Joulukuun helpommat valmennustehtävät
Ratkaisuja pyydetään seuraavaan valmennusviikonloppuun 9.-11.1. mennessä. Ratkaisut voi tuoda valmennusviikonlopulle tai lähettää postitse osoitteeseen Joni Teräväinen, Kalannintie 5, 00430 Hel- sinki tai lähettää sähköpostitse osoitteeseen joni.teravainen@helsinki.. Tehtävistä voi myös kysyä sähköpostitse. Tehtävät eivät ole vaikeusjärjestyksessä.
1. Olkoot ajab reaalilukuja, joillea+b= 2ja ab=−1. Määritä a10+b10.
2. Suorakulmainen ruudukko koostuu a×b yksikköneliöstä, missäaja bovat positiivisia kokonais- lukuja. Ruudukossa on reunaruutuja tasan yksi kolmasosa kaikista ruuduista. Määritä lukujenaja bmahdolliset arvot.
3. Pöydällä on 2014 kiveä. Kaksi pelaajaa poistaa pöydältä vuorollaan 1,2,3 tai 4 kiveä. Voittaja on viimeisen kiven poistanut pelaaja. Pystyykö aloittava pelaaja pakottamaan voiton itselleen?
4. Olkoon AB jana, jonka keskipiste on M ja olkoon Q mielivaltainen tason piste. Osoita, että QB2 = 2QM2+12AB2.
5. Olkoon xpositiivinen reaaliluku. Osoita, että x5+x+ 1≥3x2.
6. Määritä kaikki parit(a, b)luonnollisia lukuja, joille2a+2bon neliöluku (neliöluvut ovat02,12,22, ...).
7. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Shakkiturnauksessa on2npelaajaa. Kuinka monta mahdol- lista aloituskierrosta on (aloituskierroksella kukin pelaaja pelaa tasan yhtä muuta vastaan)?
8. Olkoon ABCD neliö ja P piste sen sisällä siten, että P D = 1, P A= 2, P B = 3.Määritä kulma
∠AP D.
9. Määritä kaikki alkuluvutpsiten, että luvutp, p+a, p+ 2a, p+ 3a, , p+ 4aovat kaikki alkulukuja jollakin positiivisella kokonaisluvulla a <30.
10. Olkoot A1, A2, ...A5 viisi eri pistettä tasossa. Mikä on pienimmän syntyvän kulman ∠AiAjAk
(1≤i, j, k ≤5, i6=j, j6=k, k6=i) suurin mahdollinen arvo?
1
