Matematiikan kirjevalmennus, helpompi sarja, joulukuu 2016
Ratkaisuja voi lähettää osoitteeseen laurihallila@gmail.com tai Lauri Hallila, Jussaarenkuja 5 J 104, 00840 Helsinki
1. Todista, että josa,b ja covat sellaiset reaaliluvut, että a2+b2+c2 = 1, niin
−1
2 ≤ab+bc+cd≤1.
2. Olkoonai ≥1 kaikillei= 1, . . . , n. Osoita, että
(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)≥ 2n
n+ 1(1 +a1+a2+· · ·+an).
3. Olkoota, bja c positiivisia reaalilukuja. Osoita, että
aabbcc≥(abc)a+b+c3 . 4. Etsi kaikki funktiotf :R→R, jotka toteuttavat ehdon
f(f(x−y)) =f(x)−f(y) +f(x)f(y)−xy.
5. Etsi kaikki funktiotf :Q→Q, joille pätee
f(x+y) +f(x−y) = 2f(x) + 2f(y)
kaikille x, y ∈Q.
6. Osoita, että jos yhtälölläx3+px2+qx+r= 0 on kolme toisistaan eroavaa nollakohtaa, niin p2 ≥3q.
7. Ratkaise yhtälö
4z11+ 4z10−21z9−21z8+ 17z7+ 17z6+ 17z5+ 17z4−21z3−21z2+ 4z+ 4 = 0.
8. Ratkaise yhtälö
x4+a4−3ax3+ 3a3x= 0.
9. Olkoon ABC kolmio. Piirretään neliöt, joiden sivut ovat AB, BC ja AC, suunnattuna kol- miosta ulospäin, ja olkoon näiden neliöiden keskipisteetC0, A0 jaB0 (samassa järjestyksessä).
Todista, että suorat CC0, AA0 ja BB0 leikkaavat toisensa samassa pisteessä.
10. Olkoon kolmion ABC kulman A kulmanpuolittaja AD, missä D on sivulla BC. Olkoon M janan AD keskipiste. Lisäksi BM leikkaa sivun AC pisteessä p. Tiedetään, että ABAC = qp (p, q ∈ Z+), missä s.y.t.(q, p) = 1 ja CPP A = mn, m, n ∈ Z+, s.y.t.(m, n) = 1. Ilmaise m+n lukujenp ja q avulla.
