Syyskuun helpommat valmennustehtävät
Ratkaisuja voi lähettää seuraavaan valmennusviikonloppuun mennessä sähkö- postitse osoitteeseenjoni.p.teravainen@utu.fi tai postitse osoitteeseen Joni Teräväinen
Reelinkikatu 5A 26 20810 Turku.
Tehtävät eivät ole vaikeusjärjestyksessä.
1. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvutn, joillen+ 5|(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)(a|b tarkoittaa, että lukuajakaa luvunb).
2. Suorakulmion sivujen pituudet ovat kokonaislukuja. Oletetaan, että sen piiri on yhtä suuri kuin sen ala. Määritä kaikki mahdolliset sivujen pituudet.
3. Osoita, että on olemassa äärettömän monta positiivista kokonaislukua, joita ei voi esittää muodossax2−2y2, missäxjay ovat kokonaislukuja.
4. Olkoota, b, cjadreaalilukuja, joille|a|,|b|,|c|,|d| ≤1. Osoita, että
|ab−cd| ≤ |a−c|+|b−d|.
5. Montako reaalijuurta on yhtälölläx(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = 1?
6. Olkootx0= 1, x1= 3 jaxn+2 = 2xn+1+xn, kunn≥0. Osoita, että (2 +1
3)n< xn<(2 +2 3)n,
kunn≥2.
7. Monellako tavalla sanan ”tehtävä” kirjaimet voidaan järjestää (esimerkki: sa- nan ”puu” tapauksessa tapoja olisi kolme: puu, upu, uup)?
8. Yksikköympyrän sisältä on valittun≥2pistettä. Osoita, että joidenkin kah- den pisteen välinen etäisyys on enintään √n−12 .
9. Kolmion sivujen pituudet ovat2,3ja4. Määritä sen kaikkien korkeusjanojen ja kulmanpuolittajien pituudet.
1
10. Kaksi ympyrää,O1 jaO2, sivuavat pisteessä P. Suora ` sivuaa ympyröitä O1 jaO2 pisteissäA jaB (Aon ympyrällä O1 ja B ympyrälläO2). SuoraAP leikkaa ympränO2 pisteessäC. Osoita, että BCja` ovat kohtisuorassa.
2
