Matriisiteoria
Harjoitus 4, kevät 2007
1. OlkoonA:V →V lineaarinen kuvaus. Osoita, että jos jollakin vektorillax0 ∈V (x0 6= 0) pätee
Ax0 =λx0,
jollakin λ∈K, niin aliavaruus S=L{x0} on A-invariantti.
2. Määrää matriisin
A=
8 2 −2 3 3 −1 24 8 −6
karakteristinen polynomi (i) laskemalladet(λI−A) ja
(ii) laskemalla matriisin Apääminorit (Lause 3.14).
Määrää matriisinAspektri σ(A) ja ominaisvektorit.
3. Olkoon matriisiA∈Cn×n. Osoita, että seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
(a) Aon unitaarinen;
(b) (Ax|Ay) = (x|y) kaikillax, y∈Cn;
(c) matriisin Apystyrivit ovat ortonormaaleja;
(d) matriisin Avaakarivit ovat ortonormaaleja.
(Vihje. Laske kohdissa (c) ja (d) matriisienA∗AjaAA∗ (i, j)-alkiot ja tulkitse sisätulon avulla.)
4. Olkoon matriisiA∈Cn×nunitaarinen. Osoita, että|λ|= 1matriisinAjokaiselle ominaisarvolle λ∈C. Osoita lisäksi, että|detA|= 1.
5. Osoita, että josA∈Kn×non hermiittinen (ts.A∗ =A) ja positiivisesti deniitti (ts.x∗Ax >0kaikillax∈Kn\ {0}), niin detA >0.
(Vihje. Tarkastele ominaisvektoreita.)
6. Osoita, että hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja erisuuria omi- naisarvoja vastaavat ominaisvektori ovat keskenään ortogonaaliset.
(Vihje. Osoita aluksi, ettäλ=λ kaikilla ominaisarvoillaλ.)
7. Olkoon T:V → V lineaarinen kuvaus, missä dimV = n. Oletetaan, että S ⊆ V on sellainen T-invariantti aliavaruus, että dimS = r. Osoita, että tällöin lineaarisen kuvauksen T matriisi Avoidaan esittää muodossa
A=
"
A1 B 0 A2
# ,
missä matriisitA1∈Kr×r jaA2∈K(n−r)×(n−r).
(Vihje. Esitä V muodossa S ⊕S0. Huomaa, että S0 ei ole välttämättä T- invariantti.)
Huom. YlläV on äärellisulotteinenK-kertoiminen vektoriavaruus.
Tehtävät 6 ja 7 ovat pistetehtäviä.
