Toukokuun valmennustehtävät
Ratkaisuja pyydetään kesäkuun valmennukseen mennessä. Tehtävät ovat hyvää harjoittelua IMO:a var- ten, ja toisaalta ne huomioidaan ensi vuoden joukkuevalinnoissa. Ratkaisuja voi lähettää osoitteeseen Jo- ni Teräväinen, Pekankatu 5 A25, 00700 Helsinki ja ratkaisuja tai kysymyksiä sähköpostilla osoitteiseen joni.teravainen@helsinki.fi. Jokaisesta aihepiiristä on kolme tehtävää.
1. Määritä kaikki kolmikot(m, n, k)positiivisia kokonaislukuja, joillemjanovat yhteistekijättömiä ja 2m−1
2n−1 =m n
k
.
2. Positiivinen kokonaislukunon tasapainoinen, jos se voidaan kirjoittaa parillisen määrän (ei välttämättä erisuuria) alkulukuja tulona. Olkootajab kokonaislukuja, ja määritellään polynomiP(x) = (x+a)(x+b). (a) Osoita, että löytyy erisuuretajabsiten, että luvutP(1), P(2), ..., P(2014)ovat kaikki tasapainoisia.
(b) Osoita, että josP(n)on tasapainoinen kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n, niina=b.
3. Olkoon f :Z+ →Z+ funktio, jollef(m)2+f(n)| (m2+n)2 kaikilla m, n∈ Z+. Osoita, että f(n) =n kaikillan∈Z+.
4. Olkoota, b, creaalilukuja, joillea4+b4+c4= 27. Osoita, että jokin seuraavista epäyhtälöistä pätee:
|ab−c|<3, |bc−a|<3, |ca−b|<3, abc <3 2. 5. Onko olemassa funktiotaf :Z+→Z+, jollef(f(n)) =n+ 2013kaikilla n∈Z+?
6. OlkoonSäärellinen joukko kokonaislukuja. Osoita, että on olemassa vakioCS, jolle pätee seuraavaa: Aina, kunf(x)on ei-vakio kokonaislukukertoiminen polynomi, relaatiof(x)∈Stotetuu enintäänmin{degf, CS} kokonaisluvullax.
7. Olkoonnannettu positiivinen kokonaisluku. Määritä suurin positiivinen kokonaislukuksiten, että joukko {1,2, ..., n}voidaan osittaakosajoukoksi, joista kunkin alkioiden summa on sama.
8. Pöydällä on rivissä 2009 korttia, joilla on kultainen ja musta puoli. Alussa kaikki kortit ovat kultainen puoli ylöspäin. Kaksi pelaajaa pelaavat seuraavaa peliä (pöydän samalla puolella). Vuorollaan pelaaja va- litsee jotkin 50 peräkkäistä korttia, joista vasemmanpuoleisin on kultainen, ja kääntää ne ympäri. Pelaaja, joka tekee viimeisen laillisen siirron, voittaa.
(a) Osoita, että peli päätyy.
(b) Onko aloittavalla pelaajalla voittostrategia?
9. Olkoon n > 1 pariton positiivinen kokonaisluku ja c1, ..., cn kokonaislukuja. Jokaiselle lukujen 1,2, ..., n permutaatiollea= (a1, ..., an)määritelläänS(a) =Pn
j=1cjaj. Osoita, että on olemassa kaksi eri permutaa- tiotaajabluvuille1,2, ..., nsiten, ettän!|S(a)−S(b).
10. Onko olemassa kokonaislukusivuista kolmiota, jonka ala on2014?
11. Konveksilla nelikulmiollaABCDon kohtisuorat lävistäjät. SivujenABjaCD keskinormaalit leikkaavat pisteessä P nelikulmion ABCD sisällä. Osoita, että ABCD on jännenelikulmio jos ja vain jos kolmioilla ABP jaCDP on samat alat.
12. OlkoonABCDEF konveksi kuusikulmio, jossa AB=BC, CD=DE, EF =F A. Osoita, että BC
BE +DE DA+F A
F C ≥ 3 2. Milloin pätee yhtäsuuruus?
