802646S LUKUTEORIA B (T. Matala-aho)
1. V¨alikoe 1.2.2010 EI LASKIMIA, EI PUHELIMIA
1. Olkoonp∈P ja k ∈N.
a) M¨a¨ar¨a¨aµ(pk), λ(pk), σ(pk).
b) Mitk¨a funktioistaµ, σ, λ ovat multiplikatiivisia ja mitk¨a t¨aydellisesti multiplika- tiivisia? Lyhyet perustelut.
2. a) Osoita, ett¨a josn on t¨aydellinen luku, niin X
d|n
1 d = 2.
b) N¨ayt¨a, ett¨a N =σ∗µ.
3. Olkoonf ∈ M. N¨ayt¨a, ett¨a
f−1(p2) =f(p)2−f(p2), ∀p∈P.
4. Olkootf, g ∈ A. Osoita, ett¨a
f(n) =X
d|n
g(d) ∀n ∈Z+ ⇔ g(n) =X
d|n
µ(d)fn d
∀n∈Z+.
Esit¨a tarvittavat tulokset yksityiskohtaisesti.
