Analyysi II, syksy 2008 Harjoitus 5
1. Osoita suoraan määritelmään nojautuen, että funktio f : R3 → R, joka määritellään kaavallaf(x, y, z) =x(y2+z), on dierentioituva.
2. Olkoon n ∈ Z+. Osoita suoraan määritelmään nojautuen, että funktio f :Rn →R,f(x) =kxk2 on dierentioituva.
3. Osoita, että funktiof :R2→R, f(x, y) =
( xy
√x2+y2 jos(x, y)6=0 0 jos(x, y) =0 ei ole dierentioituva origossa.
4. Olkoonf :R2→R määritelty seuraavasti:
f(x, y) =
(x2sin1x kun x6= 0
0 kun x= 0.
a) Määrää funktionf osittaisderivaatat jokaisessa pisteessäa∈R2. b) Osoita, ettäf on dierentioituva jokaisessa pisteessä a∈R2. 5. Olkoonf :R2→R,
f(x, y) =
(1 josx∈Q
0 muutoin .
Osoita, ettäfei ole osittaindierentioituva ensimmäisen muuttujansa suh- teen missään pisteessä, mutta on osittaindierentioituva toisen muuttujan- sa suhteen jokaisessa pisteessä.
6. Olkoonf :R2→R,
f(x, y) = (
1 josy=x2jax6= 0
0 muutoin .
Osoita, että funktiollaf on suunnatut derivaatat origossa kaikkiin suuntiin ja osoita, ettäf ei ole dierentioituva origossa.
7. Olkoong:R2→R,
g(x, y) =
1 josx∈Q ja y6∈Q 1 josx6∈Q ja y∈Q 0 muutoin
ja määritellään sen avulla funktiof :R2→R seuraavasti:
f(x, y) =
x2 josy= 0 jax∈Q 0 josy= 0 jax6∈Q g(x, y) muutoin
.
Osoita, ettäf ei ole osittaindierentioituva minkään muuttujansa suhteen missään pisteessä, paitsi ensimmäisen muuttujan suhteen origossa, jossa
∂1f(0) = 0.
