Osoita, että ab a+b + bc b+c+ ca c+a 6 a+b+c 2

HELMIKUUN 2014 VALMENNUSTEHTÄVÄT

HELPOMPI JA VAIKEAMPI SARJA

Ohessa lokakuun valmennustehtäväsarja. Kannattaa huomioida, että valmennustehtäväak- tiivisuudella on yhä suurempi vaikutus joukkuevalintoihin. Valmennustehtävien aktiivinen rat- kaiseminen on myös välttämätöntä, mikäli haluaa kilpailumatematiikkaa oppia.

Ratkaisuja kaivataan marraskuun loppuun mennessä osoitteeseen Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Matematik och Statistik, Åbo Akademi, Fänriksgatan 3, 20500 Åbo. Mahdollisista epäselvyyk- sistä tehtävissä voi kysyä soittamalla 041-5228141 tai lähettämällä sähköpostia

aernvall@abo.fi.

Helpommat tehtävät (1) Olkoota,b jac positiivisia reaalilukuja. Osoita, että

ab

a+b + bc

b+c+ ca

c+a 6 a+b+c 2 .

(2) Olkootx,yjaz sellaisia positiivisia reaalilukuja, ettäx²+y²+z²=xyz. Osoita, että x+y+z>9, xy+yz+zx>27, ja xyz>27.

(3) Olkootx,y jaz positiivisia reaalilukuja. Mikä on lausekkeen x⁶+y⁶+z⁶−6xyz

pienin mahdollinen arvo?

(4) Olkoota,b,cjadsellaisia positiivisia reaalilukuja, ettäa+b+c+d= 1. Osoita, että

1 +1

a 1 +1

b 1 +1

c 1 +1 d

>625.

(5) Seitsemäntoista tutkijaa käyvät kaikki keskenään kirjeenvaihtoa kolmesta eri aiheesta.

Osoita, että jotkin kolme tutkijaa käyvät keskenään kirjeenvaihtoa samasta aiheesta.

(6) Olkoota1,a2, . . . ,an kokonaislukuja Osoita, että joidenkin näistä luvuista summa on jaollinen luvullan.

(7) Todista, että jokaisessa kymmenen kaksinumeroisen luvun joukossa on kaksi erillistä osajoukkoa, joiden elementtien summat ovat yhtä suuret.

(8) Kuinka moni lukua 400 pienempi positiivinen kokonaisluku on jaollinen täsmälleen kahdella luvuista kaksi, viisi ja seitsemän?

(9) Miten monella tavalla voidaan järjestää kirjaimet ABCABC niin, että millään paikalla ei ole samaa (samanlaista) kirjainta kuin alunperin? (eli A ei saa olla ensimmäisenä, C ei saa olla kolmantena, jne)

1

2 HELPOMPI JA VAIKEAMPI SARJA

Vaikeammat tehtävät (1) Ratkaise yhtälö

|2x+|x|+ 1|= 3.

(2) Määritä ne luvuta, joille yhtälöllä

a3^x+ 3^−x= 3 on tasan yksi ratkaisux.

(3) Laskea+b, kun

x+ 1

x = 3, x²+ 1

x² =aja x³+ 1 x³ =b.

(4) Yhtälöillä

x²+ 2ax+b² = 0 ja x²+ 2bx+c² = 0

on kummallakin kaksi erisuurta reaalista ratkaisua. Kuinka monta reaalista ratkaisua on yhtälöllä

x²+ 2cx+a²= 0?

(5) Yhtälönx³+ax²+bx+c= 0 kahden ratkaisun summa on0. Osoita, että c=ab.

(6) Kun polynomi P(x) jaetaan binomilla x−2001, on jakojäännös 2001. Kun jakajana onx+ 2001, on jakojäännös−2001. Mikä on jakojäännös, kun jakajana on ?

(7) Olkoota,b jac sellaisia ei-negatiivisia reaalilukuja, ettäa+b+c= 2. Osoita, että a⁴+b⁴+c⁴+abc>a³+b³+c³.

(8) Olkoota,bja creaalilukuja väliltä [0,2], ja oletetaan, että a+b+c= 5. Osoita, että a²+b²+c² 69.

(9) Olkoota,bja csellaisia positiivisia reaalilukuja, että 27ab+ 2bc+ 18ca= 81. Osoita,

että 1

a+2 b +3

c >3.

(10) Olkoot x,y jaz positiivisia reaalilukuja, joillex+y+z= 3. Osoita, että px+p

y+p

z>xy+yz+zx.