚angsbetalning ∆Ki(to) vid en valbar referenstidpunkt to med uttrycket (1.2.2), allts˚a

∆Ki(t0) =k(ti)·∆ti·P

(ti−t0 )

˙ ar

S˚a kan man f¨orfara med betalningen inom varje tidintervall ∆ti. D˚a de ber¨aknade ekvivalenta delbetalningarna ∆Ki(to) intr¨affar vid samma tidpunkt to kan de adderas, varvid man f˚ar det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen inom hela tidintervallet (t1;t2)

K(t0) = Σ∆Ki(t0) = Σk(ti)·P(ti−ar˙ t0 ) ·∆ti (1.2.4) Summeringen skall naturligtvis ske ¨over samtliga deltidintervall. L˚ater man deltidintervallens antal v¨axa, s˚a att samtliga ∆ti g˚ar mot dt, kan enligt definitionen p˚a best¨amd integral summauttrycket i (1.2.4) skrivas

K(t0) =

t2

t1

k(t)·P(tar˙t0 ) dt (1.2.5)

(13)

Integrationen kan utf¨oras om man k¨anner funktionen k(t), dvs. betalningsstr¨ommens tid- beroende inom intervallet (t1;t2) F¨or det specialfall, att betalningsstr¨ommen ¨ar konstant inom detta intervall, allts˚a

k(t) =c, t1 < t < t2 (1.2.6)

f˚as efter integrering

K(t0) = ˙ar

lnP ·(P(t1−ar˙ t0 ) −P(t2−ar˙ t0 )) (1.2.7) En i m˚anga fall mera realistisk uppskattning av penningstr¨ommars tidsberoende ¨ar att de

¨

okar eller minskar med en viss br˚akdel av f¨oreg˚aende ˚ars v¨arde. Som en r¨att god approxi- mation kan r¨akna med att l¨onerna f¨or industriarbetare i b¨orjan av 80-talet ¨okade med ca.

9 %/˙ar. Ifall antalet anst¨allda vid ett f¨oretag har varit konstant under en f¨oljd av ˚ar har l¨onekostnaderna vid f¨oretaget under dessa ˚ar stigit exponentiellt med 9 %/˙ar. Ett annat exempel kan vara kostnaderna f¨or r˚amaterial, som till f¨oljd av produktionskapacitetens ut- byggnad, f¨orb¨attringar i produktionstekniken eller h˚ard konkurrerns mellan olika tillverkare kan sjunka med en viss br˚akdel per ˚ar. S˚a har skett med bl.a. en del petrokemiska produkter.

I dylika fall kan betalningsstr¨ommens tidsberoende skrivas

k(t) =k(t1)·Qtar˙t1 (1.2.8)

d¨ar Q ¨ar en prisfaktor, som kan ber¨aknas ur

Q= 1 + 0,01· q

%/˙ar (1.2.9)

d¨arqbetecknar den ˚arliga procentuella ¨okningen av betalningsstr¨ommens belopp. Ifall det ¨ar fr˚aga om en minskning inf¨orsq med negativt f¨ortecken ochQ f˚ar d˚a ett v¨arde som ¨ar mindre

¨ an 1.

F¨or ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen vid tidpunkten to av en dylik expo- nentiellt ¨okande eller minskande betalningsstr¨om inf¨ors k(t) enligt (1.2.8) i uttrycket (1.2.5), varvid man efter utf¨ord integrering f˚ar

K(t0) = k(t1)· ˙ar

ln(P/Q) ·(1(P/Q)−(t2−tar˙ 1 ))·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.10)

I specialfalletQ = P blir exponentialuttrycket i integralen lika med 1, varvid den ekvivalenta eng˚angsbetalningen kan ber¨aknas enligt,

K(t0) =k(t1)·(t2−t1)·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.11) Ifall betalningsstr¨ommen k(t) inte kan uttryckas i form av exponentialfunktionen (1.2.8), varav funktionen (1.2.6) ¨ar ett specialfall, m˚aste man vid ber¨akningen utg˚a fr˚an integralut- trycket (1.2.5). I andra specialfall kan integrationen utf¨oras, vilken leder till andra explicita uttryck f¨or betalningsstr¨ommens ekvivalenta eng˚angsv¨arde. I m˚anga fall kan integrationen inte utf¨oras analytiskt. Detta ¨ar fallet t.ex. d˚ak(t) ¨ar grafiskt given. Integrationen m˚aste d˚a utf¨oras numeriskt eller grafiskt.

(14)

I det f¨oreg˚aende har behandlats kontinuerliga betalningsstr¨ommar f¨or diskreta r¨anteperioder.

Resonemanget leder s˚asom tidigare n¨amndes till n˚agot felaktigt resultat eftersom alla ”be- talningsstr¨ommar” i sj¨alva verket utf¨ors som diskreta eng˚angsbetalningar. F¨or ekonomiska kalkyler d¨ar de diskreta eng˚angsbetalningarna sker i perioder som ¨ar mycket kortare ¨an r¨anteperioden eller d˚a betalningsperioderna varierar ¨ar det ¨andam˚alsenligt att utnyttja kon- tinuerliga betalningsstr¨ommar.

D˚a ”betalningsstr¨ommen” ¨ar diskret och diskretiseringsintervallet stort i j¨amf¨orelse med r¨an- teperioden (t.ex. 1 ˚ar) kan vid anv¨andning av kontinuerliga betalningsstr¨ommar ber¨aknas en ekvivalent r¨antefot f¨or den kontinuerliga betalningsstr¨ommen svarande mot r¨antefoten f¨or den diskreta ”betalningsstr¨ommen”.

Vid ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen f¨or en konstant diskret ”betalnings- str¨om” k(t) = c som infaller i b¨orjan av n p˚a varandra f¨oljande ˚ar f˚as med den ”diskreta”

r¨antefoten ((%/pDar)˙ )

K(t0) =c( 1−PDn

(1−PD)PDn) (1.2.12)

d¨ar PD anger den ”diskreta” r¨antefaktorn,

PD = (1 + 0,01( pd

%/˙ar)) (1.2.13)

Kombineras eq. (1.2.7) med eq. (1.2.12) (d¨ar t2 =t0+n och t1 =t0) f˚as, Pn1

(lnP)Pn = 1−PDn

(1−PD)PDn (1.2.14)

eller

f(P) =PD1lnP(PDn1 Pn1( P

PD

)n) (1.2.15)

varur den ekvivalenta kontinuerliga r¨antefaktorn P kan best¨ammas f¨or en given diskret r¨antefaktor PD ur f(P) = 0. F¨or best¨amning av roten f(P) = 0 kan Bolzano s¨okning utnyttjas (Subroutine BOLZAN (8) i appendix).

Exempel 1.3.

En produktionsavdelning har effektbehovet 7 MW under 8000 h/ ˚ar. F¨oretaget k¨oper elektrisk energi till ett pris av 50 Euro/ MWh. B˚ade det ˚arliga energibehovet och energipriset antas f¨orbli konstanta under en l˚ang f¨oljd av ˚ar. Ber¨akna den ekvivalenta eng˚angsutgiften f¨or elektrisk energi vid avdelningen h¨anf¨ord till tidpunkten to f¨or en tidsperiod p˚a 8 ˚ar, d˚a r¨antefoten ¨ar 7 %/ ˚ar och tidpunkten to v¨aljes

a) vid periodens b¨orjan, b) vid periodens slut !

Exempel 1.4

Vid en reparationsavdelning utf¨ors i medeltal 4000 arbetstimmar per m˚anad. Medeltiml¨onen

(15)

2016 ¨ar 20 Euro/ h, vartill kommer 30 % av timl¨onerna som l¨onebikostnader f¨or f¨oretaget.

Man kan anta att antalet arbetstimmar per m˚anad f¨orblir konstant samt att timl¨onen under den kommande tio˚arsperioden ¨okar med 3 %/ ˚ar. Ber¨akna: a) medeltiml¨onen per arbetare vid avdelningen ˚ar 2026, b) det ekvivalenta beloppet av f¨oretagets l¨onekostnader vid avdel- ningen under inkommande tio˚arsperiod h¨anf¨ort till tidpunkten 1.1.2016 om kalkylr¨antefoten

¨

ar 4 %/ ˚ar ! Exempel 1.5.

Diskontera en ˚arlig int¨akt p˚a 10.000 Euro som infaller vid varje ˚ars slut under n˚ar till tid- punkten t0 = 0. J¨amf¨or resultatet om betalningsstr¨ommen ¨ar kontinuerlig.

Exempel 1.6.

Visa att ifall ett l˚an,K(t0), f¨or vilket m˚aste erl¨aggas en ˚arlig r¨anta,p %, ˚aterbetalas undern

˚ar med mstycken (lika stora ekvidistanta) annuiteter per ˚ar, kan de totala r¨antekostnaderna f¨or l˚anet ber¨aknas enligt, (q·n−1)·K(t0) samt summan av annuiteterna under ett ˚ar ber¨aknas enligt, q·K(t0) d¨ar q ges av,

q = p

100% ·

1 + 1 (

1 + p/100%m )n·m

1



Om antalet annuiteter per ˚ar fastsl˚as ¨ar det i m˚anga fall ¨andam˚alsenligt, att utrita p som funktion av nmed q som parameter. I figur 1.1 illustreras detta d˚a antalet annuiteter per ˚ar fastslagits till m= 12 och 12q anges som parameter.

Figur 1.1 ˚Arlig r¨anta som funktion av l˚anetiden med den m˚anatliga annuiteten som parameter.

(16)

1.2.3. Inflation

Med uttrycken (1.2.2) och (1.2.5) kan man ber¨akna det ekvivalenta nominella v¨ardet eller beloppet av en eng˚angsbetalning eller betalningsstr¨om vid en valbar tidpunkt. ¨Onskar man

¨

aven ber¨akna det reella v¨ardet, dvs. k¨opkraften av ett penningbelopp, b¨or man i kalkylen beakta den tidsberoende f¨or¨andringen av myntenhetens k¨opkraft. Denna kan till f¨oljd av inflation nedg˚a med tiden. Inflationens storlek kan m¨atas med olika index, med vilka anges medelpriset p˚a l¨ampligt valda v¨ardebest¨andiga nyttigheter vid olika tidpunkter i f¨orh˚allande till samma nyttigheters medelpris vid en given referenstidpunkt. Dylika index ¨ar t.ex. par- tiprisindex, byggnadskostnadsindex, levnadskostnadsindex och konsumentprisindex, vilka i v˚art land ber¨aknas och publiceras av Statistiska Centralbyr˚an.

Vid uppskattningen av ett framtida v¨arde f¨or ett dylikt index kan man ofta antaga, att detta stiger med en viss br˚akdel av f¨org˚aende ˚ars v¨arde, allts˚a om detta index betecknasI f˚ar man

I(t) =I(tref)·J

(t−tref)

˙

ar (1.2.16)

H¨ar ¨ar tref en referenstidpunkt, vid vilken man k¨anner index och s˚alunda vet myntenhetens k¨opkraft, samt J en inflationsfaktor, som kan ber¨aknas

J = 1 + 0,01· j

%/˙ar (1.2.17)

d¨ar j ¨ar penningv¨ardets ˚arliga procentuella minskning, dvs. inflationen.

Onskar man ber¨¨ akna vilket reellt v¨ardeKR(t) ett penningbeloppK(t) har uttryckt i pengars k¨opkraft vid en referenstidpunkt tref b¨or f¨or¨andringen i index beaktas:

KR(t) = I(tref)

I(t) ·K(t) (1.2.18)

Vid ber¨akningen av det reella v¨ardet vid en senare tidpunkt av ett belopp, som erl¨agges vid tidpunkten t0, b¨or b˚ade f¨orr¨antningen och inflationen beaktas. Om man kan anta att b˚ade r¨antefoten och inflationen ¨ar konstant inom tidintervallet (t0;t) ger en kombination av (1.2.2), (1.2.16) och (1.2.18):

KR(t) =K(t0)· P(t−tar˙ 0 ) J

(t−tref)

˙ ar

(1.2.19) Med detta uttryck f˚as allts˚a det reella v¨ardet KR(t) vid tidpunkten t av det nominella be- loppet K(t0) som erl¨aggs vid tidpunkten t0, varvid det reella v¨ardet uttrycks i myntenhetens v¨arde vid tidpunkten tref. Ifalltref v¨aljes vid to, varvid naturligtvis

KR(tref) =K(tref) (1.2.20)

kan (1.2.19) skrivas

KR(t) =KR(tref)·(P/J)

(t−tref)

˙

ar (1.2.21)

(17)

varvid P/J kan kallas en reell r¨antefaktor, ur vilken en reell r¨antefot pR kan ber¨aknas:

pR = (P/J1)·100 %/˙ar (1.2.22) Man finner att en penningsummas reella v¨arde minskar med tiden trots att dess belopp ¨okas ifall inflationen j ¨ar st¨orre ¨an r¨antefoten p. D˚a ¨ar ocks˚a den reella r¨antefoten negativ.

Exempel 1.7.

Man uppskattar att en gammal anl¨aggning kan h˚allas i drift ¨annu under 6 ˚ar, varefter den ers¨attes med en ny. Man r¨aknar med att apparater till ett v¨arde av 120.000 Euro, uppskattat i nu g¨allande v¨arde p˚a myntenheten, vid ombyggnaden skall kunna ¨overf¨oras fr˚an den gamla anl¨aggningen till den nya. R¨antefoten antas vara 5 %/ ˚ar och inflationen uppskattas till 3

%/ ˚ar.

a)Med vilket belopp skall restv¨ardet av den gamla anl¨aggningen inf¨oras i en ekonomisk kalkyl, om detta skall uttryckas med det vid tidpunkten f¨or ombyggnaden g¨allande v¨ardet p˚a myn- tenheten?

b) Vad ¨ar nuv¨ardet av detta belopp?

1.3. Metoder f¨or val av det ekonomiskt b¨asta alternativet

1.3.1. Ekvivalent vinst

S˚asom tidigare framh˚allits ¨ar det i regel i ¨overensst¨ammelse med aff¨arsdrivande f¨oretags m˚als¨attning att bland s˚adana alternativ, som har ekonomiska f¨oljder f¨or f¨oretaget, v¨alja det al- ternativ, som p˚a l˚ang sikt ger detta den st¨orsta ekonomiska vinsten. H¨ar skall unders¨okas hur detta val kan g¨oras. I det f¨oljande f¨oruts¨atts att samtliga ifr˚agakommande alternativ bed¨omes som realistiska och uppfyller de andra krav, som f¨oretagets m˚als¨attning st¨aller. Till en b¨orjan skall emellertid antas att endast tv˚a alternativ kan komma ifr˚aga. Som utg˚angsv¨arden f¨or kalkylen ber¨aknas eller uppskattas storleken av samtliga eng˚angsbetalningar, vilka inte i fr˚aga om belopp och betalningstidpunkt ¨ar identiska i b¨agge alternativ, samt ¨aven de be- talningsstr¨ommar, vilka inte ¨ar identiska till storlek, tidsberoende och betalningsintervall i de j¨amf¨orda alternativen.

I det ena alternativet ber¨aknas f¨or varje dylik eng˚angsint¨akt och int¨aktsstr¨om det ekvivalenta beloppet vid en vald tidpunkt t0. Sedan ber¨aknas samtliga med det andra alternativet icke

¨

overensst¨ammande eng˚angsutgifter och utgiftsstr¨ommar till ekvivalenta belopp vid samma tidpunkt t0. Summan av de ekvivalenta delutgifterna utg¨or alternativets utgift Ku,1(t0).

Skillnaden mellan den ekvivalenta int¨akten och den ekvivlalenta utgiften definieras som al- ternativets ekvivalenta vinst V1 (t0):

V1(t0) =Ki,1(t0)−Ku,1(t0) (1.3.1) P˚a samma s¨att ber¨aknas den ekvivalenta vinsten V2 (t0) f¨or det andra alternativet:

V2(t0) =Ki,2(t0)−Ku,2(t0) (1.3.2)

(18)

varvid det ¨ar viktigt att t0 v¨aljes vid samma tidpunkt i vardera alternativet. Det alternativ som har den st¨orre ekvivalenta vinsten ¨ar det ekonomiskt f¨ordelaktigare och b¨or s˚alunda v¨aljas.

1.3.1.1. Nuv¨ardesmetoden

Man inser l¨att att eng˚angsbetalningar och betalningsstr¨ommar, som till storlek och tidpunkt resp. tidintervall n¨ar de upptr¨ader ¨ar identiska i vardera alternativet, bidrar med lika stora belopp till de ekvivalenta vinsterna f¨or dessa alternativ. D˚a det endast ¨ar ordningsf¨oljden hos alternativen enligt den ekvivalenta vinstens storlek som ¨ar av intresse och denna inte f¨or¨andas av att man till b¨agge ekvivalenta vinster adderar identiska betalningar kan dessa l¨amnas bort fr˚an kalkylen. Detta kan v¨asentligt minska r¨aknearbetet och g¨ora kalkylen ¨oversk˚adligare.

D˚a man f¨orfar p˚a detta s¨att ¨ar naturligtvis den ekvivalenta vinsten inte ett m˚att p˚a en inves- terings l¨onsamhet utom i det fall att det andra alternativet inneb¨ar, att man ¨overhuvudtaget inte g¨or n˚agon investering. Eventuellt kan i vardera alternativet den ekvivalenta vinsten bli negativ. D˚a ¨ar det ekonomiskt l¨onsamt att v¨alja det alternativ, vars ekvivalenta vinst ¨ar algebraiskt st¨orst, dvs. minst negativt.

Har man ytterligare ett tredje realistiskt alternativ kan detta j¨amf¨oras p˚a samma s¨att med det i den f¨orsta j¨amf¨orelsen funna f¨ordelaktigare alternativet. H¨arvid b¨or man ˚ater observera, att samtliga penningbelopp och penningstr¨ommar, som inte ¨ar identiskt lika i de nu j¨amf¨orda alternativen b¨or tas med vid ber¨akningen av de ekvivalenta vinsterna. S˚alunda beh¨over vid denna andra l¨onsamhetsj¨amf¨orelse den ekvivalenta vinsten f¨or ett tidigare j¨amf¨ort alternativ inte vara densamma som vid den tidigare j¨amf¨orelsen.

P˚a detta s¨att kan ytterligare realistiska alternativ beaktas. Det alternativ, som vid den sista j¨amf¨orelsen har den st¨orre ekvivalenta vinsten ¨ar det ekonomiskt f¨ordelaktigaste av samtliga j¨amf¨orda alternativ och b¨or s˚alunda v¨aljas.

Denna metod att best¨amma den inb¨ordes ordningsf¨oljden av olika alternativ ur l¨onsamhets- synpunkt kallas ”nuv¨ardesmetoden”. Denna ben¨amning ¨ar motiverad om referenstidpunkten t0 v¨aljes vid tidpunkten ”nu”, dvs. den tidpunkten d˚a kalkylen utf¨ors. Referenstidpunk- ten kan emellertid v¨aljas fritt. Det kan vara l¨attare att f¨orst˚a kalkylens inneb¨ord om denna tidpunkt v¨aljes vid den unders¨okta tidsperiodens slut, varvid de ber¨aknade ekvivalenta vin- sternas positiva skillnad direkt anger hur mycket mera pengar man skulle ha som utbyte av det b¨attre alternativet ¨an av det s¨amre alternativet, d˚a alla int¨akter och utgifter i b˚ada alternativen erlagts.

(19)

Denna j¨amf¨orelsemetod ¨ar alltid anv¨andbar ifall man har tillg˚ang till n¨odigt kapital, som belastas med r¨antekostnader ber¨aknade med kalkylr¨antefoten eller ˚aterinvesteras i projekt, i vilka det ˚aterinvesterade kapitalet v¨axer med r¨anta p˚a r¨anta enligt kalkylr¨antefoten.

1.3.1.2. Annuitetsmetoden

I nuv¨ardesmetoden best¨ammes och j¨amf¨ores den ekvivalenta vinsten f¨or investeringar. Ifall den ekvivalenta vinsten best¨ammes som en ˚arlig annuitet brukar metoden ¨aven kallas ”annu- itetsmetoden”.

1.3.2. Viktiga utg˚angsv¨arden f¨or ekonomiska kalkyler

F¨or ekonomisk kalkyl enligt nuv¨ardes- eller annuitetsmetoden b¨or bl.a. f¨oljande utg˚angsv¨ar- den ber¨aknas eller uppskattas:

a) Kostnaderna f¨or beh¨ovliga anl¨aggningar i de olika alternativen.

b) Anl¨aggningarnas restv¨arde efter avslutad produktion.

c) I de olika alternativen upptr¨adande in- och utbetalningar, oftast i form av betal- ningsstr¨ommar, vilka f¨oranleds av produktionen.

d) Anl¨aggningarnas ekonomiska livsl¨angd.

e) Kalkylr¨antefoten.

I kostnaderna f¨or anl¨aggningarna b¨or medtas f¨orutom priset p˚a beh¨ovligt maskineri ¨aven kostnaderna f¨or byggnader, transport- och montagekostnader, ig˚angk¨orningkostnader o.s.v.

Ifr˚aga om st¨orre investeringar kan betalningen erl¨aggas i flera rater vid olika tidpunkter, vilket skall beaktas i kalkylen. Prisuppgifter p˚a apparatur kan erh˚allas ur offerter, som inbeg¨ares av sannolika leverant¨orer. F¨or preliminin¨ara kalkyler kan det emellertid vara tids¨odande eller av sekretessorsaker ol¨ampligt att beg¨ara prisuppgifter av utomst˚aende. R¨att god uppfattning om priser p˚a vanlig processapparatur kan d˚a f˚as ur facklitteraturen (1,2). I den slutliga kalkylen b¨or naturligtvis offertpriser anv¨andas.

(20)

Anl¨aggningarnas restv¨arden vid avslutad produktion ¨ar i allm¨anhet f¨orsumbart sm˚a i j¨am- f¨orelse med ¨ovriga betalningar, men kan i vissa fall uppg˚a till beaktansv¨arda belopp. S˚a ¨ar fallet t.ex. om i anl¨aggningarna finns stora m¨angder v¨ardebest¨andiga material eller i st¨orre m¨angd standardutrustning, som inte i n¨amnv¨ard grad f¨orslites och som senare kan utnyttjas i andra anl¨aggningar. Restv¨ardet kan i allm¨anhet b¨ast uppskattas i vid kalkyltidpunkten g¨allande priser, vilka b¨or omr¨aknas till de priser som g¨aller vid den tidpunkt d˚a ifr˚agavarande anl¨aggning tas ur drift.

Alternativens int¨aktsstr¨ommar h¨arr¨or fr¨amst av produktens f¨ors¨aljning. En ¨ovre gr¨ans f¨or produktionsvolymen s¨atter anl¨aggningarnas maximala produktionskapacitet, ofta best¨amd av en s.k. tr˚ang sektion i produktionsmaskineriet. Ibland kan en begr¨ansad efterfr˚agan g¨ora, att hela produktionskapaciteten inte kontinuerligt kan utnyttjas. F¨or¨andringarna i produktionens storlek p˚a grund av avs¨attningssv˚arigheter samt till vilket pris produkten kan s¨aljas ¨ar fr˚agor som b¨ast utreds av expertis p˚a marknadsf¨oring.

De av driften f¨oranledda utgiftsstr¨ommarna utg¨ors av utbetalningar f¨or bl.a. r˚amaterial och energi, l¨oner, underh˚all och reparationer. D¨artill tillf¨ors varje projekt vissa administra- tionskostnader. Driftavbrott p˚a grund av haveri kan minska f¨ors¨aljningsint¨akterna genom produktionsbortfall och ¨oka reparationskostnaderna. Driftavbrotten kan nedbringas till antal och varaktighet t.ex. genom dubblering av v¨asentliga apprater och genom att uppr¨atta ett v¨alf¨orsett reservdelslager. Dessa ˚atg¨arder medf¨or dock i sin tur ¨okade anl¨aggningskostnader.

Anl¨aggningarnas ekonomiska livsl¨angd utg¨ors av den tidsperiod, under vilken man kan f¨orut- s¨atta att produktionen med dessa anl¨aggningar kan p˚ag˚a. En ¨ovre gr¨ans f¨or denna livsl¨angd s¨atter naturligtvis den tekniska livsl¨angden f¨or huvudmaskineriet, dvs. den tidsperiod som denna apparatur med rimligt underh˚all kan h˚allas i drift. Ofta ¨ar emellertid den ekonomiska livsl¨angden v¨asentligt kortare ¨an den tekniska livsl¨angden. Detta kan bero p˚a att nya pro- dukter med b¨attre egenskaper utvecklas, vilka p˚a marknaden konkurrerar ut den med ifr˚aga- varande anl¨aggning framst¨allda produkten, eller p˚a att v¨asentligt b¨attre produktionsmetoder utvecklas, vilket g¨or produktionen med ¨aldre metoder ol¨onsam. Ibland kan en begr¨ansad tillg˚ang p˚a r˚amaterial best¨amma den ekonomiska livsl¨angden.

I detta sammanhang kan det vara sk¨al att p˚apeka, att den i bokf¨oringen f¨orekommande avskrivningstiden f¨or anl¨aggningar endast har skatteteknisk betydelse och anger varken den tekniska eller den ekonomiska livstiden f¨or dess anl¨aggningar.

(21)

1.3.2.1. Pay-off metoden

Det ¨ar uppenbart att den ekonomiska livstiden i vissa fall kan vara sv˚ar att uppskatta. Det kan d˚a vara upplysande att ber¨akna den livstid som kr¨avs f¨or att ett investerat kapital med r¨anta p˚a r¨anta enligt kalkylr¨antefoten skall bli helt ˚aterbetalt. Speciellt om f¨oretagets kapitalbehov ¨overstiger tillg˚angen p˚a kapital kan det vara i f¨oretagets intresse att v¨alja s˚adana alternativ, som ger den kortaste ˚aterbetalningstiden f¨or kapitalet. F¨or att investeringen skall vara l¨onsam b¨or denna tid naturligtvis vara kortare ¨an den sannolika ekonomiska livstiden f¨or den anl¨aggning, i vilken man ¨amnar investera kapitalet. Detta s¨att att v¨alja mellan olika alternativ f¨or investeringar, vilka konkurrerar om ett begr¨ansat kapital kallas ˚atervinningstid- eller ”pay-off”-metoden. Observera emellertid att det p˚a l˚ang sikt kan vara l¨onsammare att v¨alja ett alternativ, som har en l¨angre ˚atervinningstid. Detta illustreras av exempel 1.9.

1.3.2.2. Internr¨antemetoden

Kalkylr¨antefoten spelar en viktig roll i ekonomiska ber¨akningar. Ifall f¨oretaget i fr¨amsta rum- met finansierar sin verksamhet med l˚anat kapital utg¨or den r¨antefot, enligt vilken f¨oretaget betalar r¨anta f¨or l˚an grund f¨or ber¨akningen av f¨oretagets kalkylr¨antefot. Om finansieringen sker med i huvudsak eget kapital ber¨aknas kalkylr¨antefoten utg˚aende fr˚an den avkastning som t.ex. aktie¨agare rimligen kan fordra i form av dividender. I detta fall kan kalkylr¨ante- fotens ber¨akning utg˚a fr˚an ett rimligt krav p˚a en reell r¨antefot, varvid allts˚a myntenhetens v¨ardef¨ors¨amring till f¨oljd av inflation beaktas. I vartdera fallet kan kalkylr¨antefoten justeras upp˚at f¨or att t¨acka skatter och f¨or att ge en viss marginal i form av en riskf¨ors¨akring.

Valet av kalkylr¨antefot ¨ar ett medel f¨or f¨oretagsledningen att p˚averka utvecklingen inom f¨oretaget. F¨or den tekniska personalen ¨ar den d¨arf¨or i regel p˚a f¨orhand best¨amd.

Vid j¨amf¨orelse av den ekvivalenta vinsten f¨or tv˚a investeringar f˚as olika stora belopp beroende p˚a vilken kalkylr¨anta som anv¨ands. Den ekvivalenta vinsten minskar med ¨okande kalkylr¨anta.

Den ekonomiska j¨amf¨orelsen kan ifall kalkylr¨antan inte ¨ar best¨amd ¨aven g¨oras p˚a basis av den r¨anta f¨or vilken den ekvivalenta vinsten ¨ar noll. Denna r¨anta kallas investeringens internr¨anta pi. Internr¨antan pi ges implicit av,

Vi(t0, pi) = 0 (1.3.3)

J¨amf¨orelse mellan tv˚a investeringsalternativ kan g¨oras p˚a basis av den ber¨aknade intern- r¨antan f¨or vardera investeringen. Den investering som ger den st¨orsta internr¨antan ¨ar att f¨oredra. Denna metod brukar kallas ”internr¨antemetoden”. F¨or l¨osning av internr¨antan kan subroutine BOLZAN (8) i appendix utnyttjas.

Exempel 1.8.

Ett f¨oretag m˚aste ers¨atta en i processen beh¨ovlig gammal reaktor med en ny. Enligt inbeg¨arda offerter kan tre alternativa reaktortyper komma ifr˚aga, vilka ¨ar likv¨arda ifr˚aga om kapacitet

(22)

och produktkvalitet. Anskaffningskostnaden inkl. montage, behovet av manuell arbetsinsats samt r˚amaterialbehovet ¨ar i de olika alternativen

alt.1 alt.2 alt.3

Anskaffningskostnad 40000 60000 100000 Euro Beh¨ovlig arbetsinsats 14000 10000 12000 Euro/ ˚ar R˚amaterial behov 3000 3000 3800 t/ ˚ar

L¨onekostnaden ¨ar nu i medeltal 20 Euro/ h och v¨antas stiga med 3 %/ ˚ar. Priset p˚a r˚amaterial

¨

ar nu 300 Euro/ t, vilket pris kan v¨antas sjunka med 2 %/ ˚ar. I samtliga alternativ kan reaktorernas ekonomiska livsl¨angd uppskattas till 8 ˚ar efter att de tagits i drift, vilket kan ske om ett ˚ar. Vilken reaktor skall best¨allas om f¨oretagets kalkylr¨antefot ¨ar 6 %/ ˚ar?

Exempel 1.9.

En v¨armev¨axlare i en produktionsanl¨aggning uts¨atts f¨or korrosion. D˚a den korrosiva milj¨on inte kan undvikas b¨or v¨armev¨axlaren f¨ornyas med j¨amna mellanrum. H¨arvid kan apparater av tv˚a olika material A och B komma ifr˚aga. V¨armev¨axlaren av material A kostar 14 000 Euro och kan ber¨aknas h˚alla 2 ˚ar medan den om den utf¨ors i materialet B kostar 24 000 Euro och d˚a kan ber¨aknas h˚alla 5 ˚ar. Investeringen i v¨armev¨axlaren ¨ar n¨odv¨andig f¨or att kunna h˚alla produktionen ig˚ang, varvid man kan r¨akna med en nettoinkomststr¨om lika med 24 000 Euro/ ˚ar under de n¨armaste 10 ˚aren. F¨oretagets kalkylr¨antefot ¨ar 6 %/ ˚ar. Ber¨akna

a) vilket alternativ som borde v¨aljas enligt en kalkyl med nuv¨ardesmetoden !

b) f¨or vartdera alternativet den kortaste ˚aterbelningstiden f¨or investerat kapital i v¨armev¨ax- laren, d˚a den n¨asta g˚ang b¨or f¨ornyas !

Exempel 1.10.

I en fabrik som producerar 400.000 t sulfatmassa/ ˚ar har man f¨or avsikt att bygga en s.k.

h¨ogtryckskausticeringsreaktor. Reaktorn skall placeras mellan kausticeringsk¨arlen och ekofil- tret enligt vidst˚aende figur. Avsikten med reaktorn ¨ar att h¨oja kausticeringsgraden p˚a vit- luten till massakoket. En reaktorleverant¨or har uppgivit att en reaktor med 1-2 timmars uppeh˚allstid h¨ojer kausticeringsgraden med 3 procentenheter vilket resulterar i att volym- str¨ommen vitlut till massakoket kan minskas med c:a 0,09 m3 vitlut / t massa. Priset f¨or en dylik reaktor uppges vara 24.000 Euro/ m3 och livstiden uppskattas vara mellan 5 och 15

˚ar. Best¨am internr¨antan f¨or investeringen d˚a energipriset uppskattas till 20 Euro/ GJ. En- dast det minskade ˚angbehovet till massakoket och det minskade indunstningsbehovet beh¨over beaktas. Temperaturen p˚a vitluten till massakoket ¨ar c:a 90C och massakokets temperatur

¨

ar 165 C. Vitlutens densitet ¨ar 1,18 t/ m3 och m¨angden vitlut f¨or massakoket ¨ar normalt c:a 2,4 m3/ t massa. Indunstningen ber¨aknas kr¨ava 460 MJ/ m3.

(23)

Figur 1.2 Schematisk bild ¨over kausticeringsanl¨aggningen i exempel 1.10

Figur 1.3 Blockschema f¨or kemikalierecirkulationen i en process f¨or produktion av sulfatmassa.

(24)

1.3.3. Ekonomisk optimering av kontinuerliga variabler

Ett ofta upptr¨adande problem ¨ar valet av optimala v¨arden ˚at kontinuerliga variabler. Det kan g¨alla val av driftsparametrar, t.ex. temperaturer, tryck eller koncentrationer, val av dimen- sioneringsv¨arden f¨or apparaten, t.ex. v¨armeytor i v¨armev¨axlare, eller best¨amning av tidsperi- oder mellan utbyte av f¨orslitna maskindelar eller tv¨attning av apparater som f¨ormutsas. Ofta

¨

ar dylika variabler sinsemellan beroende och man kan v¨anta sig att det finns en upps¨attning av ” b¨asta ” variabelv¨arden, vilka d˚a b¨or best¨ammas samtidigt.

Processernas ekonomiska resultat p˚averkas i allm¨anhet av hur dessa variablers v¨arden v¨aljs.

Det st˚ar i ¨overrensst¨ammelse med f¨oretagets ekonomiska m˚als¨attning att v¨alja den upps¨att- ning v¨arden f¨or variablerna, som ger f¨oretaget maximal vinst, f¨orutsatt naturligtvis att dessa v¨arden ¨aven ur andra synpunkter ¨ar godtagbara. Detta ekonomiska villkor skall s˚alunda anv¨andas som kriterium f¨or den b¨asta upps¨attningen parameterv¨arden.

I regel kan man ber¨akna eller uppskatta hur ifr˚agavarande variabler p˚averkar de betalningar och betalningsstr¨ommar, som upptr¨ader i den unders¨okta processen. Dessa betalningar och betalningsstr¨ommar kan d˚a uttryckas som funktioner av dessa variabler, antingen som matematiskt eller grafiskt givna samband. Utg˚aende fr˚an dessa betalningsfunktioner kan man h¨arleda en ekvivalent vinst p˚a det s¨att som beskrivs i avsnittet 1.3.1. Denna ekvivalenta vinst blir d˚a en funktion av de variabler, vilka skall best¨ammas s˚a att den ekvivalenta vinsten f˚ar ett maximum.

I specialfallet att en vinstfunktionV(t0, x) kan uttryckas som en analytisk funktion av endast en variabel x, vilken kan v¨aljas inom intervallet (x1;x2), kan den ekvivalenta vinsten n˚a sitt maximum antingen f¨or v¨ardetx1 eller v¨ardetx2 eller f¨or s˚adana v¨arden p˚ax, som ligger inom det stipulerade intervallet och ¨ar r¨otter till likheten

dV(t0, x)

dx = 0 (1.3.4)

Ifall dess r¨otter ¨ar xi medi = 3,4...n pr¨ovas vilket v¨arde V(t0, xi) medi = 1,2...nsom ¨ar st¨orst och tillh¨orande v¨arde p˚a variabeln x v¨aljes.

Ifall n˚agon betalningsfunktion som ing˚ar i V(t0, x) inte enkelt kan uttryckas i matematisk form utan t.ex. ¨ar grafiskt given kan vinstfunktionen inte deriveras f¨or att ge likheten (1.3.4).

Den kan emellertid i allm¨anhet ritas inom intervallet (x1;x2) i ett diagram och det v¨arde p˚a x, f¨or vilket V(t0, x) har sitt st¨orsta v¨arde inom detta intervall kan avl¨asas ur diagrammet.

Denna grafiska metod ¨ar naturligtvis anv¨andbar ¨aven om vinstfunktionen kan uttryckas som en matematisk funktion. Ett diagram ¨over funktionen V(t0, x) visar dessutom ¨oversk˚adligt hur starkt beroende den ekvivalenta vinsten ¨ar av variabelnx.

(25)

D˚a den ekvivalenta vinsten ¨ar beroende av flera variabler, speciellt om de ¨ar flera ¨an tv˚a och sinsemellan beroende, blir en grafisk best¨amning av de optimala variabelv¨ardena mindre

¨

oversk˚adlig och arbetsdryg. ¨Aven en analytisk best¨amning av optimiv¨ardena leder ofta till ett stort r¨aknearbete, emedan antalet kombinationer av variabelv¨arden, f¨or vilka maximum f¨or vinstfunktionen kan intr¨affa, ¨okar snabbt med antalet variabler.

Utom de r¨otter till ekvationssystemet med n ekvationer

∂V(zk)

∂zk

= 0 k = 1,2...n (1.3.5)

d¨ar samtliga r¨otter ligger inom resp. valbarhetsintervall f¨or variablerna zk, kan alla 2n kom- binationer f¨or variablernas intervallgr¨anser ge maximum f¨or V(to,z1,z2...zn). Vidare kan maximum f˚as f¨or v¨arden, som ligger vid intervallgr¨ansen f¨or n˚agon eller n˚agra variabler men inne i valbarhetsintervallet f¨or andra variabler.

I s˚adana fall, d˚a en analytisk eller grafisk l¨osning inte n˚as med rimlig m¨angd r¨aknearbete kan man till¨ampa numeriska optimeringsmetoder f¨or att finna optimipunkten. I appendix ges tv˚a algoritmer f¨or numerisk optimering (minimering) av en godtycklig olinj¨ar funktion i flera variabler utan bivillkor, Fletcher & Powells metod samt Powells metod. Metoderna baserar sig p˚a kvadratisk approximation av den aktuella funktionen och konvergerar p˚a ett iterationsvarv ifall ¨aven den unders¨okta funktionen ¨ar kvadratisk. F¨or icke kvadratiska funktioner kr¨avs ett st¨orre antal iterationer f¨or att erh˚alla l¨osningen. F¨or godtyckliga funktioner kan inte heller konvergens garanteras och f¨or funktioner med flera lokala optima erh˚alles som l¨osning (ifall en s˚adan uppn˚as) endast ett lokalt optimum. Lokalt optimum uppn˚as i ”normala” fall med f¨arre ¨an 100 funktionsber¨akningar f¨or vardera algoritmen ifall antalet variabler ¨ar f¨arre ¨an 20. F¨or att delvis l¨osa problemet med lokala optima kan optimeringsproceduren startas med olika initialv¨arden p˚a de s¨okta variablerna.

Den f¨orra metoden utnyttjar analytisk gradientinformation f¨or l¨osning av optimeringsprob- lemet medan den senare metoden inte fordrar explicit gradientinformation f¨or l¨osning av opti- meringsproblemet. Algoritmerna som ges i appendix g˚ar under namnen FMFP och POWELL (8),(9). I appendix ges vidare en optimeringsmetod MARQDT (8) som l¨oser optimum f¨or en speciell typ av kvadratisk kriteriefunktion under allm¨anna bivillkor samt en algoritm som l¨oser optimum f¨or linj¨ara funktioner under linj¨ara bivillkor LINMIN (8).

I vissa fall ¨ar de begr¨ansande villkoren f¨or hur variablerna f˚ar v¨aljas beroende av varandra, varvid valbarhetsintervallen ers¨attes med bivillkor i form av en eller flera ekvationer. D˚a kan den matematiska behandlingen f¨orenklas om man utnyttjar Lagranges multiplikatorer.

F¨or vissa typer av bivillkor (t.ex. max och min gr¨anser f¨or variablerna) kan ¨aven s.k.

strafffunktioner utnyttjas vid l¨osningen av optimeringsproblemet. I fall d˚a variablerna zk

(26)

¨

ar begr¨ansade inom ett visst intervall kan t.ex. f¨oljande straffunktion utnyttjas, S(z1, z2, ..., zn) =

n k=1

Sk,0

(2zk−zk,max−zk,min

zk,max−zk,min

)m

(1.3.6)

d¨ar m ¨ar ett j¨amnt heltal och Sk,0 konstanter som kan uppskattas ur, Sk,0 =|∂V(zk)

∂zk |gr¨ans

zk,max−zk,min

2m (1.3.7)

Straffunktionen adderas till den ursprungliga funktionen V(zk) varvid den sammanslagna funktionen W(z1, z2, ..., zn) minimeras.

z1,zmin2,...,zn{W(z1, z2, ..., zn) =V(z1, z2, ..., zn) +S(z1, z2, ..., zn)} (1.3.8) I andra fall kan den ekvivalenta vinsten - eller n˚agon annan storhet vars v¨arde skall optimeras - uttryckas som en linj¨ar funktion av de valbara variablerna. Hur dessa f˚ar v¨aljas kan ˚ater vara begr¨ansat av linj¨ara likheter eller olikheter. ¨Ar de oberoende variablerna f˚a ¨ar best¨amningen av optimipunkten ett trivialt problem, men antalet m¨ojliga kombinationer stiger snabbt med antalet variabler. Optimum f¨or en linj¨ar funktion med linj¨ara bivillkor kan l¨osas med linj¨ar programmering. I vissa fall kan ¨aven minimum f¨or en linj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor eller minimum f¨or en olinj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor l¨osas med en algoritm f¨or linj¨ar programmering. I det f¨oljande avsnittet skall vi n¨armare studera n˚agra problemst¨allningar som kan l¨osas med linj¨ar programmering. I appendix ges ett datorprogram LINMIN f¨or l¨osning av linj¨arprogrammeringsproblem med den s.k. 2-fas SIMPLEX metoden. Detta program liksom ¨aven de ¨ovriga programmen i appendix finns beskrivna i programbiblioteket CHEEP, Westerlund (8).

Dynamisk programmering ¨ar en speciell metod f¨or best¨amning av optimala v¨arden f¨or vari- abler i s˚adana system, som kan delas upp i flera steg inom vilka ett mindre antal av vari- ablerna kan isoleras. Den matematiska proceduren till˚ater en optimering inom varje steg skilt f¨or sig med beaktande av g¨allande bivillkor, f¨or att efter slutf¨ord ber¨akning ge en upps¨attning v¨arden p˚a de valbara variablerna, vilka leder till ett totalt optimum, t.ex. ett maximum f¨or en vinstfunktion.

En n¨armare genomg˚ang av de mera avancerade metoderna f¨or ber¨akning av optima och de v¨arden p˚a oberoende variabler f¨or vilka dessa optima erh˚alles faller utanf¨or ramen f¨or denna kurs. N˚agot utf¨orligare introduktioner till dessa metoder ges av bl.a. Rao (6), Taha (7) och Peters & Timmerhaus (1).

Exempel 1.11.

En apparat som arbetar vid h¨og temperatur skall v¨armeisoleras. Isoleringens pris ¨ar (4 +

s

cm)·1600 Euro, d¨ar s ¨ar isoleringens tjocklek. Kostnaderna f¨or v¨armef¨orlusterna ber¨aknas vara 6000 Euro/ ˚ar d˚a isoleringstjockleken ¨ar 5 cm och kan antas vara indirekt proportionella med isoleringstjockleken. Denna b¨or vara minst 2 cm f¨or att dess yttemperatur inte skall bli f¨or h¨og men kan p˚a grund av utrymmesbrist inte g¨oras st¨orre ¨an 10 cm. Ber¨akna den

(27)

f¨ordelaktigaste isoleringstjockleken om apparaten skall vara i drift under a) 5 ˚ar,

b) 15 ˚ar och kalkylr¨antefoten ¨ar 6 %/ ˚ar !

Exempel 1.12.

Totala effektbehovet f¨or en N-stegs kompressor med mellankylning efter varje steg ges av, Ptot,N = m˙

ηmηad ( N

i=1

(h(pi, Ti)−h(pi1, T0)) )

d¨ar Ti ges av,

s(pi, Ti) =s(pi1, T0)

Best¨am trycken p1, p2, ..., pN1 s˚a att energikostnaderna f¨or kompressionen minimeras. ˙m, T0, p0, pN, N, ηm, ηad, uttryck f¨or specifik entalpi och entropi samt energipriset ¨ar givna.

Uppg¨or ett huvudprogram samt l¨ampligt underprogram f¨or l¨osning av optimeringsproblemet med n˚agon av de numeriska optimeringsmetoder som ges i appendix.

1.4. Produktionsplanering

I industriell verksamhet ¨ar det vanligt att man har frihetsgrader vid f¨orverkligandet av den tekniska m˚als¨attningen. D.v.s. samma tekniska m˚als¨attning kan uppn˚as med ett flertal olika strategier. Vid glas- eller cementframst¨allning kan ofta samma kemiska sammans¨attning

˚astadkommas genom olika matningar av r˚amaterial. Man har d˚a flera r˚amaterial ¨an det n¨odiga antalet f¨or att ˚astadkomma en best¨amd kemisk sammans¨attning.

Vidare kan t.ex. vid pumpning av sanitetsvatten (eller varmt vatten i ett fj¨arrv¨armesystem) finnas flera pumpstrategier f¨or att fylla olika stadsdelars vattenbehov.

I dylika fall ¨ar det naturligt att v¨alja det alternativ som ¨ar ekonomiskt mest f¨ordelaktigt. I det f¨oljande skall vi unders¨oka tv˚a typer av problemst¨allningar och metoder f¨or l¨osning av dylika produktionsplaneringsproblem.

Kuvio

Updating...

Viittaukset

Updating...

Liittyvät aiheet :