Lokakuun 2012 vaikeat kirjevalmennusteht¨av¨at
Vastauksia voi l¨ahett¨a¨a s¨ahk¨opostilla osoitteeseen laurihallila@gmail.com, tai postitse osoitteeseen Lauri Hallila, Kalliorinteenkuja 1, 02770 Espoo. Vastaukset voi my¨os tuoda viikon 48 valmennustilaisuuteen P¨aiv¨ol¨a¨an. Kysymyksi¨a teht¨avist¨a voi esitt¨a¨a s¨ahk¨opos- titse.
1. Ratkaise yht¨al¨o
(x2+y2−4)2(xy−1)2+
y2−x2 = 0 reaalilukujen joukossa.
2. Etsi suurin kokonaisluku n, n >10, jolla on seuraava ominaisuus: kun njaetaan mill¨a tahansa neli¨oluvulla lukujen 2 ja n/2 v¨alill¨a, jakoj¨a¨ann¨os on pariton kokonaisluku.
3. Olkoon n positiivinen kokonaisluku, ja p(n) luvun n numeroiden tulo.
(a) Osoita, ett¨a p(n)≤n.
(b) Etsi kaikki sellaiset luvutn, ett¨a
10p(n) =n2+ 4n−2005. 4. (a) Olkoot u, v, x, y positiivisia reaalilukuja. Osoita, ett¨a
u x + v
y ≥ 4(uy+vx) (x+y)2 . (b) Olkoot a, b, c, d positiivisia reaalilukuja. Osoita, ett¨a
a
b+ 2c+d + b
c+ 2d+a + c
d+ 2a+b + d
a+ 2b+c ≥1. 5. Osoita, ett¨a positiivisille reaaliluvuille a, b, c p¨atee
a+b
c2 + b+c
a2 + c+a b2 ≥2
1
a + 1 b + 1
c
. 6. Olkoon a ja bkokonaislukuja. Osoita, ett¨a:
(a) 13 jakaa tasan luvun 2a+ 3b jos ja vain jos 13 jakaa my¨os luvun 2b−3a;
(b) Jos 13 jakaa tasan luvun a2 +b2, niin 13 jakaa my¨os joko luvun 2a+ 3b tai luvun 2b+ 3a.
7. Olkoon x1, x2, . . . , xn positiivisia reaalilukuja. Osoita, ett¨a 1
1 +x1 + 1
1 +x1+x2 +· · ·+ 1
1 +x1+· · ·+xn <
1
x1 + 1
x2 +· · ·+ 1 xn. 8. M¨a¨arit¨a yht¨al¨on
3x = 2xy+ 1 positiiviset kokonaislukuratkaisut.
2 9. Mill¨a lukujen k ja d arvoilla yht¨al¨oparilla
x3+y3 = 2 y=kx+d
ei ole reaalilukuratkaisuja (x, y)?
10. Kuinka monella kokonaisluvulla a, miss¨a |a| ≤2005, yht¨al¨oparilla x2 =y+a
y2 =x+a on kokonaislukuratkaisuja?
