Matematiikan olympiavalmennus Valmennusteht¨av¨at, joulukuu 2017
Ratkaisuja toivotaan loppiaiseen menness¨a postitse osoitteeseen Neea Paloj¨arvi
Ratapihankatu 12 A 1 20100 Turku
tai s¨ahk¨opostitse osoitteeseennpalojar@abo.fi.
Jaottelu helpompiin ja vaikeampiin teht¨aviin vastaa joulukuun valmennusviikonlopun aiheita ala- ja yl¨akerrassa.
Helpompia teht¨avi¨a
1. Etsi kaikki reaaliluvuta, joille ep¨ayht¨al¨o 3x2+y2≥ −ax(x+y)
on voimassa kaikilla reaaliluvuillaxjay.
2. Olkoot a, b jac jonkin kolmion sivujen pituudet. Osoita, ett¨a my¨os 1 a+b, 1
b+c ja 1
c+a ovat jonkin kolmion sivujen pituudet.
3. Muodostetaan kirjaimistaA,B jaCkuuden kirjaimen sana. KirjainAvalitaan todenn¨ak¨oisyydell¨ax, kirjainB todenn¨ak¨oisyydell¨a y ja kirjainC todenn¨ak¨oisyydell¨a z, miss¨ax+y+z = 1. Mill¨a todenn¨ak¨oisyyksill¨a x, y ja z sananBACBABtodenn¨ak¨oisyys on maksimaalinen?
4. Olkootx,y jaz positiivisia reaalilukuja, joillex+y+z= 3. Osoita, ett¨a
√x+√ y+√
z≥xy+yz+zx.
5. Kaksi ympyr¨a¨a sivuaa toisiaan sis¨apuolisesti pisteess¨aT. Ulomman ympyr¨an sekanttiABon sisemm¨an ympyr¨an tangentti pisteess¨aP. Osoita, ett¨a suoraT P puolittaa kulman∠AT B.
6. PisteetP,Q,R,P0,Q0 jaR0 valitaan samalta puolelta janaaABsiten ett¨a kolmiotABP,AQB,RAB,BAP0, BQ0AjaR0BAovat yhdenmuotoisia. Osoita, ett¨a pisteetP,Q,R,P0,Q0 jaR0 ovat samalla ympyr¨all¨a.
Vihje: tarkastele pisteidenAjaB potenssia pisteidenP, QjaR kautta kulkevan ympyr¨an suhteen.
7. On annettu kaksi ympyr¨a¨a, jotka leikkaavat pisteiss¨a P jaQ. Konstruoi janaAB, joka kulkee pisteenP kautta ja jonka p¨a¨atepisteet ovat ympyr¨oiden kehill¨a (piste A toisella ympyr¨all¨a ja piste B toisella ympyr¨all¨a) siten, ett¨a tulo AP·P B saa suurimman mahdollisen arvonsa.
1. Piirr¨a ensin sellainen suurempi ympyr¨a, joka sivuaa ympyr¨oit¨a ulkopuolisesti joissakin pisteiss¨aAjaBniin, ett¨a piste P on janalla AB. (Ei onnistu, ellei suurempaa ympyr¨a¨a ja pisteit¨a A ja B ole valittu tietyll¨a tavalla.)
2. Miksi n¨am¨a sivuamispisteet toteuttavat teht¨av¨an ehdon?
3. Miten pisteet konstruoidaan? Eli miten harpilla ja viivottimella piirt¨am¨all¨a pisteet l¨oydet¨a¨an?
Vaikeampia teht¨avi¨a
8. Olkootx,y jaz erisuuria positiivisia reaalilukuja, joille x+
q y+√
z=z+ q
y+√ x.
Osoita, ett¨axz <1 4
83 .
9. Osoita, ett¨a kaikilla positiivisilla kokonaisluvuillam > np¨atee pyj(m, n) + pyj(m+ 1, n+ 1)> 2mn
√m−n.
10. OlkoonM jokin piste kolmion4ABC sis¨all¨a sek¨a pisteetA1, B1jaC1 pisteenM kohtisuorat projektiot sivuille BC,CAjaABvastaavasti. Osoita, ett¨a
M A·M B·M C≥(M A1+M B1)(M B1+M C1)(M C1+M A1).
11. Etsi kaikki jatkuvat funktiotf, jotka toteuttavat ehdon f(x+y) =f(x) +f(y) +f(x)f(y).
12. Mik¨a funktio toteuttaa ehdonxf(x) + 2xf(−1) =−1?
13. Osoita, ett¨a on olemassa funktiotf :R→Rjag:R→Rsiten, ett¨a i) f ◦g=g◦f (elif(g(x)) =g(f(x)) kaikillex),
ii) f ◦f =g◦g ja
iii) f(x)6=g(x) kaikille x∈R.
14. M¨a¨arit¨a kaikki sellaiset funktiotf :N→N, ett¨a kaikillex, y∈Nja positiivisille kokonaisluvuillenp¨atee f(x+y) =f(x) +f(y) +
n−1
X
k=1
n k
xn−kyk.
15. On annettu funktiof :Z>0→Z, jolla on seuraavat ominaisuudet:
i) f(p) = 1 kaikille alkuluvuillep,
ii) f(xy) =yf(x) +xf(y) kaikillex, y∈Z>0.
M¨a¨arit¨a pieninn≥2016, joka toteuttaa ehdonf(n) =n.
16. Luvut 1,2,3, . . . ,100 on kirjoitettu liitutaululle. Kerran minuutissa Antti valitsee taululta kaksi lukuaA ja B, pyyhkii ne pois ja kirjoittaa tilalle yhden luvunAB+A+B. Mit¨a taululla n¨ahd¨a¨an lopuksi, kun j¨aljell¨a on vain yksi luku?
17. Suorakulmaisen laudan sivujen pituudet ovat M ja N. Lauta on kokonaan peitetty laatoilla, joiden muodot ovat 1×4 ja 2×2, eiv¨atk¨a n¨am¨a laatat mene miss¨a¨an kohti toistensa p¨a¨alle. Todista, ett¨a lautaa ei voida peitt¨a¨a samalla tavoin, jos yksi 2×2 -laatta vaihdetaan 1×4 -laataksi.
18. Kahdeksan pienen 1×1×1 -kuution tahkot on maalattu valkoisiksi ja mustiksi siten, ett¨a t¨asm¨alleen puolet tahkoista on valkoisia. Siten valkoisia tahkoja on 24 ja mustia 24, mutta yksitt¨ainen kuutio voi olla esimerkiksi kokonaan valkoinen. Todista, ett¨a kuutioista on mahdollista koota sellainen 2×2×2 -kuutio, jonka ulkopinnan pinta-alasta tasan puolet on valkoista.
