Matematiikan olympiavalmennus: valmennustehtävät, helmikuu 2020 Helpommatkin tehtävät ovat vaikeampia kuin
koulutehtävät, eikä ole oletettavaa että niitä pys- tyisi ratkomaan ilman vaivannäköä.Sinnikäs yrit- täminen kannattaa. Vaikka tehtävää ei saisi val- miiksi asti tehtyä, sitä pitkään miettinyt oppii malliratkaisuista enemmän. Helpommissakin teh- tävissä olennaista on kirjoittaa perustelut eikä vain laskea lopputulosta esim. laskimella.
Olemme hyvin tietoisia siitä, että netissä on mo- nenlaisia lähteitä, joista ratkaisuja voi löytää –
https://aops.com ja https://math.stackexchange.com
lienevät tunnetuimpia. Näiden käyttäminen ei ole haitaksi ja niistä voi oppia paljonkin, mutta suo- sittelemme yrittämään ensin itse. Myös tehtä- vien pohtiminen muiden valmennettavien kanssa, jos siihen tarjoutuu tilaisuus, lienee opettavaista.
Kuuleman mukaan ainakin Maunulassa on järjes- tetty ryhmäratkomistilaisuuksia.
Tehtäviin pujahtaa joskus virheitä. Havaituista virheistä kerrotaan valmennuksen sivulla
https://matematiikkakilpailut.fi/valmennus/. Ratkaisuja toivotaan 3.4.2020 mennessä henkilö- kohtaisesti ojennettuna tai sähköpostitse. Hel- pommat tehtävät: npalojar@abo.fi, vaativammat:
olli.jarviniemi@gmail.com.
Joukkuevalinnat perustuvat kokonaisharkintaan, jossa otetaan huomioon palautetut tehtävät ja menestyminen kilpailuissa ja valintakokeissa.
Huomioi tietosuojalauseke:
https://matematiikkakilpailut.fi/tietosuoja/
Helpompia tehtäviä
Parissa seuraavista tehtävistä saattaa olla hyötyä, jos on tutustunut äärettömän laskeutumisen peri- aatteeseen tai niin kutsuttuun ”Lifting the exponent’’-lemmaan.
1. Kuinka moni luvun 3positiivisista, parillisista monikerroista on neliöluku ja pienempi kuin2020?
2. Määritellään
P(x) = (x−12)(x−22)· · ·(x−1002).
Kuinka monella kokonaisluvullanpäteeP(n)≤0?
3. Etsi yhtälönx3+ 2y3= 4z3 kaikki ei-negatiiviset kokonaislukuratkaisut.
4. Ympyrä, jonka halkaisija on AB, leikkaa vinoneliön ABCD sivunBC pisteessäK. Ympyrä, jonka halkaisija on AD, leikkaa vinoneliön ABCD sivunCD pisteessä L. Jos on ∠AKL= ∠ABC, niin osoita, että vinoneliönABCD kulmista kaksi ovat60◦ ja kaksi120◦.
5. Etsi kaikki alkuluvutp, joita kohti on olemassa positiiviset kokonaisluvutx, y jan, joilla pätee x3+y3=pn.
6. Millea∈Rpolynominx2−(a−2)x−a−1nollakohtien neliöiden summa on pienin mahdollinen?
7. Polynomin x3+px2+qx+r juuret ovatx1, x2, x3, missäp, q, r∈Rovat kiinnitettyjä reaalilukuja.
Etsi polynomi, jonka juuret ovat x21,x22jax23.
8. Olkoonppositiivinen reaaliluku. Ratkaise reaalilukujen joukossa yhtälö
√p+x+√
p−x=x.
9. Olkoona1, a2, . . . , an positiivisten reaalilukujen jono. Todista, että jollakink:n arvolla on k(k+ 1)
ak
>
n
X
i=1
1 ai
.
10. Olkoot a, bjacpositiivisia reaalilukuja. Todista, että a3+b3+c3+ 15abc≤2(a+b+c)(a2+b2+c2).
11. Matemaattisessa kokouksessa onn >3matemaatikkoa kolmesta eri maasta. Kokouksen aikanameri matemaatikkoparia keskustelee, missä 6m < n2−3n. Todista, että kokouksessa on samasta maasta saapuneiden matemaatikkojen pari, joka ei keskustele.
12. OlkootAA1jaCC1teräväkulmaisen kolmionABCkorkeusjanoja. SivultaACvalitaan sellainen piste K, että jananA1Kkeskipiste on korkeusjanallaCC1ja jananC1Kkeskipiste on korkeusjanallaAA1. Todista, että∠ABC≥60◦.
13. Kuinka monta hilapistettä (pistettä, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja) on origokeskisen pallon pinnalla, kun pallon säde on 30?
Vaativampia tehtäviä
14. Olkoon ABCDEF kuusikulmio, jonka kärkipisteet ovat ympyrän kehällä ja jolle AB=BC,CD= DE jaEF =AF. Osoita, että janatAD,BE jaCF leikkaavat samassa pisteessä.
15. OlkoonO teräväkulmaisen kolmionABC ympärysympyrän keskipiste. OlkootD,EjaF kärjistäA, B jaCpiirrettyjen korkeusjanojen kantapisteet ja olkoonM jananBCkeskipiste.X on janojenAD jaEF leikkauspiste,AOleikkaa janaaBCpisteessäY jaZ on jananXY keskipiste. Osoita, ettäA, Z jaM ovat samalla suoralla.
16. OlkoonIkolmionABCsisäympyrän keskipiste. OlkoonKse piste kolmionABCympärysympyrällä, jolla ∠AKI = 90◦. OlkoonD kolmion ABC sisäympyrän sivuamispiste janan BC kanssa ja olkoon M suoran AI leikkauspiste kolmion ABC ympärysympyrän kanssa. Osoita, että K, D ja M ovat samalla suoralla.
17. Olkoon A = (a1, a2, . . . , a2020) positiivisten kokonaislukujen jono. Olkoon m niiden kolmialkioisten osajonojen (ai, aj, ak)lukumäärä, joille 1≤i < j < k≤2020,aj =ai+ 1ja ak =aj+ 1. Mikä on suurin mahdollinenm:n arvo, kunA voi olla mikä tahansa oletukset täyttävä jono?
18. Kutsutaan k-klikiksi sellaistak:n henkilön joukkoa, jossa jokainen kahden henkilön pari tuntee toi- sensa. Eräiden juhlien osanottajista (joita on enemmän kuin kaksi) jokainen kahden 3-klikin pari sisältää ainakin yhden yhteisen henkilön, eikä 5-klikkejä ole. Todista, että juhlissa on sellaiset kaksi henkilöä, että heidän poistuttuaan ei ole jäljellä yhtään 3-klikkiä.
19. Kolmen ei-negatiivisen kokonaisluvun x < y < z sanotaan muodostavan historiallisen joukon, jos {z−y, y−x}={1917,2020}. Osoita, että kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko voidaan esittää pareittain erillisten historiallisten joukkojen yhdisteenä.
20. Etsi kaikki sellaiset äärelliset lukujonot(x0, x1, . . . , xn), että kaikillaj,0≤j≤n, lukuxjon luvunj esiintymien lukumäärä jonossa.
21. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Nollien ja ykkösten jono ontasapainoinen, jos siinä on nnollaa ja n ykköstä. Kaksi tasapainoista jonoaa ja b ovat naapureita, josb saadaan a:sta siirtämällä yksi jonon alkio eri paikkaan. Esimerkiksi josn= 4, jonot01101001ja00110101ovat naapureita, koska jälkimmäinen saadaan edellisestä siirtämällä yksi nolla jonon alkuun. Todista, että on olemassa sellai- nen tasapainoisten jonojen joukkoS, ettäS:ssä on enintään n+11 2nn
jonoa ja jokainen tasapainoinen jono joko kuuluuS:ään tai sillä onS:ään kuuluva naapuri.
