• Ei tuloksia

AAANNNLLLÄÄÄGGGGGGNNNIIINNNGGGSSS--- OOOCCCHHH SSSYYYSSSTTTEEEMMMTTTEEEKKKNNNIIIKKK

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "AAANNNLLLÄÄÄGGGGGGNNNIIINNNGGGSSS--- OOOCCCHHH SSSYYYSSSTTTEEEMMMTTTEEEKKKNNNIIIKKK"

Copied!
256
0
0

Kokoteksti

(1)

A A A N N N L L L Ä Ä Ä G G G G GN G N NI I IN N NG G GS S S- - - O O O C C C H H H

S S S Y Y Y S S S T T T E E E M M M T T T E E E K K K N N N I I I K K K

T T T a a a p p p i i i o o o W W W e e e s s s t t t e e e r r r l l l u u u n n n d d d

(2)
(3)

INNEH˚ALLSF ¨ORTECKNING Sida

F¨orord. . . .5

1. EKONOMISKA ANALYSER. . . .6

1.1. Industrif¨oretagets m˚als¨attning och ingenj¨orens uppgift. . . .6

1.2. Pengars v¨arde som funktion av tiden. . . .8

1.2.1. Eng˚angsbetalningars f¨orr¨antning. . . .8

1.2.2. Betalningsstr¨ommars ekvivalenta eng˚angsbetalningar. . . .10

1.2.3. Inflation. . . .14

1.3. Metoder f¨or val av det ekonomiskt b¨asta alternativet. . . .15

1.3.1. Ekvivalent vinst. . . .15

1.3.1.1. Nuv¨ardesmetoden. . . .16

1.3.1.2. Annuitetsmetoden. . . .17

1.3.2. Viktiga utg˚angsv¨arden f¨or ekonomiska kalkyler. . . .17

1.3.2.1. Pay-off metoden. . . .19

1.3.2.2. Internr¨antemetoden. . . .19

1.3.3. Ekonomisk optimering av kontinuerliga variabler. . . .22

1.4. Produktionsplanering. . . .25

1.4.1. Linj¨ar programmering. . . .26

1.4.1.1. Algoritm f¨or l¨osning av linj¨arprogrammerings- problem. . . .26

1.4.1.2. Minimum f¨or en linj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor. . . .28

1.4.1.3. Minimum f¨or en olinj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor. . . .29

1.4.2. Transportproblem. . . .29

1.4.2.1. Algoritm f¨or l¨osandet av transportproblem. . . .30

1.5. Slutkommentar. . . .33

2. GRUNDPRINCIPER VID MODELLERING. . . .34

2.1. Balanser. . . .34

2.1.1. Balans f¨or en mikrovolym dV . . . .34

2.1.2. Balans f¨or en makrovolym V . . . .35

2.2. Mass- och ¨amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .37

2.2.1. ¨Amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .38

2.2.2. Bidrag till mass- och ¨amnesm¨angdstr¨ombalansen . . . .39

2.3 Energistr¨ombalansen . . . .40

2.3.1. Bidrag till energistr¨ombalansen . . . .40

2.4 Entropistr¨ombalansen . . . .45

2.4.1. Bidrag till entropistr¨ombalansen . . . .46

2.5 Exempel p˚a balanser f¨or mikrovolymer . . . .48

(4)

3. EGENSKAPER HOS TEKNISKT VIKTIGA GASER. . . .52

3.1. Tillst˚andsstorheter. . . .52

3.1.1. Tillst˚andsekvationer. . . .55

3.1.2. Viktiga termodynamiska samband. . . .55

3.1.3. Modeller f¨or den specifika v¨armekapaciteten, cp(T). . . .60

3.1.4. Modeller f¨or tillst˚andsekvationen, v(p, T). . . .60

3.1.4.1. ”Idealgaslagen”. . . .60

3.1.4.2. Kompressibilitetsfaktor och virialkoefficienter. . . .62

3.1.4.3. Kubiska tillst˚andsekvationer. . . .62

3.1.4.4. Tillst˚andsekvationer baserade p˚a reducerat tryck och temperatur. . . .64

3.2. M¨angd- och koncentrationsstorheter. . . .66

3.3. Egenskaper hos vatten˚anga. . . .68

3.3.1. M¨attningstillst˚and. . . .68

3.3.2. ¨Overhettad och fuktig ˚anga. . . .70

3.3.3. Kokpunktsf¨orh¨ojning. . . .71

3.4. Egenskaper hos fuktig luft. . . .73

3.4.1. Luftens sammans¨attning och vatteninneh˚all. . . .73

3.4.2. Specifik entalpi f¨or fuktig luft. . . .75

3.4.3. Tillst˚andsdiagram f¨or fuktig luft. . . .76

3.4.4. Metoder f¨or best¨amning av luftens vatteninneh˚all. . . .76

3.5. Egenskaper hos r¨okgaser. . . .82

3.5.1. Br¨anslens sammans¨attning och v¨armev¨arde. . . .82

3.5.2. F¨orbr¨anningsluftbehov, r¨okgasm¨angd och -sammans¨attning . . .86

3.5.3. Ofullst¨andig f¨orbr¨anning. . . .89

3.5.4. R¨okgasers sammans¨attning vid kemisk j¨amvikt. . . .91

3.5.4.1. St¨okiometri. . . .91

3.5.4.2. Energi- och entropistr¨ombalans. . . .93

3.5.4.3. Minimering av gibbs energi. . . .94

3.5.5. R¨okgasers entalpi. . . .99

3.5.6. R¨okgasers temperatur. . . .101

3.5.7. Tillst˚andsdiagram f¨or r¨okgaser. . . .103

4. MATERIALTRANSPORT. . . .106

4.1. Transport av v¨atskor med pumpar. . . .106

4.1.1. V¨atskors egenskaper. . . .106

4.1.2. Allm¨anna egenskaper hos pumpar. . . .108

4.1.3. Vanliga pumptyper och deras anv¨andningsomr˚aden. . . .112

4.1.4. Centrifugalpumpars karakteristikor. . . .116

4.1.5. F¨ortr¨angningspumpars karakteristikor. . . .120

4.1.6. Pumpars arbetspunkt. . . .120

4.1.7. Best¨amning av elementmotst˚andstal. . . .125

4.1.8. Ventilmotst˚andstal samt -karakteristika. . . . 126

4.1.9. L¨agsta tryck. Kavitation och tv˚afasstr¨omning . . . .128

(5)

4.1.10. Pumpkopplingar . . . .130

4.1.10.1. Pumpens eller pumpkopplingens karakteristikor. . . . .131

4.1.10.2. Maximal verkningsgrad vid arbetspunkten. . . .133

4.2. Transport av gaser med fl¨aktar. . . .136

4.2.1. Fl¨aktars anv¨andningsomr˚ade. . . .136

4.2.2. Vanliga fl¨akttyper och deras karakteristikor. . . .137

4.2.3. Fl¨aktars arbetspunkt. . . .139

4.3. Transport av gaser med kompressorer. . . .141

4.3.1. Energi- och entropistr¨ombalanser f¨or kompressorer. . . .141

4.3.2. Adiabatisk kompression i ett eller flera steg. . . .142

4.3.3. Isotermisk verkningsgrad. . . .146

4.3.4. Optimal kompression i N-steg med mellankylning. . . .146

4.3.5. Optimal kompression i ett godtyckligt antal steg med mellankylning. . . .148

4.3.6. Olika kompressortyper och deras anv¨andningsomr˚aden. . . .149

5. V ¨ARMETRANSPORT. . . .152

5.1. V¨armev¨axlare. . . .152

5.1.1. V¨armev¨axling med kondenserande ˚anga. . . .154

5.1.1.1. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .154

5.1.1.2. Kommentarer r¨orande v¨armev¨axlare med ˚angkondensering. . . .156

5.1.2. Mot- och medstr¨omsv¨armev¨axlare. . . .160

5.1.2.1. Motstr¨omsprincipen vid v¨armev¨axling. . . .160

5.1.2.2. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .161

5.1.3. Kors- och blandstr¨omv¨armev¨axlare. . . .167

5.1.3.1. Konstruktiva utf¨oranden. . . .167

5.1.3.2. Sambandet mellan v¨armestr¨om och v¨armeyta. . . .169

5.1.3.3. Volymetriskt v¨arme¨overf¨oringstal samt medeltemperaturdifferens. . . .171

5.1.4. V¨armegenomg˚angstalet. . . .172

5.1.4.1. Definition. . . .172

5.1.4.2. Ensidigt f¨orstorad v¨armeyta. . . .173

5.1.4.3. Ber¨akning av v¨arme¨overf¨oringstal. . . .174

5.1.4.4. Ber¨akning av v¨armegenomg˚angstal vid kondensation 179 5.1.5. Tryckfall i v¨armev¨axlare. . . .182

5.2. V¨armev¨axlarn¨at. . . .182

5.2.1. Uppv¨armnings- och avkylningskurvor. . . .182

5.2.2. Optimala v¨armev¨axlarn¨at. . . .186

5.2.2.1. Obegr¨ansade v¨armev¨axlarn¨ats optimala struktur . . . . .186

5.2.2.2. Begr¨ansade v¨armev¨axlarn¨ats optimala struktur. . . .188

5.2.2.3. Minimering av v¨armev¨axlarn¨atets totalkostnader. . . . .189

(6)

6. PROCESSIMULERING. . . . 193

6.1. Processimuleringsprogram. . . .193

6.2. Introduktion till PROCESS. . . .194

6.2.1. Huvudinstruktioner i PROCESS. . . .195

6.2.2. Underinstruktioner i PROCESS. . . .196

6.2.2.1. Underinstruktioner till ”TITLE”. . . .196

6.2.2.2. Underinstruktioner till ”COMPONENT DATA”. . . .197

6.2.2.3. Underinstruktioner till ”THERMODYNAMIC DATA” . . . . 197

6.2.2.4. Underinstruktioner till ”STREAM DATA”. . . .198

6.2.2.5. Underinstruktioner till ”UNIT OPERATIONS DATA”. . . .198

6.2.3. Simuleringsexempel med PROCESS. . . .200

6.3. Introduktion till ASPEN Plus. . . .202

6.3.1. Enheter i ASPEN Plus. . . .203

6.3.2. Block i ASPEN Plus. . . .205

6.3.3. Simuleringsexempel med ASPEN Plus. . . . 206

7. PROCESSOPTIMERING. . . . 212

APPENDIX. . . .219

A.1. Numeriska algoritmer f¨or rots¨okning och optimering. . . .219

A.1.1. BOLZAN - Bolzanos metod f¨or endimensionell rots¨okning . . .220

A.1.2. FMFP - Fletcher & Powell’s optimeringsalgoritm. . . .221

A.1.3. POWELL - Powell’s ”direction set” optimeringsalgoritm . . . . .224

A.1.4. LINMIN - 2-fas SIMPLEX optimeringsalgoritm. . . .229

A.1.5. MARQDT - Marquardt & Levenbergs icke linj¨ara regressionsalgoritm. . . .231

A.2. Termodynamiska tabeller. . . .235

A.2.1. Termodynamiska egenskaper hos vatten och vatten˚anga vid m¨attning. . . . 236

A.2.2. Mol¨ara entalpier f¨or n˚agra r¨okgaskomponenter. . . .237

A.3. Diagram . . . .239

A.3.1. h-s diagram f¨or vatten˚anga. . . .240

A.3.2. x-Θ diagram f¨or fuktig luft. . . .241

A.3.3. j-Θ diagram f¨or r¨okgaser och luft f¨or olika br¨anslen . . . .243

A.3.4. Den logaritmiska medeltemperturskillnadens korrektionsfaktor f¨or olika typer av v¨armev¨axlare. . . .251

A.4. F¨orteckning ¨over ¨ovningsuppgifter. . . .252

(7)

F¨orord

Bokenanl¨aggnings- och systemteknik¨ar fr¨amst avsedd som st¨od f¨or studerande som avl¨agger sin diplomingenj¨orsexamen vid ˚Abo Akademi, men kan ¨aven vara till nytta f¨or alumner som

¨

onskar uppdatera sina kunskaper i ¨amnet, eller f¨or andra tekniskt intresserade.

Boken ger en introduktion till process- och produktionsplanering samt sammansatta anl¨agg- ningars dimensionering och optimering. Enhetsoperationer f¨or material- och v¨armetransport, transportsystem f¨or v¨atskor och gaser, v¨armev¨axlarn¨at och andra process- och energitekniskt intressanta helheter inom processindustrin behandlas. Ekonomiska och milj¨om¨assiga aspek- ter i anslutning till problemst¨allningarna betonas.

Inneh˚allet f¨oruts¨atter att l¨asaren har vissa f¨orkunskaper i termodynamik och om kemiteknik.

Som st¨od i termodynamik rekommenderas t.ex. Look & Sauer (1986)Engineering Thermody- namics, PWS Engineering och f¨or djupare insikter i kemiteknik t.ex. Coulson & Richardson (1976) Chemical Engineering, Pergamon Press, och Mc Cabe, Smith & Harriot (1985) Unit Operations of Chemical Engineering, Mc Graw Hill.

Avsnitten i boken inneh˚aller ett flertal ¨ovningsuppgifter vars avsikt ¨ar att f¨or l¨asaren un- derl¨atta att ta till sig inneh˚allet och genom det f¨orv¨arva f¨ardigheten att sj¨alv kunna formulera och l¨osa nya mer avancerade anl¨aggnings- och systemtekniska problemst¨allningar, speciellt inom process- och tr¨af¨or¨adlingsindustrin. Stor vikt har d¨arf¨or lagts vid att ge f¨orst˚aelse av grundvalarna f¨or de teorier som behandlas.

Boken har utformats s˚a att varannan sida med avsikt l¨amnats tom f¨or att ge utrymme f¨or till¨aggsanteckningar. Inneh˚allet baserar sig i huvudsak p˚a de f¨orel¨asningar som jag h¨oll vid ˚Abo Akademi ˚aren 1985-2016. Vissa avsnitt i boken bygger ¨aven p˚a f¨orel¨asningar i anl¨aggnings- och apparatteknik utgivna av min f¨oretr¨adare professor Bertel Myr´een som han v¨alvilligt st¨allt till mitt f¨orfogande. Jag vill d¨arf¨or framf¨ora mitt varma tack till honom. Sam- tidigt vill jag ocks˚a tacka DI Ulla B¨ackstr¨om, TkD Hans Skrifvars, TkL Kurt Lundqvist och TkL Frej Bjondahl f¨or hj¨alp bl.a. vid renritning av diagram och figurer i de olika upplagorna av boken.

Bokens sjunde upplaga har kompletterats med till¨aggsmaterial i n˚agra avsnitt och tryckfel har r¨attats till, men boken ¨ar i huvudsak ett nytryck av den sj¨atte upplagan. F¨or att f¨orb¨attra inneh˚allet i framtida upplagor ¨ar undertecknad fortfarande tacksam f¨or kommentarer.

˚Abo 2019-03-01 Tapio Westerlund

(8)

1. EKONOMISKA ANALYSER

1.1. Industrif¨oretagets m˚als¨attning och ingenj¨orens uppgift

I den dynamiska milj¨o d¨ar industrif¨oretag verkar uppst˚ar st¨andigt nya situationer, som f¨oruts¨atter avg¨oranden av dem som arbetar inom f¨oretaget. Icke minst till ingenj¨orer delegeras r¨att att fatta beslut i fr˚agor d¨ar olika alternativ kan komma ifr˚aga.

Varje f¨oretag har en mera eller mindre konkret definierad m˚als¨attning, som best˚ar av flera komponenter. En av dessa komponenter, som i allm¨anhet ges stor vikt, ¨ar att f¨oretaget p˚a l˚ang sikt skall g˚a med vinst. Andra komponenter av stor vikt ¨ar skapandet av en s¨aker och trivsam arbetsmilj¨o f¨or de anst¨allda och minimeringen av de skadeverkningar, som den industriella verksamheten eller framst¨allda produkter kan ha.

F¨or de inom f¨oretaget arbetandes str¨avan att uppfylla m˚als¨attningen finns m˚anga begr¨ansan- de faktorer. Dylika kan vara knapphet p˚a ekonomiska resurser, p˚a r˚avaror eller arbetskraft, marknadens begr¨ansningar eller avsaknaden av tekniska l¨osningar, med vilka ¨onskat m˚al kun- de uppn˚as. Lagstiftningen begr¨ansar m¨ojligheterna att v¨alja kanske ekonomiskt f¨ordelaktiga alternativ f¨or verksamheten, s˚adana lagar ¨ar t.ex. patentlagen, arbetstidslagen, tryckk¨arlsla- gen, luftv˚ardslagen och vattenlagen. ¨Aven ing˚agna avtal s˚asom leveransavtal eller kollekti- vavtal begr¨ansar handlingsfriheten.

Det ¨ar de vid f¨oretaget anst¨allda ingenj¨orernas uppgift att, inom ramen f¨or sina befogenheter och ansvarsomr˚aden efter b¨asta f¨orm˚aga verka f¨or att samtliga faktorer beaktas. Uppenbart

¨

ar att s˚av¨al de ingenj¨orer, som har ansvaret f¨or och skall leda driften vid produktionsav- delningar, men ¨aven de som har forsknings- eller utvecklingsuppdrag inom f¨oretaget, kan g¨ora en betydande insats i detta h¨anseende. Alla m˚als¨attningens komponenter b¨or h¨arvid naturligtvis beaktas.

(9)

M˚anga g˚anger skall ingenj¨orerna avge f¨orslag eller fatta beslut, d˚a dessa inte kan g¨oras ut- g˚aende fr˚an en kvantitativ ekonomisk j¨amf¨orelse av ifr˚agakommande alternativ, utan m˚aste g¨oras intuitivt. Ofta st¨alls de emellertid inf¨or begr¨ansade beslutssituationer, d˚a enbart den ekonomiska m˚als¨attningen i form av maximal vinst under en ¨oversk˚adlig framtid har be- tydelse. I det f¨oljande skall endast j¨amf¨orelsen av dylika juridiskt, socialt, etiskt och ur milj¨ov˚ardssynpunkt godtagbara alternativ behandlas.

F¨oljande vanliga fr˚agest¨allningar belyser dylika valsituationer:

1. Skall en gammal apparat repareras eller en ny k¨opas?

2. Skall man v¨alja funktionss¨att ”a” eller ”b” f¨or en ny apparat?

3. Vilken kapacitet eller dimension skall v¨aljas f¨or en ny apparat?

4. Skall en maskin k¨opas av leverant¨oren A eller av leverant¨oren B?

5. Vilka v¨arden skall v¨aljas ˚at driftsparametrarna?

Dessa fr˚agor ¨ar teknisk-ekonomiska till sin natur och ˚atminstone utg˚angsv¨ardena f¨or en eko- nomisk kalkyl m˚aste ges av personer med kvalificerad teknisk skolning. Dylika utg˚angsv¨arden

¨

ar det produktutbyte processer kan v¨antas ge, behovet av olika dyra r˚amaterial,energibehovet, maskineriets kvalitet som utg˚angspunkt f¨or uppskattning av underh˚allskontnader o.s.v. Of- tast skall ingenj¨oren emellertid g¨ora ett definitivt f¨orslag eller beslut, varvid det naturliga ¨ar att han sj¨alv g¨or den ekonomiska kalkylen.

Observera, att det alltid g¨aller att sinsemellan j¨amf¨ora med varandra tv˚a eller flera alternativ.

Dessa kan vara till antalet begr¨ansade s˚asom i fr˚agest¨allningarna 1, 2 och 4 eller obegr¨ansade s˚asom i fr˚agest¨allningarna 3 och 5. I det senare fallet kan det g¨alla att v¨alja ett ekonomiskt optimalt v¨arde p˚a en kontinuerlig variabel.

Viktigt ¨ar att samtliga realistiska alternativ unders¨oks. S˚alunda kan d˚a man ¨overv¨ager ett k¨op av en apparat fr˚an n˚agondera av tv˚a m¨ojliga leverant¨orer ett tredje realistiskt alternativ vara, att man inte ¨overhuvudtaget k¨oper en apparat. Ocks˚a detta alternativ skall allts˚a tas med vid l¨onsamhetsj¨amf¨orelsen. Vidare ¨ar det viktigt, att samtliga faktorer som ber¨ors av ifr˚agavarande alternativ beaktas. Valet f˚ar t.ex. inte g¨oras s˚a, att vinsten maximeras endast f¨or den avdelning, f¨or vilken den som utf¨or kalkylen b¨ar ansvaret, utan att beakta de ekonomiska konsekvenser det f¨oreslagna alternativet har f¨or andra delar av f¨oretaget. En dylik

”suboptimering” kan leda till beslut, som inte ¨ar f¨orenliga med m˚als¨attningen f¨or f¨oretaget i sin helhet.

Det b¨or m˚ah¨anda understrykas, att den tekniskt sett b¨asta l¨osningen inte beh¨over vara det ekonomiskt b¨asta alternativet, i sj¨alva verket ¨ar detta r¨att s¨allan fallet.

(10)

I vissa fall kan naturligtvis en teknisk framom en ekonomisk optimering vara motiverad. H¨ar kan trivsel- och s¨akerhetsfaktorer spela in och f¨oretaget kan ha andra intressen att bygga en dyrare anl¨aggning ¨an omedelbara ekonomiska faktorer skulle f¨oruts¨atta.

Ekonomiska storheters v¨arde kan i allm¨anhet m¨atas i pengar och s˚alunda inf¨oras i matema- tiska uttryck. I det f¨oljande skall i korthet behandlas metoder, som kan till¨ampas d˚a man utf¨or ekonomiska kalkyler. Pengars v¨arde ¨ar emellertid beroende av vid vilken tidpunkt dessa st˚ar till f¨orfogande och innan man kan utf¨ora dessa kalkyler m˚aste man k¨anna till hur pengarnas v¨arde f¨or¨andras med tiden.

1.2. Pengars v¨arde som funktion av tiden

Vid ekonomiska kalkyler upptr¨adande problem ¨ar att med varandra j¨amf¨ora penningbelopp som f¨orekommer vid olika tidpunkter samt att j¨amf¨ora som kontinuerliga betalningsstr¨ommar, t.ex. kostnaderna f¨or r˚amaterial i en kontinuerlig process, med eng˚angsbetalningar, t.ex.

erlagt pris f¨or ink¨opt maskineri. J¨amf¨orelsen f¨orsv˚aras av att varje s˚adan betalning un- derg˚ar en v¨ardef¨or¨andring med tiden. Det ¨ar d¨arf¨or av vikt, att man ut¨over beloppen ocks˚a k¨anner till de tidpunkter, vid vilka eng˚angsbetalningarna och de tidintervall inom vilka be- talningsstr¨ommarna intr¨affar.

Det nominella v¨ardet eller beloppet av ett kapital, dvs. en penningsumma, ¨okar med tiden till f¨oljd av f¨orr¨antning. Detta inneb¨ar att en penningsumma i regel ¨ar mera v¨ard om den st¨alls till disposition vid en tidigare ¨an vid en senare tidpunkt. Man kan ju alltid investera detta penningbelopp vid den tidigare tidpunkten - om inte p˚a annat s¨att s˚a genom att deponera det i en bank - varvid man vid den senare tidpunkten ut¨over det ursprunliga beloppet f¨orfogar

¨

over en viss r¨anta. Myntenheten kan emellertid ocks˚a underg˚a en v¨ardef¨or¨andring, varigenom penningbeloppets reella v¨arde eller k¨opkraft minskar. En inflation motverkar allts˚a genom myntenhetens v¨ardeminskning den reella v¨arde¨okning av ett kapital, som f¨orr¨antningen ˚astad- kommer.

1.2.1. Eng˚angsbetalningars f¨orr¨antning

Till en b¨orjan fr˚anses eventuella f¨or¨andringar i myntenhetens v¨arde och granskas endast kapitaltillv¨axten genom f¨orr¨antning.

Antag att man vid en viss tidpunkt t0 l˚anar ett kapital, vars belopp vid denna tidpunkt ¨ar K(t0). F¨orutom att man efter en viss tid m˚aste ˚aterbetala l˚anesumman, m˚aste man ¨aven erl¨agga r¨anta, vilken ber¨aknas enligt en ¨overenskommen r¨antefotp. R¨antefoten anger hur stor

(11)

br˚akdel av kapitalet som per tidsenhet skall erl¨aggas i r¨anta och den ges vanligen i enheten

%/ ˚ar. Efter 1 ˚ar r¨aknat fr˚an l˚anetidpunkten ¨ar r¨antan K(t0)·0,01· p

%/˙ar

Om man i st¨allet f¨or att t.ex. ˚arligen betala r¨antan ˚at l˚anegivaren inr¨aknar den i det ur- sprungliga l˚anet, har detta efter 1 ˚ar stigit till

K(t0+ 1 ˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)

Under f¨oljande ˚ar skall r¨anta r¨aknas p˚a det s˚alunda ut¨okade l˚anebeloppet och l˚anesumman inklusive r¨anta har d˚a efter 2 ˚ar stigit till

K(t0+ 2 ˙ar) =K(t0+ 1 ˙ar)·(1 + 0,01· p

%/˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)

2

och allts˚a allm¨ant eftern˚ar till

K(t0+n ˙ar) =K(t0)·(1 + 0,01· p

%/˙ar)n (1.2.1)

Man finner att l˚anesummans belopp ¨okar exponentiellt med antalet ˚ar, allts˚a med tiden.

I ovanst˚aende resonemang har man utg˚att fr˚an, att r¨anta l¨aggs till l˚anekapitalet vid varje

˚ars slut. Industriella investeringar ger avkastningen ofta i form av ¨over ˚aren utspridda f¨ors¨aljningsint¨akter eller besparingar till f¨oljd av uteblivna kostnader. Denna avkastning, som ¨ar r¨anta och ˚aterbetalning av det till produktionen ”l˚anade” kapitalet, kan omedelbart

˚ater investeras och p˚a det s¨attet f˚as r¨anteb¨arande. Hur detta sker kan variera fr˚an fall till fall. Uttrycket (1.2.1) kan under dessa omst¨andigheter inte anses g¨alla exakt.

Utan att g¨ora avkall p˚a den f¨or h¨ar behandlade ekonomiska ber¨akningar beh¨ovliga noggrann- heten kan man emellertid ta fasta p˚a att beloppet ¨okar exponentiellt med tiden

K(t) =K(t0)·Ptar˙t0 (1.2.2) Detta uttryck kan anv¨andas f¨or ber¨akning av det ekvivalenta beloppet vid tidpunkten t av en betalning, som utfaller vid tidpunkten t0. H¨ar ¨ar P en r¨antefaktor, som kan ber¨aknas ur f¨oretagets kalkylr¨antefotp enligt,

P = 1 + 0,01· p

%/˙ar (1.2.3)

Vid en j¨amf¨orelse av uttrycken (1.2.1) och (1.2.2) finner man att de ¨ar identiskt lika d˚a t−t0 = n˚ar. Exponenten tar˙t0 beh¨over emellertid inte vara ett heltal och kan ¨aven vara ett negativt tal.

(12)

Exempel 1.1.

En r¨akning p˚a 10.000 Euro skall betalas den 1.1.2012. Vad ¨ar beloppets ekvivalenta v¨arde den 1.1.2019 om kalkylr¨antefoten ¨ar

a) 4 %/˙ar, b) 8 %/˙ar ?

Exempel 1.2.

Man r¨aknar med att ˚ar 2023 kunna realisera en anl¨aggningsdel f¨or ett pris av 100.000 Euro.

Vad ¨ar det ekvivalenta v¨ardet av denna int¨akt ˚ar 2012, om kalkylr¨antefoten ¨ar 9 %/˙ar och man kan anta, att myntenhetens v¨arden inte f¨or¨andras ?

1.2.2. Betalningsstr¨ommars ekvivalenta eng˚angsbetalningar

Som redan n¨amnts upptr¨ader int¨akter och utgifter ofta t¨amligen j¨amnt f¨ordelade ¨over ett tidintervall. Dylika betalningar uppst˚ar genom f¨ors¨aljning av tillverkade produkter. Trots att betalningarna alltid uppr¨ader vid diskreta tidpunkter kan man utan m¨arkbart fel i en kalkyl vid en matematisk behandling av dessa ofta upptr¨adande betalningar uppfatta dem som i tiden kontinuerliga betalningsstr¨ommar.

F¨or att kunna j¨amf¨ora dylika kontinuerliga betalningsstr¨ommar som har dimensionen ett belopp per tidenhet (Euro/ h), med eng˚angsbetalningar, vars dimension ¨ar enbart ett belopp (Euro), m˚aste man ber¨akna det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen vid den tidpunkt d˚a eng˚angsbetalningen erl¨agges. Detta kan ske p˚a f¨oljande s¨att.

Det tidintervall (t1;t2) inom vilket betalningsstr¨ommen infaller delas upp i ett antal sam- manh¨angande delintervall ∆ti, vilka v¨aljes tillr¨ackligt sm˚a f¨or att man inom varje delintervall skall kunna betrakta produkten k(ti)·∆ti som en eng˚angsbetalning vid tidpunkten ti. H¨ar

¨

ar k(ti) v¨ardet av betalningsstr¨ommen vid tidpunkten ti, som ligger inom ett betraktat in- tervall. Denna eng˚angsbetalning kan omr¨aknas till en ekvivalent eng˚angsbetalning ∆Ki(to) vid en valbar referenstidpunkt to med uttrycket (1.2.2), allts˚a

∆Ki(t0) =k(ti)·∆ti·P

(ti−t0 )

˙ ar

S˚a kan man f¨orfara med betalningen inom varje tidintervall ∆ti. D˚a de ber¨aknade ekvivalenta delbetalningarna ∆Ki(to) intr¨affar vid samma tidpunkt to kan de adderas, varvid man f˚ar det ekvivalenta beloppet av betalningsstr¨ommen inom hela tidintervallet (t1;t2)

K(t0) = Σ∆Ki(t0) = Σk(ti)·P(ti−ar˙ t0 ) ·∆ti (1.2.4) Summeringen skall naturligtvis ske ¨over samtliga deltidintervall. L˚ater man deltidintervallens antal v¨axa, s˚a att samtliga ∆ti g˚ar mot dt, kan enligt definitionen p˚a best¨amd integral summauttrycket i (1.2.4) skrivas

K(t0) =

t2

t1

k(t)·P(tar˙t0 ) dt (1.2.5)

(13)

Integrationen kan utf¨oras om man k¨anner funktionen k(t), dvs. betalningsstr¨ommens tid- beroende inom intervallet (t1;t2) F¨or det specialfall, att betalningsstr¨ommen ¨ar konstant inom detta intervall, allts˚a

k(t) =c, t1 < t < t2 (1.2.6)

f˚as efter integrering

K(t0) = ˙ar

lnP ·(P(t1−ar˙ t0 ) −P(t2−ar˙ t0 )) (1.2.7) En i m˚anga fall mera realistisk uppskattning av penningstr¨ommars tidsberoende ¨ar att de

¨

okar eller minskar med en viss br˚akdel av f¨oreg˚aende ˚ars v¨arde. Som en r¨att god approxi- mation kan r¨akna med att l¨onerna f¨or industriarbetare i b¨orjan av 80-talet ¨okade med ca.

9 %/˙ar. Ifall antalet anst¨allda vid ett f¨oretag har varit konstant under en f¨oljd av ˚ar har l¨onekostnaderna vid f¨oretaget under dessa ˚ar stigit exponentiellt med 9 %/˙ar. Ett annat exempel kan vara kostnaderna f¨or r˚amaterial, som till f¨oljd av produktionskapacitetens ut- byggnad, f¨orb¨attringar i produktionstekniken eller h˚ard konkurrerns mellan olika tillverkare kan sjunka med en viss br˚akdel per ˚ar. S˚a har skett med bl.a. en del petrokemiska produkter.

I dylika fall kan betalningsstr¨ommens tidsberoende skrivas

k(t) =k(t1)·Qtar˙t1 (1.2.8)

d¨ar Q ¨ar en prisfaktor, som kan ber¨aknas ur

Q= 1 + 0,01· q

%/˙ar (1.2.9)

d¨arqbetecknar den ˚arliga procentuella ¨okningen av betalningsstr¨ommens belopp. Ifall det ¨ar fr˚aga om en minskning inf¨orsq med negativt f¨ortecken ochQ f˚ar d˚a ett v¨arde som ¨ar mindre

¨ an 1.

F¨or ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen vid tidpunkten to av en dylik expo- nentiellt ¨okande eller minskande betalningsstr¨om inf¨ors k(t) enligt (1.2.8) i uttrycket (1.2.5), varvid man efter utf¨ord integrering f˚ar

K(t0) = k(t1)· ˙ar

ln(P/Q) ·(1(P/Q)−(t2−tar˙ 1 ))·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.10)

I specialfalletQ = P blir exponentialuttrycket i integralen lika med 1, varvid den ekvivalenta eng˚angsbetalningen kan ber¨aknas enligt,

K(t0) =k(t1)·(t2−t1)·P(t0−tar˙ 1 ) (1.2.11) Ifall betalningsstr¨ommen k(t) inte kan uttryckas i form av exponentialfunktionen (1.2.8), varav funktionen (1.2.6) ¨ar ett specialfall, m˚aste man vid ber¨akningen utg˚a fr˚an integralut- trycket (1.2.5). I andra specialfall kan integrationen utf¨oras, vilken leder till andra explicita uttryck f¨or betalningsstr¨ommens ekvivalenta eng˚angsv¨arde. I m˚anga fall kan integrationen inte utf¨oras analytiskt. Detta ¨ar fallet t.ex. d˚ak(t) ¨ar grafiskt given. Integrationen m˚aste d˚a utf¨oras numeriskt eller grafiskt.

(14)

I det f¨oreg˚aende har behandlats kontinuerliga betalningsstr¨ommar f¨or diskreta r¨anteperioder.

Resonemanget leder s˚asom tidigare n¨amndes till n˚agot felaktigt resultat eftersom alla ”be- talningsstr¨ommar” i sj¨alva verket utf¨ors som diskreta eng˚angsbetalningar. F¨or ekonomiska kalkyler d¨ar de diskreta eng˚angsbetalningarna sker i perioder som ¨ar mycket kortare ¨an r¨anteperioden eller d˚a betalningsperioderna varierar ¨ar det ¨andam˚alsenligt att utnyttja kon- tinuerliga betalningsstr¨ommar.

D˚a ”betalningsstr¨ommen” ¨ar diskret och diskretiseringsintervallet stort i j¨amf¨orelse med r¨an- teperioden (t.ex. 1 ˚ar) kan vid anv¨andning av kontinuerliga betalningsstr¨ommar ber¨aknas en ekvivalent r¨antefot f¨or den kontinuerliga betalningsstr¨ommen svarande mot r¨antefoten f¨or den diskreta ”betalningsstr¨ommen”.

Vid ber¨akning av den ekvivalenta eng˚angsbetalningen f¨or en konstant diskret ”betalnings- str¨om” k(t) = c som infaller i b¨orjan av n p˚a varandra f¨oljande ˚ar f˚as med den ”diskreta”

r¨antefoten ((%/pDar)˙ )

K(t0) =c( 1−PDn

(1−PD)PDn) (1.2.12)

d¨ar PD anger den ”diskreta” r¨antefaktorn,

PD = (1 + 0,01( pd

%/˙ar)) (1.2.13)

Kombineras eq. (1.2.7) med eq. (1.2.12) (d¨ar t2 =t0+n och t1 =t0) f˚as, Pn1

(lnP)Pn = 1−PDn

(1−PD)PDn (1.2.14)

eller

f(P) =PD1lnP(PDn1 Pn1( P

PD

)n) (1.2.15)

varur den ekvivalenta kontinuerliga r¨antefaktorn P kan best¨ammas f¨or en given diskret r¨antefaktor PD ur f(P) = 0. F¨or best¨amning av roten f(P) = 0 kan Bolzano s¨okning utnyttjas (Subroutine BOLZAN (8) i appendix).

Exempel 1.3.

En produktionsavdelning har effektbehovet 7 MW under 8000 h/ ˚ar. F¨oretaget k¨oper elektrisk energi till ett pris av 50 Euro/ MWh. B˚ade det ˚arliga energibehovet och energipriset antas f¨orbli konstanta under en l˚ang f¨oljd av ˚ar. Ber¨akna den ekvivalenta eng˚angsutgiften f¨or elektrisk energi vid avdelningen h¨anf¨ord till tidpunkten to f¨or en tidsperiod p˚a 8 ˚ar, d˚a r¨antefoten ¨ar 7 %/ ˚ar och tidpunkten to v¨aljes

a) vid periodens b¨orjan, b) vid periodens slut !

Exempel 1.4

Vid en reparationsavdelning utf¨ors i medeltal 4000 arbetstimmar per m˚anad. Medeltiml¨onen

(15)

2016 ¨ar 20 Euro/ h, vartill kommer 30 % av timl¨onerna som l¨onebikostnader f¨or f¨oretaget.

Man kan anta att antalet arbetstimmar per m˚anad f¨orblir konstant samt att timl¨onen under den kommande tio˚arsperioden ¨okar med 3 %/ ˚ar. Ber¨akna: a) medeltiml¨onen per arbetare vid avdelningen ˚ar 2026, b) det ekvivalenta beloppet av f¨oretagets l¨onekostnader vid avdel- ningen under inkommande tio˚arsperiod h¨anf¨ort till tidpunkten 1.1.2016 om kalkylr¨antefoten

¨

ar 4 %/ ˚ar ! Exempel 1.5.

Diskontera en ˚arlig int¨akt p˚a 10.000 Euro som infaller vid varje ˚ars slut under n˚ar till tid- punkten t0 = 0. J¨amf¨or resultatet om betalningsstr¨ommen ¨ar kontinuerlig.

Exempel 1.6.

Visa att ifall ett l˚an,K(t0), f¨or vilket m˚aste erl¨aggas en ˚arlig r¨anta,p %, ˚aterbetalas undern

˚ar med mstycken (lika stora ekvidistanta) annuiteter per ˚ar, kan de totala r¨antekostnaderna f¨or l˚anet ber¨aknas enligt, (q·n−1)·K(t0) samt summan av annuiteterna under ett ˚ar ber¨aknas enligt, q·K(t0) d¨ar q ges av,

q = p

100% ·

1 + 1 (

1 + p/100%m )n·m

1



Om antalet annuiteter per ˚ar fastsl˚as ¨ar det i m˚anga fall ¨andam˚alsenligt, att utrita p som funktion av nmed q som parameter. I figur 1.1 illustreras detta d˚a antalet annuiteter per ˚ar fastslagits till m= 12 och 12q anges som parameter.

Figur 1.1 ˚Arlig r¨anta som funktion av l˚anetiden med den m˚anatliga annuiteten som parameter.

(16)

1.2.3. Inflation

Med uttrycken (1.2.2) och (1.2.5) kan man ber¨akna det ekvivalenta nominella v¨ardet eller beloppet av en eng˚angsbetalning eller betalningsstr¨om vid en valbar tidpunkt. ¨Onskar man

¨

aven ber¨akna det reella v¨ardet, dvs. k¨opkraften av ett penningbelopp, b¨or man i kalkylen beakta den tidsberoende f¨or¨andringen av myntenhetens k¨opkraft. Denna kan till f¨oljd av inflation nedg˚a med tiden. Inflationens storlek kan m¨atas med olika index, med vilka anges medelpriset p˚a l¨ampligt valda v¨ardebest¨andiga nyttigheter vid olika tidpunkter i f¨orh˚allande till samma nyttigheters medelpris vid en given referenstidpunkt. Dylika index ¨ar t.ex. par- tiprisindex, byggnadskostnadsindex, levnadskostnadsindex och konsumentprisindex, vilka i v˚art land ber¨aknas och publiceras av Statistiska Centralbyr˚an.

Vid uppskattningen av ett framtida v¨arde f¨or ett dylikt index kan man ofta antaga, att detta stiger med en viss br˚akdel av f¨org˚aende ˚ars v¨arde, allts˚a om detta index betecknasI f˚ar man

I(t) =I(tref)·J

(t−tref)

˙

ar (1.2.16)

H¨ar ¨ar tref en referenstidpunkt, vid vilken man k¨anner index och s˚alunda vet myntenhetens k¨opkraft, samt J en inflationsfaktor, som kan ber¨aknas

J = 1 + 0,01· j

%/˙ar (1.2.17)

d¨ar j ¨ar penningv¨ardets ˚arliga procentuella minskning, dvs. inflationen.

Onskar man ber¨¨ akna vilket reellt v¨ardeKR(t) ett penningbeloppK(t) har uttryckt i pengars k¨opkraft vid en referenstidpunkt tref b¨or f¨or¨andringen i index beaktas:

KR(t) = I(tref)

I(t) ·K(t) (1.2.18)

Vid ber¨akningen av det reella v¨ardet vid en senare tidpunkt av ett belopp, som erl¨agges vid tidpunkten t0, b¨or b˚ade f¨orr¨antningen och inflationen beaktas. Om man kan anta att b˚ade r¨antefoten och inflationen ¨ar konstant inom tidintervallet (t0;t) ger en kombination av (1.2.2), (1.2.16) och (1.2.18):

KR(t) =K(t0)· P(t−tar˙ 0 ) J

(t−tref)

˙ ar

(1.2.19) Med detta uttryck f˚as allts˚a det reella v¨ardet KR(t) vid tidpunkten t av det nominella be- loppet K(t0) som erl¨aggs vid tidpunkten t0, varvid det reella v¨ardet uttrycks i myntenhetens v¨arde vid tidpunkten tref. Ifalltref v¨aljes vid to, varvid naturligtvis

KR(tref) =K(tref) (1.2.20)

kan (1.2.19) skrivas

KR(t) =KR(tref)·(P/J)

(t−tref)

˙

ar (1.2.21)

(17)

varvid P/J kan kallas en reell r¨antefaktor, ur vilken en reell r¨antefot pR kan ber¨aknas:

pR = (P/J1)·100 %/˙ar (1.2.22) Man finner att en penningsummas reella v¨arde minskar med tiden trots att dess belopp ¨okas ifall inflationen j ¨ar st¨orre ¨an r¨antefoten p. D˚a ¨ar ocks˚a den reella r¨antefoten negativ.

Exempel 1.7.

Man uppskattar att en gammal anl¨aggning kan h˚allas i drift ¨annu under 6 ˚ar, varefter den ers¨attes med en ny. Man r¨aknar med att apparater till ett v¨arde av 120.000 Euro, uppskattat i nu g¨allande v¨arde p˚a myntenheten, vid ombyggnaden skall kunna ¨overf¨oras fr˚an den gamla anl¨aggningen till den nya. R¨antefoten antas vara 5 %/ ˚ar och inflationen uppskattas till 3

%/ ˚ar.

a)Med vilket belopp skall restv¨ardet av den gamla anl¨aggningen inf¨oras i en ekonomisk kalkyl, om detta skall uttryckas med det vid tidpunkten f¨or ombyggnaden g¨allande v¨ardet p˚a myn- tenheten?

b) Vad ¨ar nuv¨ardet av detta belopp?

1.3. Metoder f¨or val av det ekonomiskt b¨asta alternativet

1.3.1. Ekvivalent vinst

S˚asom tidigare framh˚allits ¨ar det i regel i ¨overensst¨ammelse med aff¨arsdrivande f¨oretags m˚als¨attning att bland s˚adana alternativ, som har ekonomiska f¨oljder f¨or f¨oretaget, v¨alja det al- ternativ, som p˚a l˚ang sikt ger detta den st¨orsta ekonomiska vinsten. H¨ar skall unders¨okas hur detta val kan g¨oras. I det f¨oljande f¨oruts¨atts att samtliga ifr˚agakommande alternativ bed¨omes som realistiska och uppfyller de andra krav, som f¨oretagets m˚als¨attning st¨aller. Till en b¨orjan skall emellertid antas att endast tv˚a alternativ kan komma ifr˚aga. Som utg˚angsv¨arden f¨or kalkylen ber¨aknas eller uppskattas storleken av samtliga eng˚angsbetalningar, vilka inte i fr˚aga om belopp och betalningstidpunkt ¨ar identiska i b¨agge alternativ, samt ¨aven de be- talningsstr¨ommar, vilka inte ¨ar identiska till storlek, tidsberoende och betalningsintervall i de j¨amf¨orda alternativen.

I det ena alternativet ber¨aknas f¨or varje dylik eng˚angsint¨akt och int¨aktsstr¨om det ekvivalenta beloppet vid en vald tidpunkt t0. Sedan ber¨aknas samtliga med det andra alternativet icke

¨

overensst¨ammande eng˚angsutgifter och utgiftsstr¨ommar till ekvivalenta belopp vid samma tidpunkt t0. Summan av de ekvivalenta delutgifterna utg¨or alternativets utgift Ku,1(t0).

Skillnaden mellan den ekvivalenta int¨akten och den ekvivlalenta utgiften definieras som al- ternativets ekvivalenta vinst V1 (t0):

V1(t0) =Ki,1(t0)−Ku,1(t0) (1.3.1) P˚a samma s¨att ber¨aknas den ekvivalenta vinsten V2 (t0) f¨or det andra alternativet:

V2(t0) =Ki,2(t0)−Ku,2(t0) (1.3.2)

(18)

varvid det ¨ar viktigt att t0 v¨aljes vid samma tidpunkt i vardera alternativet. Det alternativ som har den st¨orre ekvivalenta vinsten ¨ar det ekonomiskt f¨ordelaktigare och b¨or s˚alunda v¨aljas.

1.3.1.1. Nuv¨ardesmetoden

Man inser l¨att att eng˚angsbetalningar och betalningsstr¨ommar, som till storlek och tidpunkt resp. tidintervall n¨ar de upptr¨ader ¨ar identiska i vardera alternativet, bidrar med lika stora belopp till de ekvivalenta vinsterna f¨or dessa alternativ. D˚a det endast ¨ar ordningsf¨oljden hos alternativen enligt den ekvivalenta vinstens storlek som ¨ar av intresse och denna inte f¨or¨andas av att man till b¨agge ekvivalenta vinster adderar identiska betalningar kan dessa l¨amnas bort fr˚an kalkylen. Detta kan v¨asentligt minska r¨aknearbetet och g¨ora kalkylen ¨oversk˚adligare.

D˚a man f¨orfar p˚a detta s¨att ¨ar naturligtvis den ekvivalenta vinsten inte ett m˚att p˚a en inves- terings l¨onsamhet utom i det fall att det andra alternativet inneb¨ar, att man ¨overhuvudtaget inte g¨or n˚agon investering. Eventuellt kan i vardera alternativet den ekvivalenta vinsten bli negativ. D˚a ¨ar det ekonomiskt l¨onsamt att v¨alja det alternativ, vars ekvivalenta vinst ¨ar algebraiskt st¨orst, dvs. minst negativt.

Har man ytterligare ett tredje realistiskt alternativ kan detta j¨amf¨oras p˚a samma s¨att med det i den f¨orsta j¨amf¨orelsen funna f¨ordelaktigare alternativet. H¨arvid b¨or man ˚ater observera, att samtliga penningbelopp och penningstr¨ommar, som inte ¨ar identiskt lika i de nu j¨amf¨orda alternativen b¨or tas med vid ber¨akningen av de ekvivalenta vinsterna. S˚alunda beh¨over vid denna andra l¨onsamhetsj¨amf¨orelse den ekvivalenta vinsten f¨or ett tidigare j¨amf¨ort alternativ inte vara densamma som vid den tidigare j¨amf¨orelsen.

P˚a detta s¨att kan ytterligare realistiska alternativ beaktas. Det alternativ, som vid den sista j¨amf¨orelsen har den st¨orre ekvivalenta vinsten ¨ar det ekonomiskt f¨ordelaktigaste av samtliga j¨amf¨orda alternativ och b¨or s˚alunda v¨aljas.

Denna metod att best¨amma den inb¨ordes ordningsf¨oljden av olika alternativ ur l¨onsamhets- synpunkt kallas ”nuv¨ardesmetoden”. Denna ben¨amning ¨ar motiverad om referenstidpunkten t0 v¨aljes vid tidpunkten ”nu”, dvs. den tidpunkten d˚a kalkylen utf¨ors. Referenstidpunk- ten kan emellertid v¨aljas fritt. Det kan vara l¨attare att f¨orst˚a kalkylens inneb¨ord om denna tidpunkt v¨aljes vid den unders¨okta tidsperiodens slut, varvid de ber¨aknade ekvivalenta vin- sternas positiva skillnad direkt anger hur mycket mera pengar man skulle ha som utbyte av det b¨attre alternativet ¨an av det s¨amre alternativet, d˚a alla int¨akter och utgifter i b˚ada alternativen erlagts.

(19)

Denna j¨amf¨orelsemetod ¨ar alltid anv¨andbar ifall man har tillg˚ang till n¨odigt kapital, som belastas med r¨antekostnader ber¨aknade med kalkylr¨antefoten eller ˚aterinvesteras i projekt, i vilka det ˚aterinvesterade kapitalet v¨axer med r¨anta p˚a r¨anta enligt kalkylr¨antefoten.

1.3.1.2. Annuitetsmetoden

I nuv¨ardesmetoden best¨ammes och j¨amf¨ores den ekvivalenta vinsten f¨or investeringar. Ifall den ekvivalenta vinsten best¨ammes som en ˚arlig annuitet brukar metoden ¨aven kallas ”annu- itetsmetoden”.

1.3.2. Viktiga utg˚angsv¨arden f¨or ekonomiska kalkyler

F¨or ekonomisk kalkyl enligt nuv¨ardes- eller annuitetsmetoden b¨or bl.a. f¨oljande utg˚angsv¨ar- den ber¨aknas eller uppskattas:

a) Kostnaderna f¨or beh¨ovliga anl¨aggningar i de olika alternativen.

b) Anl¨aggningarnas restv¨arde efter avslutad produktion.

c) I de olika alternativen upptr¨adande in- och utbetalningar, oftast i form av betal- ningsstr¨ommar, vilka f¨oranleds av produktionen.

d) Anl¨aggningarnas ekonomiska livsl¨angd.

e) Kalkylr¨antefoten.

I kostnaderna f¨or anl¨aggningarna b¨or medtas f¨orutom priset p˚a beh¨ovligt maskineri ¨aven kostnaderna f¨or byggnader, transport- och montagekostnader, ig˚angk¨orningkostnader o.s.v.

Ifr˚aga om st¨orre investeringar kan betalningen erl¨aggas i flera rater vid olika tidpunkter, vilket skall beaktas i kalkylen. Prisuppgifter p˚a apparatur kan erh˚allas ur offerter, som inbeg¨ares av sannolika leverant¨orer. F¨or preliminin¨ara kalkyler kan det emellertid vara tids¨odande eller av sekretessorsaker ol¨ampligt att beg¨ara prisuppgifter av utomst˚aende. R¨att god uppfattning om priser p˚a vanlig processapparatur kan d˚a f˚as ur facklitteraturen (1,2). I den slutliga kalkylen b¨or naturligtvis offertpriser anv¨andas.

(20)

Anl¨aggningarnas restv¨arden vid avslutad produktion ¨ar i allm¨anhet f¨orsumbart sm˚a i j¨am- f¨orelse med ¨ovriga betalningar, men kan i vissa fall uppg˚a till beaktansv¨arda belopp. S˚a ¨ar fallet t.ex. om i anl¨aggningarna finns stora m¨angder v¨ardebest¨andiga material eller i st¨orre m¨angd standardutrustning, som inte i n¨amnv¨ard grad f¨orslites och som senare kan utnyttjas i andra anl¨aggningar. Restv¨ardet kan i allm¨anhet b¨ast uppskattas i vid kalkyltidpunkten g¨allande priser, vilka b¨or omr¨aknas till de priser som g¨aller vid den tidpunkt d˚a ifr˚agavarande anl¨aggning tas ur drift.

Alternativens int¨aktsstr¨ommar h¨arr¨or fr¨amst av produktens f¨ors¨aljning. En ¨ovre gr¨ans f¨or produktionsvolymen s¨atter anl¨aggningarnas maximala produktionskapacitet, ofta best¨amd av en s.k. tr˚ang sektion i produktionsmaskineriet. Ibland kan en begr¨ansad efterfr˚agan g¨ora, att hela produktionskapaciteten inte kontinuerligt kan utnyttjas. F¨or¨andringarna i produktionens storlek p˚a grund av avs¨attningssv˚arigheter samt till vilket pris produkten kan s¨aljas ¨ar fr˚agor som b¨ast utreds av expertis p˚a marknadsf¨oring.

De av driften f¨oranledda utgiftsstr¨ommarna utg¨ors av utbetalningar f¨or bl.a. r˚amaterial och energi, l¨oner, underh˚all och reparationer. D¨artill tillf¨ors varje projekt vissa administra- tionskostnader. Driftavbrott p˚a grund av haveri kan minska f¨ors¨aljningsint¨akterna genom produktionsbortfall och ¨oka reparationskostnaderna. Driftavbrotten kan nedbringas till antal och varaktighet t.ex. genom dubblering av v¨asentliga apprater och genom att uppr¨atta ett v¨alf¨orsett reservdelslager. Dessa ˚atg¨arder medf¨or dock i sin tur ¨okade anl¨aggningskostnader.

Anl¨aggningarnas ekonomiska livsl¨angd utg¨ors av den tidsperiod, under vilken man kan f¨orut- s¨atta att produktionen med dessa anl¨aggningar kan p˚ag˚a. En ¨ovre gr¨ans f¨or denna livsl¨angd s¨atter naturligtvis den tekniska livsl¨angden f¨or huvudmaskineriet, dvs. den tidsperiod som denna apparatur med rimligt underh˚all kan h˚allas i drift. Ofta ¨ar emellertid den ekonomiska livsl¨angden v¨asentligt kortare ¨an den tekniska livsl¨angden. Detta kan bero p˚a att nya pro- dukter med b¨attre egenskaper utvecklas, vilka p˚a marknaden konkurrerar ut den med ifr˚aga- varande anl¨aggning framst¨allda produkten, eller p˚a att v¨asentligt b¨attre produktionsmetoder utvecklas, vilket g¨or produktionen med ¨aldre metoder ol¨onsam. Ibland kan en begr¨ansad tillg˚ang p˚a r˚amaterial best¨amma den ekonomiska livsl¨angden.

I detta sammanhang kan det vara sk¨al att p˚apeka, att den i bokf¨oringen f¨orekommande avskrivningstiden f¨or anl¨aggningar endast har skatteteknisk betydelse och anger varken den tekniska eller den ekonomiska livstiden f¨or dess anl¨aggningar.

(21)

1.3.2.1. Pay-off metoden

Det ¨ar uppenbart att den ekonomiska livstiden i vissa fall kan vara sv˚ar att uppskatta. Det kan d˚a vara upplysande att ber¨akna den livstid som kr¨avs f¨or att ett investerat kapital med r¨anta p˚a r¨anta enligt kalkylr¨antefoten skall bli helt ˚aterbetalt. Speciellt om f¨oretagets kapitalbehov ¨overstiger tillg˚angen p˚a kapital kan det vara i f¨oretagets intresse att v¨alja s˚adana alternativ, som ger den kortaste ˚aterbetalningstiden f¨or kapitalet. F¨or att investeringen skall vara l¨onsam b¨or denna tid naturligtvis vara kortare ¨an den sannolika ekonomiska livstiden f¨or den anl¨aggning, i vilken man ¨amnar investera kapitalet. Detta s¨att att v¨alja mellan olika alternativ f¨or investeringar, vilka konkurrerar om ett begr¨ansat kapital kallas ˚atervinningstid- eller ”pay-off”-metoden. Observera emellertid att det p˚a l˚ang sikt kan vara l¨onsammare att v¨alja ett alternativ, som har en l¨angre ˚atervinningstid. Detta illustreras av exempel 1.9.

1.3.2.2. Internr¨antemetoden

Kalkylr¨antefoten spelar en viktig roll i ekonomiska ber¨akningar. Ifall f¨oretaget i fr¨amsta rum- met finansierar sin verksamhet med l˚anat kapital utg¨or den r¨antefot, enligt vilken f¨oretaget betalar r¨anta f¨or l˚an grund f¨or ber¨akningen av f¨oretagets kalkylr¨antefot. Om finansieringen sker med i huvudsak eget kapital ber¨aknas kalkylr¨antefoten utg˚aende fr˚an den avkastning som t.ex. aktie¨agare rimligen kan fordra i form av dividender. I detta fall kan kalkylr¨ante- fotens ber¨akning utg˚a fr˚an ett rimligt krav p˚a en reell r¨antefot, varvid allts˚a myntenhetens v¨ardef¨ors¨amring till f¨oljd av inflation beaktas. I vartdera fallet kan kalkylr¨antefoten justeras upp˚at f¨or att t¨acka skatter och f¨or att ge en viss marginal i form av en riskf¨ors¨akring.

Valet av kalkylr¨antefot ¨ar ett medel f¨or f¨oretagsledningen att p˚averka utvecklingen inom f¨oretaget. F¨or den tekniska personalen ¨ar den d¨arf¨or i regel p˚a f¨orhand best¨amd.

Vid j¨amf¨orelse av den ekvivalenta vinsten f¨or tv˚a investeringar f˚as olika stora belopp beroende p˚a vilken kalkylr¨anta som anv¨ands. Den ekvivalenta vinsten minskar med ¨okande kalkylr¨anta.

Den ekonomiska j¨amf¨orelsen kan ifall kalkylr¨antan inte ¨ar best¨amd ¨aven g¨oras p˚a basis av den r¨anta f¨or vilken den ekvivalenta vinsten ¨ar noll. Denna r¨anta kallas investeringens internr¨anta pi. Internr¨antan pi ges implicit av,

Vi(t0, pi) = 0 (1.3.3)

J¨amf¨orelse mellan tv˚a investeringsalternativ kan g¨oras p˚a basis av den ber¨aknade intern- r¨antan f¨or vardera investeringen. Den investering som ger den st¨orsta internr¨antan ¨ar att f¨oredra. Denna metod brukar kallas ”internr¨antemetoden”. F¨or l¨osning av internr¨antan kan subroutine BOLZAN (8) i appendix utnyttjas.

Exempel 1.8.

Ett f¨oretag m˚aste ers¨atta en i processen beh¨ovlig gammal reaktor med en ny. Enligt inbeg¨arda offerter kan tre alternativa reaktortyper komma ifr˚aga, vilka ¨ar likv¨arda ifr˚aga om kapacitet

(22)

och produktkvalitet. Anskaffningskostnaden inkl. montage, behovet av manuell arbetsinsats samt r˚amaterialbehovet ¨ar i de olika alternativen

alt.1 alt.2 alt.3

Anskaffningskostnad 40000 60000 100000 Euro Beh¨ovlig arbetsinsats 14000 10000 12000 Euro/ ˚ar R˚amaterial behov 3000 3000 3800 t/ ˚ar

L¨onekostnaden ¨ar nu i medeltal 20 Euro/ h och v¨antas stiga med 3 %/ ˚ar. Priset p˚a r˚amaterial

¨

ar nu 300 Euro/ t, vilket pris kan v¨antas sjunka med 2 %/ ˚ar. I samtliga alternativ kan reaktorernas ekonomiska livsl¨angd uppskattas till 8 ˚ar efter att de tagits i drift, vilket kan ske om ett ˚ar. Vilken reaktor skall best¨allas om f¨oretagets kalkylr¨antefot ¨ar 6 %/ ˚ar?

Exempel 1.9.

En v¨armev¨axlare i en produktionsanl¨aggning uts¨atts f¨or korrosion. D˚a den korrosiva milj¨on inte kan undvikas b¨or v¨armev¨axlaren f¨ornyas med j¨amna mellanrum. H¨arvid kan apparater av tv˚a olika material A och B komma ifr˚aga. V¨armev¨axlaren av material A kostar 14 000 Euro och kan ber¨aknas h˚alla 2 ˚ar medan den om den utf¨ors i materialet B kostar 24 000 Euro och d˚a kan ber¨aknas h˚alla 5 ˚ar. Investeringen i v¨armev¨axlaren ¨ar n¨odv¨andig f¨or att kunna h˚alla produktionen ig˚ang, varvid man kan r¨akna med en nettoinkomststr¨om lika med 24 000 Euro/ ˚ar under de n¨armaste 10 ˚aren. F¨oretagets kalkylr¨antefot ¨ar 6 %/ ˚ar. Ber¨akna

a) vilket alternativ som borde v¨aljas enligt en kalkyl med nuv¨ardesmetoden !

b) f¨or vartdera alternativet den kortaste ˚aterbelningstiden f¨or investerat kapital i v¨armev¨ax- laren, d˚a den n¨asta g˚ang b¨or f¨ornyas !

Exempel 1.10.

I en fabrik som producerar 400.000 t sulfatmassa/ ˚ar har man f¨or avsikt att bygga en s.k.

h¨ogtryckskausticeringsreaktor. Reaktorn skall placeras mellan kausticeringsk¨arlen och ekofil- tret enligt vidst˚aende figur. Avsikten med reaktorn ¨ar att h¨oja kausticeringsgraden p˚a vit- luten till massakoket. En reaktorleverant¨or har uppgivit att en reaktor med 1-2 timmars uppeh˚allstid h¨ojer kausticeringsgraden med 3 procentenheter vilket resulterar i att volym- str¨ommen vitlut till massakoket kan minskas med c:a 0,09 m3 vitlut / t massa. Priset f¨or en dylik reaktor uppges vara 24.000 Euro/ m3 och livstiden uppskattas vara mellan 5 och 15

˚ar. Best¨am internr¨antan f¨or investeringen d˚a energipriset uppskattas till 20 Euro/ GJ. En- dast det minskade ˚angbehovet till massakoket och det minskade indunstningsbehovet beh¨over beaktas. Temperaturen p˚a vitluten till massakoket ¨ar c:a 90C och massakokets temperatur

¨

ar 165 C. Vitlutens densitet ¨ar 1,18 t/ m3 och m¨angden vitlut f¨or massakoket ¨ar normalt c:a 2,4 m3/ t massa. Indunstningen ber¨aknas kr¨ava 460 MJ/ m3.

(23)

Figur 1.2 Schematisk bild ¨over kausticeringsanl¨aggningen i exempel 1.10

Figur 1.3 Blockschema f¨or kemikalierecirkulationen i en process f¨or produktion av sulfatmassa.

(24)

1.3.3. Ekonomisk optimering av kontinuerliga variabler

Ett ofta upptr¨adande problem ¨ar valet av optimala v¨arden ˚at kontinuerliga variabler. Det kan g¨alla val av driftsparametrar, t.ex. temperaturer, tryck eller koncentrationer, val av dimen- sioneringsv¨arden f¨or apparaten, t.ex. v¨armeytor i v¨armev¨axlare, eller best¨amning av tidsperi- oder mellan utbyte av f¨orslitna maskindelar eller tv¨attning av apparater som f¨ormutsas. Ofta

¨

ar dylika variabler sinsemellan beroende och man kan v¨anta sig att det finns en upps¨attning av ” b¨asta ” variabelv¨arden, vilka d˚a b¨or best¨ammas samtidigt.

Processernas ekonomiska resultat p˚averkas i allm¨anhet av hur dessa variablers v¨arden v¨aljs.

Det st˚ar i ¨overrensst¨ammelse med f¨oretagets ekonomiska m˚als¨attning att v¨alja den upps¨att- ning v¨arden f¨or variablerna, som ger f¨oretaget maximal vinst, f¨orutsatt naturligtvis att dessa v¨arden ¨aven ur andra synpunkter ¨ar godtagbara. Detta ekonomiska villkor skall s˚alunda anv¨andas som kriterium f¨or den b¨asta upps¨attningen parameterv¨arden.

I regel kan man ber¨akna eller uppskatta hur ifr˚agavarande variabler p˚averkar de betalningar och betalningsstr¨ommar, som upptr¨ader i den unders¨okta processen. Dessa betalningar och betalningsstr¨ommar kan d˚a uttryckas som funktioner av dessa variabler, antingen som matematiskt eller grafiskt givna samband. Utg˚aende fr˚an dessa betalningsfunktioner kan man h¨arleda en ekvivalent vinst p˚a det s¨att som beskrivs i avsnittet 1.3.1. Denna ekvivalenta vinst blir d˚a en funktion av de variabler, vilka skall best¨ammas s˚a att den ekvivalenta vinsten f˚ar ett maximum.

I specialfallet att en vinstfunktionV(t0, x) kan uttryckas som en analytisk funktion av endast en variabel x, vilken kan v¨aljas inom intervallet (x1;x2), kan den ekvivalenta vinsten n˚a sitt maximum antingen f¨or v¨ardetx1 eller v¨ardetx2 eller f¨or s˚adana v¨arden p˚ax, som ligger inom det stipulerade intervallet och ¨ar r¨otter till likheten

dV(t0, x)

dx = 0 (1.3.4)

Ifall dess r¨otter ¨ar xi medi = 3,4...n pr¨ovas vilket v¨arde V(t0, xi) medi = 1,2...nsom ¨ar st¨orst och tillh¨orande v¨arde p˚a variabeln x v¨aljes.

Ifall n˚agon betalningsfunktion som ing˚ar i V(t0, x) inte enkelt kan uttryckas i matematisk form utan t.ex. ¨ar grafiskt given kan vinstfunktionen inte deriveras f¨or att ge likheten (1.3.4).

Den kan emellertid i allm¨anhet ritas inom intervallet (x1;x2) i ett diagram och det v¨arde p˚a x, f¨or vilket V(t0, x) har sitt st¨orsta v¨arde inom detta intervall kan avl¨asas ur diagrammet.

Denna grafiska metod ¨ar naturligtvis anv¨andbar ¨aven om vinstfunktionen kan uttryckas som en matematisk funktion. Ett diagram ¨over funktionen V(t0, x) visar dessutom ¨oversk˚adligt hur starkt beroende den ekvivalenta vinsten ¨ar av variabelnx.

(25)

D˚a den ekvivalenta vinsten ¨ar beroende av flera variabler, speciellt om de ¨ar flera ¨an tv˚a och sinsemellan beroende, blir en grafisk best¨amning av de optimala variabelv¨ardena mindre

¨

oversk˚adlig och arbetsdryg. ¨Aven en analytisk best¨amning av optimiv¨ardena leder ofta till ett stort r¨aknearbete, emedan antalet kombinationer av variabelv¨arden, f¨or vilka maximum f¨or vinstfunktionen kan intr¨affa, ¨okar snabbt med antalet variabler.

Utom de r¨otter till ekvationssystemet med n ekvationer

∂V(zk)

∂zk

= 0 k = 1,2...n (1.3.5)

d¨ar samtliga r¨otter ligger inom resp. valbarhetsintervall f¨or variablerna zk, kan alla 2n kom- binationer f¨or variablernas intervallgr¨anser ge maximum f¨or V(to,z1,z2...zn). Vidare kan maximum f˚as f¨or v¨arden, som ligger vid intervallgr¨ansen f¨or n˚agon eller n˚agra variabler men inne i valbarhetsintervallet f¨or andra variabler.

I s˚adana fall, d˚a en analytisk eller grafisk l¨osning inte n˚as med rimlig m¨angd r¨aknearbete kan man till¨ampa numeriska optimeringsmetoder f¨or att finna optimipunkten. I appendix ges tv˚a algoritmer f¨or numerisk optimering (minimering) av en godtycklig olinj¨ar funktion i flera variabler utan bivillkor, Fletcher & Powells metod samt Powells metod. Metoderna baserar sig p˚a kvadratisk approximation av den aktuella funktionen och konvergerar p˚a ett iterationsvarv ifall ¨aven den unders¨okta funktionen ¨ar kvadratisk. F¨or icke kvadratiska funktioner kr¨avs ett st¨orre antal iterationer f¨or att erh˚alla l¨osningen. F¨or godtyckliga funktioner kan inte heller konvergens garanteras och f¨or funktioner med flera lokala optima erh˚alles som l¨osning (ifall en s˚adan uppn˚as) endast ett lokalt optimum. Lokalt optimum uppn˚as i ”normala” fall med f¨arre ¨an 100 funktionsber¨akningar f¨or vardera algoritmen ifall antalet variabler ¨ar f¨arre ¨an 20. F¨or att delvis l¨osa problemet med lokala optima kan optimeringsproceduren startas med olika initialv¨arden p˚a de s¨okta variablerna.

Den f¨orra metoden utnyttjar analytisk gradientinformation f¨or l¨osning av optimeringsprob- lemet medan den senare metoden inte fordrar explicit gradientinformation f¨or l¨osning av opti- meringsproblemet. Algoritmerna som ges i appendix g˚ar under namnen FMFP och POWELL (8),(9). I appendix ges vidare en optimeringsmetod MARQDT (8) som l¨oser optimum f¨or en speciell typ av kvadratisk kriteriefunktion under allm¨anna bivillkor samt en algoritm som l¨oser optimum f¨or linj¨ara funktioner under linj¨ara bivillkor LINMIN (8).

I vissa fall ¨ar de begr¨ansande villkoren f¨or hur variablerna f˚ar v¨aljas beroende av varandra, varvid valbarhetsintervallen ers¨attes med bivillkor i form av en eller flera ekvationer. D˚a kan den matematiska behandlingen f¨orenklas om man utnyttjar Lagranges multiplikatorer.

F¨or vissa typer av bivillkor (t.ex. max och min gr¨anser f¨or variablerna) kan ¨aven s.k.

strafffunktioner utnyttjas vid l¨osningen av optimeringsproblemet. I fall d˚a variablerna zk

(26)

¨

ar begr¨ansade inom ett visst intervall kan t.ex. f¨oljande straffunktion utnyttjas, S(z1, z2, ..., zn) =

n k=1

Sk,0

(2zk−zk,max−zk,min

zk,max−zk,min

)m

(1.3.6)

d¨ar m ¨ar ett j¨amnt heltal och Sk,0 konstanter som kan uppskattas ur, Sk,0 =|∂V(zk)

∂zk |gr¨ans

zk,max−zk,min

2m (1.3.7)

Straffunktionen adderas till den ursprungliga funktionen V(zk) varvid den sammanslagna funktionen W(z1, z2, ..., zn) minimeras.

z1,zmin2,...,zn{W(z1, z2, ..., zn) =V(z1, z2, ..., zn) +S(z1, z2, ..., zn)} (1.3.8) I andra fall kan den ekvivalenta vinsten - eller n˚agon annan storhet vars v¨arde skall optimeras - uttryckas som en linj¨ar funktion av de valbara variablerna. Hur dessa f˚ar v¨aljas kan ˚ater vara begr¨ansat av linj¨ara likheter eller olikheter. ¨Ar de oberoende variablerna f˚a ¨ar best¨amningen av optimipunkten ett trivialt problem, men antalet m¨ojliga kombinationer stiger snabbt med antalet variabler. Optimum f¨or en linj¨ar funktion med linj¨ara bivillkor kan l¨osas med linj¨ar programmering. I vissa fall kan ¨aven minimum f¨or en linj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor eller minimum f¨or en olinj¨ar funktion med olinj¨ara bivillkor l¨osas med en algoritm f¨or linj¨ar programmering. I det f¨oljande avsnittet skall vi n¨armare studera n˚agra problemst¨allningar som kan l¨osas med linj¨ar programmering. I appendix ges ett datorprogram LINMIN f¨or l¨osning av linj¨arprogrammeringsproblem med den s.k. 2-fas SIMPLEX metoden. Detta program liksom ¨aven de ¨ovriga programmen i appendix finns beskrivna i programbiblioteket CHEEP, Westerlund (8).

Dynamisk programmering ¨ar en speciell metod f¨or best¨amning av optimala v¨arden f¨or vari- abler i s˚adana system, som kan delas upp i flera steg inom vilka ett mindre antal av vari- ablerna kan isoleras. Den matematiska proceduren till˚ater en optimering inom varje steg skilt f¨or sig med beaktande av g¨allande bivillkor, f¨or att efter slutf¨ord ber¨akning ge en upps¨attning v¨arden p˚a de valbara variablerna, vilka leder till ett totalt optimum, t.ex. ett maximum f¨or en vinstfunktion.

En n¨armare genomg˚ang av de mera avancerade metoderna f¨or ber¨akning av optima och de v¨arden p˚a oberoende variabler f¨or vilka dessa optima erh˚alles faller utanf¨or ramen f¨or denna kurs. N˚agot utf¨orligare introduktioner till dessa metoder ges av bl.a. Rao (6), Taha (7) och Peters & Timmerhaus (1).

Exempel 1.11.

En apparat som arbetar vid h¨og temperatur skall v¨armeisoleras. Isoleringens pris ¨ar (4 +

s

cm)·1600 Euro, d¨ar s ¨ar isoleringens tjocklek. Kostnaderna f¨or v¨armef¨orlusterna ber¨aknas vara 6000 Euro/ ˚ar d˚a isoleringstjockleken ¨ar 5 cm och kan antas vara indirekt proportionella med isoleringstjockleken. Denna b¨or vara minst 2 cm f¨or att dess yttemperatur inte skall bli f¨or h¨og men kan p˚a grund av utrymmesbrist inte g¨oras st¨orre ¨an 10 cm. Ber¨akna den

(27)

f¨ordelaktigaste isoleringstjockleken om apparaten skall vara i drift under a) 5 ˚ar,

b) 15 ˚ar och kalkylr¨antefoten ¨ar 6 %/ ˚ar !

Exempel 1.12.

Totala effektbehovet f¨or en N-stegs kompressor med mellankylning efter varje steg ges av, Ptot,N = m˙

ηmηad ( N

i=1

(h(pi, Ti)−h(pi1, T0)) )

d¨ar Ti ges av,

s(pi, Ti) =s(pi1, T0)

Best¨am trycken p1, p2, ..., pN1 s˚a att energikostnaderna f¨or kompressionen minimeras. ˙m, T0, p0, pN, N, ηm, ηad, uttryck f¨or specifik entalpi och entropi samt energipriset ¨ar givna.

Uppg¨or ett huvudprogram samt l¨ampligt underprogram f¨or l¨osning av optimeringsproblemet med n˚agon av de numeriska optimeringsmetoder som ges i appendix.

1.4. Produktionsplanering

I industriell verksamhet ¨ar det vanligt att man har frihetsgrader vid f¨orverkligandet av den tekniska m˚als¨attningen. D.v.s. samma tekniska m˚als¨attning kan uppn˚as med ett flertal olika strategier. Vid glas- eller cementframst¨allning kan ofta samma kemiska sammans¨attning

˚astadkommas genom olika matningar av r˚amaterial. Man har d˚a flera r˚amaterial ¨an det n¨odiga antalet f¨or att ˚astadkomma en best¨amd kemisk sammans¨attning.

Vidare kan t.ex. vid pumpning av sanitetsvatten (eller varmt vatten i ett fj¨arrv¨armesystem) finnas flera pumpstrategier f¨or att fylla olika stadsdelars vattenbehov.

I dylika fall ¨ar det naturligt att v¨alja det alternativ som ¨ar ekonomiskt mest f¨ordelaktigt. I det f¨oljande skall vi unders¨oka tv˚a typer av problemst¨allningar och metoder f¨or l¨osning av dylika produktionsplaneringsproblem.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Att ins¨attning av detta uttryck i funktionen V −1 inte p˚ averkar det maximala antalet nollst¨allen inser man l¨att enligt f¨oljande: funktionen V −1 ¨ar en

I de enklare fallen ¨ ar det antingen sj¨ alvklart vad gr¨ ansv¨ ardet ¨ ar, eller s˚ a kan man med framg˚ ang anv¨ anda r¨ akneregler f¨ or gr¨ ansv¨

betraktas som tidigare verksamhet bland annat att sökanden eller personen under de två senaste åren har fått ett tillstånd som avses i alkohollagen permanent återkallat eller

Vårdledigheten kan dock även ses som ett alternativ för föräldrar som inte har andra alternativ, bland annat för mammor som inte har någon arbetsplats att återvända till

I propositionen föreslås att vid rivning av ett hyreshus som befinner sig i ett område med minskande befolkning och som råkat i betydande ekonomiska svårigheter på grund av

Om man sedan p˚ a n˚ agon s¨ att ordnar de valda f¨ orem˚ alen eller l˚ adorna i det inte ordnade fallet har

Om det kommer i genomsnitt 9 patienter i timmen s˚ a kan vi r¨ akna med att v¨ antev¨ ardet av antalet patienter under 12 timmar ¨ ar 9 · 12 = 108 och vi kan som nollhypotes

I de enklare fallen ¨ ar det antingen sj¨ alvklart vad gr¨ ansv¨ ardet ¨ ar, eller s˚ a kan man med framg˚ ang anv¨ anda r¨ akneregler f¨ or gr¨ ansv¨ arden.... Derivatan ¨