KOODAUSTEORIA Loppukoe 22.11.2010
1. Olkoon C lineaarinen koodi kunnan F3 suhteen ja olkoon sen generoija- matriisi
G=
1 1 0 −1 −1 0 0 1 0 −1 1 1 0 0 −1 −1 0 1
.
Määrää koodinC tarkistusmatriisi ja minimietäisyys. Dekoodaa vastaan- otettu sana 121000.
2. Olkoon F äärellisen kunnan K alikunta. Määrittele kuntalaajennuksen K/F jälkifunktio Tr : K→F.
Osoita, ettäTr on surjektio.
Olkoon α ∈ F9, jolle α2 + 2α + 2 = 0. Määrää alkion −(α−1)2 jälki kunnan F3 suhteen.
3. a) Osoita, että jos [n, k]-koodi paljastaa kaikki enintään b-pituiset ryöp- pyvirheet, niin n−k ≥ b. Osoita edelleen, että jos [n, k]-koodi korjaa kaikki enintään b-pituiset ryöppyvirheet, niin n−k ≥2b.
b) Käytetään ristiinkietomista sisäkoodina C1 ja ulkokoodina C2. Olkoot koodien generoijamatriisit
G1 =
1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1
ja G2 =
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
.
Molemmat koodit ovat binäärisiä. Suoritetaan lisäksi tarvittavat kie- tomiset kaksinkertaisina. Määrää koodin C1 sanoista
110001 001011 saatavat ristiinkiedotun koodin sanat.
4. Määrittele2m-pituinenr:nnen kertaluvun ReedinMullerin koodiR(r, m). Osoita, että koodin R(r, m)duaalikoodi on R(m−r−1, m).
5. Käytetään [7,3,5]-RS-koodia ja kunnan F8 primitiivialkiota α, jolle α3+ α+ 1 = 0. Dekoodaa saatu sana
u = (α,1,0,0,∗, α,1), missä ∗ tarkoittaa pyyhkiytymää.
