• Ei tuloksia

Osoita, ett¨a n k = n−k+ 1 k n k−1

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Osoita, ett¨a n k = n−k+ 1 k n k−1 "

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

LUKUTEORIA I

1. V¨alikoe (2. versio) 18.3.2009 (T. Matala-aho)

EI LASKIMIA, EI MATKAPUHELIMIA

1. (a) Olkootk, n∈N, 1≤k ≤n. Osoita, ett¨a n

k

= n−k+ 1 k

n k−1

.

(b) M¨a¨ar¨a¨a

1 + 1 2 +1

3 +1 4 −25

7 (mod 53).

2. (a) Olkoon p∈P≥5 ja p≡2 (mod 3). M¨a¨ar¨a¨a sellainen k ∈Z, 1 ≤k≤p−1, ett¨a

1

3 ≡k (mod p).

(b) Olkoot r, m∈Z+. Osoita teleskooppiperiaatetta k¨aytt¨aen, ett¨a Xm

k=1

(k)r= (m)r+1

r+ 1 .

3. Olkootf0 = 0, f1 = 1 jafk+2 =fk+1+fk aina, kunk ∈N. Osoita, ett¨a 1 1

1 0 n

=

fn+1 fn

fn fn−1

. aina, kun n∈Z+.

4. Olkoon n ∈Z≥2.

(a) Osoita, ett¨a josn = 2r ja r ∈Z+, niin 2n−1

n−1

≡1 (mod 2).

(b) Osoita, ett¨a jos 2n−1

n−1

≡1 (mod 2),

niin n = 2r jollakinr∈Z+.

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 23.11 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Osoita, että matriisinA∈Kn×nerisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvek- torit ovat lineaarisesti riippumattomia

Osoita, että matriisin A ∈ K n×n vasempia ominaisvektoreita vastaavat ominai- sarvot ovat samat kuin oikeita ominaisvektoreita vastaavat ominaisarvot.. (Ei siis tarvitse

Osoita, ett¨a 1 x 0 1 |x ∈ K on ryhm¨an GL(2, K) Sylowin p-aliryhm¨a

[r]

N¨ayt¨a, ett¨a E2k

[r]

Matriisiteoria Loppukoe 10.1.2005 (prof. P. Turakainen) 1. Tiedet¨a¨an, ett¨a yl¨akolmiomatriisi on normaali jos ja vain jos se on diagonaalimatriisi. Osoita t¨am¨an avulla, ett¨a matriisi A ∈ C

Osoita t¨ am¨ an avulla, ett¨ a matriisi A ∈ C n×n on normaali jos ja vain jos se on unitaarisesti similaarinen jonkin diago- naalimatriisin kanssa.. k¨ a¨ anteismatriisi

Baltian Tie -kilpailuteht¨avien ratkaisuja vuosilta 1990–1999

Jos v¨ aite p¨ atee, kun k = n, se p¨ atee, kun k = n + 1: jokaista k-pituista jonoa vastaa 5 sel- laista, jossa numeroiden summa on parillinen ja 5 sellaista, jossa numeroiden summa

a = 16 a = 15 a = 14

5. Kirjoitetaan k¨ arkeen n¨ aiss¨ a s¨ armiss¨ a olevien lukujen summa ja tehd¨ a¨ an t¨ am¨ a jokaiselle kuution k¨ arjelle. Onko mahdollista, ett¨ a jokaisessa kuution

Toukokuun valmennustehtävät

Määritä suurin positiivinen kokonaisluku k siten, että joukko {1, 2, ..., n} voidaan osittaa k osajoukoksi, joista kunkin alkioiden summa on sama.. Pöydällä on rivissä 2009

binomikertoimet nk , kun n, k∈N, k ≤n <10

Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2011 helppo teht¨ av¨