HUHTIKUUN 2012 HELPOMMAT VALMENNUSTEHTäVäT
Ratkaisuja kaivataan toukokuun puoleen väliin mennessä osoitteeseen Anne-Maria Ernvall- Hytönen, Purpuripolku 7-9 B 10, 00420 Helsinki, tai ernvall@mappi.helsinki.fi. Kannattaa huomioida, että tehtävien taso on varsin vaihteleva, eivätkä ne missään nimessä ole vaikeus- järjestyksessä.
(1) Ratkaise yhtälöryhmä
( 9
2(x+y) = 1x+1y
√x2−2 =p 3−y2. (2) Kumpi luvuistap
2008 +√
2008+p
2009 +√
2009vaip
2008 +√
2009+p
2009 +√ 2008 on suurempi?
(3) Etsi pienin positiivinen kokonaisluku, jonka (kymmenjärjestelmäesityksen) numeroi- den tulo on 5120.
(4) Olkoota, b, cpositiivisia lukuja. Osoitettava a
3a2+b2+ 2ac+ b
3b2+c2+ 2ab+ c
3c2+a2+ 2bc ≤ 3 2(a+b+c).
(5) 2009×2009-ruudukolla pelataan seuraavaa kahden hengen peliä: Pelaajat värittävät vuorotellen yhden ruudun yhden sivun keltaiseksi. Se, kumpi saa väritettyä jonkin 1×1-ruudun neljännen (eli viimeisen aiemmin värittämättömän) sivun keltaiseksi, on voittaja. Kummalla pelaajalla on voittostrategia?
(6) KolmiossaABC on pisteetD, E, F sivuillaAB,BC jaAC (tässä järjestyksessä) siten, ettäCDon kohtisuorassa sivuaABvastaan,DEon kohtisuorassa sivuaBCvastaan ja DF on kohtisuorassa sivuaAC vastaan. Osoita, että pisteetA, B, E jaF ovat samalla ympyrällä.
(7) Etsi kaikki kokonaisluvutx, joilla9x2−40x+ 39on muotoa pα, missäp on alkuluku, jaα epänegatiivinen kokonaisluku.
(8) Olkoota, b∈[−1,1]. Todistettava ap
1−b2+bp
1−a2 ≤1.
(9) OlkoonABC kolmio, ja olkoon kulma ∠CAB suora. PisteLon sivulla BC pisteiden B jaC välissä. Pisteiden A, B, L kautta kulkeva ympyrä leikkaa suoran AC pisteessä M ja pisteidenC, A, Lkautta kulkeva ympyrä leikkaa suoranAB pisteessäN. Osoita, että pisteetL, M ja N ovat samalla suoralla.
(10) Onko mahdollista kirjoittaa luvut 1,2, . . . ,2009peräkkäin jossain järjestyksessä niin, että muodostuu jonkin kokonaisluvun neliö?
1
