Lokakuun 2014 vaikeammat valmennustehtävät
Ratkaisuja voi lähettää joulukuun alkuun asti osoitteeseen Jesse Jääsaari, Kristianinkatu 3 A 11, 00170 Helsinki, tai sähköisesti osoitteeseen jesse.jaasaari@helsinki.. Tehtävistä voi esittää kysymyksiä sähköpostitse.
1. Määritä kaikki funktiotf :Z+−→Z+, joille pätee
• f(n)on neliöluku kaikillan∈Z+.
• f(m+n) =f(m) +f(n) + 2mnkaikilla m, n∈Z+.
2. Olkootxjay erisuuria positiivisia kokonaislukuja. Osoita, että x2+ 4xy+y2
x3−y3
ei ole kokonaisluku.
3. Olkoota, b, cpareittain erisuuria positiivisia reaalilukuja. Todista, että
(a2−b2)3+ (b2−c2)3+ (c2−a2)3
(a−b)3+ (b−c)3+ (c−a)3 >8abc.
4. Määritä kaikki alkuluvutpsiten, että luvullap2+11on tasan kuusi tekijää (mukaanlukien 1ja luku itse).
5. PisteDsijaitsee kolmion∆ABCsivullaBC ja pisteEsivullaAC siten, ettäBD=AE. Kolmioiden∆ADCja∆BECympäripiirrettyjen ympyröiden keskipisteiden kautta kulkeva suora leikkaa suoratACjaBC pisteissäK jaL. Todista, ettäKC =LC.
6. Olkootaja bpositiivisia kokonaislukuja, joilla luku abjakaa luvuna2+b2+ 1. Osoita, että
a2+b2+ 1 ab = 3.
7. Olkoon n ≥ 2 kokonaisluku. Todista, että jos bb−1n−1 on alkuluvun potenssi jollakin luonnollisella luvullab, niinnon alkuluku.
8. Olkoonn≥3. Sammakko hyppii reaaliakselilla aloittaen pisteestä 0ja tekemällänhyp- pyä joiden pituudet ovat1,2,...,njossakin järjestyksessä. Jos sammakko päätyy pisteeseen a ≤ 0, niin seuraavaksi sammakko hyppää oikealle. Mikäli sammakko päätyy pisteeseen a > 0, niin seuraava hyppy suuntautuu vasemmalle. Määritä suurin k ∈ N siten, että sammakko voi järjestää hyppynsä niin, että se ei koskaan päädy pisteisiin1,2,...,k.
9. Olkoon kolmion∆ABCympäripiirretty ympyräΓ, ja olkoon sen sisäänpiirretyn ympyrän keskipiste I. Suorat AI, BI, CI leikkaavat ympyrän Γ pisteissä D, E, F. Ympyrälle Γ pisteisiinF, D, Epiirretyt tangentin leikkaavat suoratAI, BI, CIpisteissäR, S, T. Todista, että
AR·BS·CT =ID·IE·IF.
10. Tarkastellaan10×10-ruudukkoa. Jokaisella siirrolla valitaan neljä ruutua, jotka sijait- sevan kahden rivin ja kahden sarakkeen leikkauksessa, ja väritetään ne. Siirto voidaan tehdä vain jos ainakin yksi näistä ruuduista on ennestään värittämätön. Mikä on suurin määrä siirtoja, jolla ruudukko voidaan värittää kokonaan?
