Analyysi IV
Harjoitus 5, kevät 2003
1. Olkoon
K ={0} ∪
½1 n
¯¯ n= 1,2,3, . . .
¾
Todista suoraan määritelmästä (käyttämättä Heine-Borelin lausetta), että K on kompakti.
2. Kertaustehtävä: Olkoon A = {1 + 1n | n ∈ N}. Etsi supA ja infA. Mikä takaa, että nämä luvut ovat olemassa? Onko olemassa x, y ∈ A siten, että x = supA ja y= infA?
3. OlkoonA, B ⊂R ja määritellään joukko
A+B ={a+b | a∈A, b∈B}.
Osoita, että
sup(A+B) = supA+ supB aina, kun oikea puoli on määritelty.
Nythän supA,supB voi olla ∞ tai −∞. Tätä varten laajennetaan reaalilukujen joukkoa R kahdella pisteellä : ∞,−∞. Merkitään vaikka Rb = R∪ {∞,−∞}. Jos x∈R, määritellään
x+∞ = ∞ x+ (−∞) = −∞
x− ∞ = −∞ x−(−∞) = ∞
∞+∞ = ∞ (−∞) + (−∞) = −∞
Mutta ∞+ (−∞), ∞ − ∞, jne ei ole määritelty. Siis ∞,−∞ eivät ole toistensa vastalukuja.
4. Olkoon fn(x) = 1n, 0 ≤ x ≤ n ; fn(x) = 0, x > n. Osoita, että fn → 0 tasaisesti välillä [0,∞[.
5. Määrää lim
n→∞nx(1−x)n, kun 0≤ x≤ 1. Osoita, että suppeneminen ei ole tasaista tällä välillä. Osoita, että suppeneminen on tasaista jokaisella välillä [a,1]⊂]0,1]. 6. Olkoon E yksikkövälin [0,1] rationaalipisteiden joukko ja I1, I2, . . . , In E:n peite
äärellisen monella avoimella välillä. Osoita, että Xn
j=1
`(Ij)>1.
7. Osoita, että m∗(A∪B) = m∗(A), jos m∗(B) = 0. 8. Todista Lause 2.6.
