• Ei tuloksia

185), jonka tiheysfunktio on f(x, y

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "185), jonka tiheysfunktio on f(x, y"

Copied!
2
0
0

Kokoteksti

(1)

Matemaattisen tilastotieteen perusteet 6. harjoitukset, 49. viikko 2010

6.1. Satunnaismuuttujat X jaY noudattavat tasajakaumaa (s. 185), jonka tiheysfunktio on

f(x, y) =

(1, 0≤x≤1, 0≤y≤1;

0 muualla.

(a) Laske kertym¨afunktion arvo FX,Y(0.6,0.8).

(b) Laske todenn¨ak¨oisyys P(0.25≤X ≤0.75,0.1≤Y ≤0.75).

6.2. L¨ammittimien valmistaja testaa l¨ammittimet kahdella testill¨a. Olkoon X atunnaismuuttuja, jonka arvo on testin A l¨ap¨aisevien l¨ammittimien suhteellinen osuus ja Y testin B l¨ap¨aisevien l¨ammittimien suhteellinen osuus. SatunnaismuuttujienX ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on

f(x, y) = 8xy, 0≤y ≤x≤1.

Laske E(X) ja Var(X).

6.3. Laske teht¨av¨an 2 jakaumastaY:n ehdollisen jakauman (ehdollaX =x) odotusarvo E(Y|X =x) ja varianssi Var(Y|X =x).

6.4. Laske teht¨av¨an 2 jakaumasta todenn¨ak¨oisyydet P(Y <1/2) ja P(Y <1/2|X = 1/2).

6.5. Esimerkiss¨a 7.7 (s. 190-191) johdetaan Y:n ehdollinen odotusarvo (0.0.1) E(Y |x) = 1

2 + 1

2x, 0≤x≤1,

joka on x:n lineaarinen funktio. JosE(Y |x) on lineaarinen, niin pit¨a¨a yleisesti paikkansa, ett¨a ehdollinen odotusarvo on muotoa

(0.0.2) E(Y |x) = µY +ρσY σX

(x−µX),

miss¨aρ= Cor(X, Y) onX:n jaY:n v¨alinen korrelaatio,σX onX:n ha- jonta ja σY on Y:n hajonta. Tarkista laskemalla, ett¨a (0.0.1) on muo- toa (0.0.2)(Huomaa, ett¨aµX, µY ja E(Y2) on laskettu Esimerkiss¨a 7.6.

Lis¨aksiE(XY) = 1/4.).

6.6. Oleteaan, ett¨a satunnaisvektori (X, Y) noudattaa kaksiulotteista nor- maalijakaumaa, miss¨aµX = 3.2, µY = 2.4, σX = 0.4, σY = 0.6 ja korre- laatio ρ= 0.6.

(2)

(a) Kirjoita E(Y|X =x):n lauseke (ks. lause 7.9).

(b) Laske P(Y <1.8).

(c) Laske P(Y <1.8|X = 2.5).

6.7. Oleteaan, ett¨a satunnaisvektori (X, Y) noudattaa kaksiulotteista nor- maalijakaumaa N2(µ,Σ), miss¨aµ= (1,1)T ja

Σ= 1 1

1 4

.

(a) Kirjoita tiheysfunktion fX,Y(x, y) lauseke (ks. lauseke (7.6.12)).

(b) Laske P(X < Y) (Sovella lauseita 7.9 ja 7.10).

6.8. Satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalija- kaumaa ja σX = σY. Osoita, ett¨a U = X +Y ja V = X −Y ovat riippumattomat (Huom. Lauseen 7.10 mukaan U jaV noudatavat nor- maalijakaumaa).

(a) Laske Totea laskemalla, ett¨a Cov(U, V) = 0.

(b) Osoita, ett¨aU jaV ovat riippumattomat(Ts. totea, ett¨af(u, v) = fU(u)fV(v)).

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Sen sisään on piirretty toinen suora ympyräkartio, jonka pohjaympyrä on annetun kartion vaipalla ja huippu annetun kartion pohjan keskipisteessä.. Laske käyrien

3. Räjäytystyömaalta lentää kivi 30 metrin päähän, jolloin sen lentoratana olevan paraabelin huippu on 10 metrin korkeudessa. Mä.ä.ritä lähtökulma 0, 10

Olkoon X is¨ an pituus ja Y tytt¨

Satunnaismuuttujat X ja Y esitt¨av¨at tietyn kappaleen l¨ap¨otilaa Celsius ja

Oletetaan, ett¨ a 400000 henkil¨ olle tehd¨ a¨ an perusteellinen l¨ a¨ aketieteel- linen tutkimus.. Aikaisempien tutkimusten perusteella 3/4 tutkituista l¨ ap¨

Tällöin suorien x = a, x=b, x-akselin ja käyrän y = f(x) rajoittaman alueen pinta-ala saadaan porrassummien raja-arvona, kun jakoa tihennetään rajattomasti niin, että

y-iz-xc-L* rl

Paras paikka maailmassa tiima olla taitaa, sen vertaista mistaan ei loytya voi.. K y l l a taalla Suomenmaassa elella nyt kelpaa, jos raha meilta loppuu, otetaan