Syyskuun vaativammat valmennustehtävät
Ratkaisuja voi lähettää seuraavaan valmennusviikonloppuun mennessä sähkö- postitse osoitteeseenjoni.p.teravainen@utu.fi tai postitse osoitteeseen Joni Teräväinen
Reelinkikatu 5A 26 20810 Turku.
Tehtävät eivät ole vaikeusjärjestyksessä.
1. Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvutn, jotka ovat neliölukuja ja joiden kymmenjärjestelmäesitys sisältää korkeintaan kaksi nollasta poikeavaa numeroa (toisin sanoen, jos kymmenjärjestelmäesityksen pituus ond, siinä on vähintään d−2nollaa).
2. Olkoonkpositiivinen kokonaisluku. Sanotaan, että positiivinen kokonaisluku nonk-jaollinen, jos pätee
m|n, m+ 1|n+ 1, . . . , m+k−1|n+k−1
jollakinm≥1,m6=n. Osoita, että jokaisella kon olemassak-jaollinen luku.
3. Osoita, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n luvun n!n!n!−1 pienin alkutekijä on pienin lukuansuurempi alkuluku.
4. Anna esimerkki ei-vakiosta kokonaislukukertoimisesta polynomista, jolla on nollakohtana luku√
2 +√3 3.
5. Määritellään kaksi lukujonoa asettamallax0=a, y0=bja xn+1=xn+yn,
yn+1=yn−xn,
kunn≥0. Määritä ne parit(a, b)reaalilukuja, joille ainakin toinen jonoistaxn
ja yn on rajoitettu (Jonon an sanotaan olevan rajoitettu, jos on olemassa M, jolle|an| ≤M kaikillan).
6. Määritä kaikki parit(C, D)reaalilukuja, joille pätee seuraavaa. Kaikillan≥1 ja millä tahansa jonollaa1, . . . , an reaalilukuja pätee
(a21+Ca1+D)· · ·(a2n+Can+D)≥(a1· · ·an)2+C(a1· · ·an) +D.
1
7. OlkoonF(n)lukumäärä niillenmerkin jonoille, joissa kukin merkki onatai bja mitkään neljä peräkkäistä merkkiä eivät oleabba. Osoita, että
F(n) = 2F(n−1)−F(n−3) +F(n−4),
kunn≥5.
8. Olkoonn≥1, ja olkoonT joukko, joka koostuuntason pisteestä. Osoita, et- tä on olemassa ympyrä, jonka sisäpuolella on vähintään n−12 joukonT pistettä ja ulkopuolella vähintään n−12 joukonT pistettä (ympyrän kehäpisteet eivät ole ympyrän sisä- eivätkä ulkopuolella).
9. Kahdella toisiaan sivuavalla ympyrälläO1 jaO2 on yhteinen tangentti, joka sivuaa niitä pisteissäA jaB vastaavasti. OlkoonAP ympyränO1halkaisija ja oletetaan, että ympyränO2tangentti pisteenP kautta sivuaa ympyrääO2 pis- teessäQ. Osoita, ettäAP =P Q.
10. OlkoonABP C suunnikas, jossaABC on teräväkulmainen kolmio. Kolmion ABCympärysympyrä kohtaa suoranCP myös pisteessäQ. Osoita, ettäP Q= AC jos ja vain jos∠BAC= 60◦.
2
