Joulukuun 2012 Helpommat Kirjevalmennustehtävät.
Vastauksia tehtäviin voi lähettää sähköpostilla osoitteeseen aleksis.koski@helsinki., tai postitse osoitteeseen Aleksis Koski, Helsinginkatu 19 A 36, 00500 Helsin- ki. Kysymyksiä tehtävistä voi lähettää sähköpostitse.
1. Positiiviset reaaliluvut a, b, c, dtoteuttavat yhtälöryhmät
a3+b3+c3= 3d3 b4+c4+d4= 3a4 c5+d5+a5= 3b5. Osoita, että a=b=c=d.
2. Olkoon 53 erisuuruista kolminumeroista positiivista kokonaislukua annet- tu. Osoita, että lukujen joukosta löytyy kolme, joiden numeroiden summa on sama.
3. Etsi kaikki funktiot f :R→R, joille
f(f(x)) +f(f(y)) = 2y+f(x−y) kaikilla x, y∈R.
4. Tason jokainen piste väritetään joko siniseksi tai punaiseksi. Voidaanko väritys tehdä niin, että jokaisella 1-säteisellä ympyrällä on tasan yksi sininen piste? Entä tasan kaksi sinistä pistettä?
5. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutn≥3joilla on seuraava ominaisuus.
Kaikkin:n alkion aritmeettiset jonota1, a2, . . . , an, joilla lukua1+2a2+· · ·+
nan on rationaalinen, sisältävät ainakin yhden rationaalisen jäsenen.
6. Olkoon R+ positiivisten reaalilukujen joukko. Etsi kaikki funktiot f :R+→R+ siten, että
(f(a) +f(b))(f(c) +f(d)) = (a+b)(c+d) kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a, b, c, d,joille abcd= 1.
7. Tasakylkisessä kolmiossa ABC kulmaBAC on lisäksi suora. Piste Don sivullaBC siten, ettäBD= 2·CD. PisteE on pisteenB projektio suoralla AD. Selvitä kulma∠CED.
8. Osoita, että lauseke
syt(m, n) n
n
m
on kokonaisluku kaikilla positiivisten kokonaislukujen pareilla (m, n), missä n≥m≥1.
9. Olkoot a, b, c ja dreaalilukuja. Osoita, että pienin luvuista a−b2, b−c2, c−d2, ja d−a2
on pienempi tai yhtä suuri kuin 14.
10. PolynomillaP(x) =xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+ 1onnreaalista juurta.
Lisäksi kertoimet a1, . . . , an−1 ovat epänegatiivisia. Osoita, ettäP(2)≥3n.
1
