HELMIKUUN 2014 VALMENNUSTEHTÄVÄT
HELPOMPI JA VAIKEAMPI SARJA
Tällä kertaa sekä helpompi että vaikeampi sarja on yhtenä tehtäväsettinä. Luonnollisestikin on täysin ok keskittyä vain helpompiin tai vaikeampiin tehtäviin. Oleellista on kuitenkin huo- mata se, että valmennustehtäväaktiivisuudella on huomattava paino kutsuttaessa kilpailijoita toukokuun valmennusviikolle (jonka aikana valitaan IMO-joukkue): Mikäli ratkaisuja tai edes yhtä ainutta rehellistä ratkaisuyritystä tähän sarjaan ei tule, on hyvin hankala saada kutsu valmennusviikolle.
Ratkaisuja kaivataan huhtikuun puoleen väliin mennessä osoitteeseen Anne-Maria Ernvall- Hytönen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, PL 68, 00014 Helsingin yliopisto. Mahdollisista epäselvyyksistä tehtävissä voi kysyä soittamalla 041-5228141.
Helpommat tehtävät
(1) Etsi kaikki sellaiset parametrinb arvot, että ainakin toinen funktioista f1(x) =x2+ 2011x+bja f2(x) =x2−2011x+b on positiivinen kaikilla reaalisilla x.
(2) Osoita, että on olemassa äärettömän paljon neliöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa 2n+ 2m, missänja m ovat keskenään erisuuria positiivisia kokonaislukuja.
(3) Kolmiopohjaisen särmiön kärkiin kirjoitetaan luvut1,2,3,4,5,6, ja sitten särmille nii- den lukujen summa, jotka ovat särmän päissä olevissa kärjissä. Onko luvut mahdollista kirjoittaa kärjille niin, että kaikki summat särmillä ovat erisuuret?
(4) Olkootx1, x2, x3 kolme keskenään erisuurta reaalilukua. Oletetaan lisäksi, että x2 ja x3 ovat polynomin f1(x) = x2 +p1x+q1 juuret, x3 ja x1 ovat polynomin f2(x) = x2+p2x+q2 juuret ja x1 ja x2 ovat polynomin f3(x) =x2+p3x+q3 juuret. Onko polynomilla
f(x) =f1(x) +f2(x) +f3(x) aina reaalisia juuria?
(5) Muokataan nyt edellistä tehtävää pikkuisen: Olkootx1, x2, x3kolme keskenään erisuur- ta reaalilukua. Oletetaan lisäksi, ettäx2 jax3 ovat polynominf1(x) =a1x2+p1x+q1
juuret, x3 ja x1 ovat polynomin f2(x) = a2x2 +p2x+q2 juuret ja x1 ja x2 ovat polynominf3(x) =a3x2+p3x+q3 juuret. Onko polynomilla
f(x) =f1(x) +f2(x) +f3(x) aina reaalisia juuria?
(6) Etsi kaikki alkulukuparit(a, b), joillaabba+ 1on alkuluku.
(7) Kuinka monta sellaista jakajaa on luvulla n2, kun n = 112011 ·201111, jotka ovat pienempiä kuinn, ja jotka eivät ole luvunn jakajia?
(8) Epänegatiiviset luvuta, b, c toteuttavat epäyhtälön a2b+b2c+c2a≤a+b+c.
Todista, että
ab+bc+ca≤a+b+c.
1
2 HELPOMPI JA VAIKEAMPI SARJA
(9) Etsi pienin positiivinen kokonaislukun, jolla luku n3+n2 + 330n+ 330 on jaollinen luvulla 2011.
(10) KolmionABC ympäri on piirretty ympyrä, jonka tangentit pisteissäAjaBleikkaavat pisteessä T. Pisteen T kautta on piirretty janan AC suuntainen suora, joka leikkaa suoranBC pisteessäD. Osoita, että AD=CD.
(11) Kutsutaan positiivista kokonaislukua kaksoseksi, jos sillä on kaksi positiivista tekijää, joiden erotus on kaksi. Määritä, onko ensimmäisten20112012 positiivisen kokonaislu- vun joukossa enemmän kaksosia vai lukuja, jotka eivät ole kaksosia.
Vaikeammat tehtävät
(1) Paperille on piirretty puolisuunnikasABCD. Sen yhdensuuntaiset sivut ovatBC =a ja AD= 2a. Käytä pelkkää viivotinta (sellaista, jossa ei ole mittalukuja, eli jolla voi vain piirtää suoria viivoja, mutta ei mitata mitään) piirtääksesi kolmion, jonka ala on sama kuin puolisuunnikkaan ala.
(2) Olkoot a, b ja c epänegatiivisia reaalilukuja, jotka toteuttavat ehdon a+b+c ≤ 2.
Osoita, että
ab(a2+b2) +bc(b2+c2) +ca(c2+a2)≤2.
(3) Etsi kaikki funktiotf :R→R, jotka toteuttavat ehdot (a) kaikilla reaalisilla x jay pätee
f(2x) =f(x+y)f(y−x) +f(x−y)f(−x−y) (b) f(x)≥0 kaikillax.
(4) Ratkaise Diofantoksen yhtälö
yk=x2+x, kunk>1 on positiivinen kokonaisluku.
(5) Etsi kaikki alkuluvutp,q jar, joilla
p(p+ 1) +q(q+ 1) +r(r+ 1).
(6) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ulkopuolisesti. Niiden halkaisijatA1A2,B1B2 jaC1C2
ovat yhdensuuntaisia. Todista, että suorat A1B2, B1C2 ja C1A2 leikkaavat samassa pisteessä.
(7) Olkoonn=pα11pα22· · ·pαkk luvunnalkutekijähajotelma. KirjoitetaanT(n) =α1+α2+
· · ·+αk. Olkoot a, b, c, d keskenään erisuuria epänegatiivisia kokonaislukuja. Osoita, että jos lukuac+bdjakaa luvunab+cd, niinT(ab+cd)≥3.
(8) Ratkaise yhtälö
cosπx= x
2 −jx 2 k
−1 2
,
missäbxc on suurin kokonaisluku, joka ei ole suurempi kuin luku x.
(9) Kolmiossa ABC piste M on sivun BC keskipiste, ja sivulta AB on valittu piste N niin, ettäN B = 2AN. Jos∠CAB=∠CM N, niin määritä |AC||BC|.
(10) Ratkaise Diofantoksen yhtälö
(x+y)3 = (x−y−6)2 positiivisten kokonaislukujen joukossa.
