800660S Ryhm¨ateoria Loppukoe 10.12.2012
1. Olkoon T =
0 4
1 0
∈ SL(2,5). M¨a¨ar¨a¨a alkion T konjugaattien lukum¨a¨ar¨a ryhm¨ass¨a SL(2,5).
2. Olkoot A ja B ryhm¨an G ¨a¨arellisi¨a aliryhmi¨a. Osoita, ett¨a
|AB|= |A||B|
|A∩B|.
3. Olkoot P ja Q ¨a¨arellisen ryhm¨an G Sylowin p−aliryhmi¨a. Osoita, ett¨a P ja Q konjugoivat ryhm¨ass¨a G.
4. Olkoon |G| = p2q2, miss¨a p > q ovat alkulukuja. Osoita, ett¨a G on ratkeava.
5. Olkoon G ryhm¨a ja |G| = 231.
Todista: Jos P on ryhm¨an G Sylowin 11-aliryhm¨a, niin P ≤ Z(G).
