Kilpailutehtäviä geometriasta

(1)

Solmu 1/2014 1

Kilpailutehtäviä geometriasta

Heikki Pokela Tapiolan lukio

Edellisten tehtävien (Solmu 2/2013) rat- kaisuja

Baltian tie -joukkuematematiikkakilpailussa kysyttiin seuraavaa funktionaalitehtävää. Tehtävä on siis vuodel- ta 1992, kuten tehtävänannosta saattaa päätellä.

Olkoona= ¹⁹⁹²√

1992. Kumpi luvuista

a^a^..

.a

vai 1992

on suurempi? Yhtälön vasemmalla puolella on 1992 kappalettaa-kirjaimia.

Ratkaistaan tehtävä sisäkkäisten funktioiden avulla.

Merkitään f(x) = a^x, joka on eksponenttifunktio- na kasvava, sillä kantaluvuksi tässä määritelty a =

1992√

1992> 1. 1992 > ¹⁹⁹²√

1992, joten kasvavuudesta seuraaf(1992)> a (jaf(1992) = 1992). Nyt saadaan pääteltyä, että

1992 =f(f(f(. . . f(1992). . .)))

| {z }

1992 kpl

> f(f(f . . . f(a). . .)) =a^a^..

.a

,

joten 1992 on suurempi.

Pohjoismaisessa matematiikkakilpailussa vuonna 1991 ensimmäisenä tehtävänä kysyttiin seuraavaa. Myös täs- sä vuosiluku on mukana tehtävänannossa, eikä sillä ole

olennaista merkitystä ratkaisun rakenteeseen – joskus toki voi olla.

Määritä luvun

2⁵+ 2⁵²+ 2⁵³+. . .+ 2⁵¹⁹⁹¹

kaksi viimeistä numeroa, kun luku kirjoitetaan kym- menjärjestelmässä.

Vaikka tehtävässä on kysymys usean luvun summan numeroista, lienee syytä aloittaa tarkastelemalla yksit- täisten 2⁵^k-termien viimeisiä numeroita. Helposti näh- dään, että termi on 32, jos k = 1, ja pienen laskemi- sen jälkeen havaitaan termin päättyvän numeroihin 32 myös, kun k = 2. Voidaan siis epäillä tämän olevan totta kaikillak:n arvoilla. Todistetaan induktiolla: kun k = 1, 2⁵¹ = 32. Seuraavaksi oletetaan, että 2⁵^k on muotoa 100r+ 32. Silloin

2⁵^k+1= (2⁵^k)⁵= (100r+ 32)⁵= 100s+ 32⁵. Viimeinen yhtäsuuruus edellisessä tulee binomikaavas- ta, sillä avattaessa sulkulauseke kaikissa muissa ter- meissä paitsi viimeisessä (32⁵) luku 100 on vähintään yhden kerran tekijänä. Tarkastellaan viimeinen termi muodossa (30 + 2)⁵, jolloin saadaan

30⁵+ 5·30⁴·2 + 10·30³·4

+ 10·30²·8 + 5·30·16 + 32 = 100t+ 32.

Luvutr,sjat ovat positiivisia kokonaislukuja. Induk- tio on valmis. Koska tehtävänannon summassa jokai- sen termin viimeiset numerot ovat 32, summan kaksi

(2)

2 Solmu 1/2014

viimeistä numeroa saadaan lukujen 1991 ja 32 tulosta eli viimeiset kaksi numeroa summassa ovat 12.

Lukuteorian aihealueelta kilpailuissa induktio ja kong- ruenssin laskusäännöt ovat ehkä useimmin tarpeen.

Myös parillisuus, alkulukujen ominaisuudet ja Fer- mat’n pieni lause kuuluvat perustyövälineistöön.

Kilpailugeometrian alkeita

Geometrialla on matematiikkakilpailuissa vankka ase- ma. Useiden maiden opetussuunnitelmissa tasogeomet- rian väittämien todistamiseen panostetaan huomatta- vasti suomalaista (nyky)koulujärjestelmää enemmän.

Tasogeometriaa pidetään edelleen verrattomana kou- lumatematiikan osa-alueena, jolla pohjustetaan matematiikan rakenteiden ymmärtämistä.

Pitkän matematiikan kurssilla 3 tutustutaan kehäkul- mien perusominaisuuksiin, jotka oletetaan tässä tunne- tuiksi. Osa aktiivisista lukiolaisista on opiskellut aihe- piiriä jo yläkoulussa. Osoitetaan jatkoa varten kolmion minkä tahansa kulman yhtäsuuruus viereisen kulman ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän tangentin välille.

Kehäkulmatarkastelun perusteella kolmion ABC kulma ∠ACB = ∠ADB, missä D on valittu kehältä si- ten, että janaDB on ympyrän halkaisija. Tällöin kol- mioADBon suorakulmainen ja pisteeseenB piirretty ympyrän tangentti on kohtisuorassa jananDB kanssa.

Koska ∠DBA = ^π₂ −∠ADB, janan AB ja tangentin välinen kulma on oltava yhtä suuri kuin ∠ADB – ja yhtä kuin∠ACB.

Pisteen potenssi on paitsi hyödyllinen työkalu tasogeo- metrian tehtävissä myös melko helppo johtaa. Piirre- tään ympyrän ulkopuolisesta pisteestäP tangentti ym- pyrälle. Merkitään tangenttipistettäA:lla ja piirretään lisäksi pisteestäP jana mielivaltaiseen ympyrän pistee- seenB. Merkitään janan ja ympyrän toista leikkauspis- tettäC:llä.

Tangenttikulmalle pätee edellisen perusteella∠CBA=

∠CAP, joten kolmiot P AB ja P CAovat yhdenmuo- toisia (kk). Vastinsivujen verrannosta

P C P A = P A

P B saadaanP A²=P C·P B.

MAOL-alkukilpailun 2013 välisarjan geometrian tehtävä

Lukion toisen vuosikurssin oppilaiden sarjassa neljän- tenä tehtävänä oli varsin perinteinen ympyräoppiin liit- tyvä ongelma.

Kolmiolle ABC pätee AB < AC. Olkoon tämän kol- mion ympäri piirretty ympyrä S. Pisteestä A piirret- ty kohtisuora janalleBCkohtaa ympyrän S uudestaan pisteessäP. PisteXsijaitsee janallaAC, ja jananBX jatke kohtaa ympyrän S pisteessä Q. Osoita, että jos BX =CX, niinP Q on ympyrän S halkaisija.

Ehto BX = CX tekee kolmiosta BXC tasakylkisen, joten∠XCB=∠XBC =∠CAQ, missä viimeisin yh- täsuuruusmerkki saadaan kehääCQvastaavista kehä- kulmista. Samankohtaisista kulmista voimme päätellä,

(3)

Solmu 1/2014 3

että BC k AQ. Koska jana AP on kohtisuorassa ja- naaBCvastaan, kulman∠P AQon myös oltava suora.

Suorakulmaisena kolmionaAP Q:n hypotenuusaP Qon välttämättä ympyrän halkaisija.

Geometriaa Lähi-idästä

Kolmion ABC kulman ∠BAC puolittaja kohtaa sivun BC pisteessäD. Oletetaan, että ympyräS, jonka tan- gentti on janaBCpisteessäD, kulkee pisteenAkautta.

Lisäksi ympyräS leikkaa janatAC jaABpisteissäM ja N, vastaavasti. Jana BM leikkaa ympyrän pistees- säP ja jananAP jatke kohtaa jananBC pisteessä Q.

Osoita, että AQ on kolmion ABD keskijana. (Kilpai- lutehtävä Iranista 1999.)

Kuvan ympyrän sisällä kaartaAM vastaavat kehäkul- mat ovat keskenään yhtä suuria, joten riittää saada yksi niistä lausutuksi kolmionABC kulmien avulla. Aiem- min esitetyn perusteella ∠DAM = ¹₂∠A = ∠M DC.

Saamme

∠ADM =∠ADC−∠M DC

= (π−∠CAD−∠DCA)−∠M DC

= (π−1

2∠A−∠C)−1 2∠A

=π−∠A−∠C=∠B.

Kehä- ja ristikulmien sekä edellisen avulla ∠BP Q =

∠AP M =∠ADM =∠B. Kahden yhtäsuuren kulman perusteella kolmiot ABQ ja BP Qovat yhdenmuotoi- sia, joten niille pätee vastinsivujen verranto

BQ QA = QP

BQ,

mistä saadaanBQ²=QP·QA. Aiemmin esitetyn pis- teen potenssin perusteellaQD²=QP·QA, eli yhdistä- mällä tuloksetBQ=QD, jotenAQon kolmionABD keskijana.

Kotitehtävä

Aktiiviselle lukiolaiselle jätetään ratkottavaksi vanha sveitsiläinen kilpatehtävä:

Kaksi ympyrää leikkaavat toisensa pisteissä M ja N. Valitaan ensimmäiseltä ympyrältä mielivaltainen piste A, joka ei ole M tai N. Suorat AM ja AN leikkaa- vat toisen ympyrän myös pisteissäB jaC, vastaavasti.

Osoita, että ensimmäiselle ympyrälle pisteeseenApiir- retty tangentti on yhdensuuntainen suoranBC kanssa.

Ratkaisu esitettäneen jossakin tulevassa Solmussa.

Kehäkulmien ominaisuuksien, yhdenmuotoisuuden ja pisteen potenssin lisäksi tasogeometriasta matema- tiikkakilpailuihin harjoittelevan lukiolaisen kannat- taa opetella ainakin Menelaoksen ja Cevan lauseet.

Myös kolmion merkillisten pisteiden ominaisuuksien todentaminen on mahdollista koulumatematii- kan keinoin. Materiaalia oppimisen tueksi on saa- tavissa nykyään melko runsaasti Solmun verkko- sivuilta, esimerkiksi edellä mainitut lauseet löy- tyvät osoitteesta http://solmu.math.helsinki.fi/

olympia/kirjallisuus/nimigeom.pdf

Avoimia matematiikan oppikirjoja verkossa

Osoitteestahttp://avoinoppikirja.filöytyy avoimia yläkoulun ja lukion matematiikan oppikirjoja.