1 T x ,...,x ∈ R 1 ≤ p<T T ≥ 2 t t − 1 t − 1 1 1 X | X = x ,...,X = x X | X = x ,...,X = x f : R → R t = p +1 X ,...,X 1 p X | X = x ,...,X = x t f ( x ,...,x ) f ( x ) , Y T X ,...,X 1 T f ( x ,...,x )= 1 T ( X ,...,X ) X Y t t f f { X + Y } t t { X } {

Tenttikysymykset

2012, Toukokuu 14

Tehtävät1-5kuuluvataineopintojententtiin jatehtävät1-6kuuluvatsyven-

tävien opintojen tenttiin. (Questions 1-5 belong to the examination at the

levelofaineopinnotand questions1-6belongtothe examinationatthe level

of syventävät opinnot.)

1. Määrittele(heikosti)stationaarinenaikasarjajavahvastistationaarinen

aikasarja.

2. Tarkastellaan AR(1)-mallia

X _t = bX _t− 1 + ǫ _t , t = 0 , ±1 , ±2 , . . . ,

missä

{ǫ t } ∼

^WN

(0, σ ² )

^,

ǫ t

^ja

X t − 1

^ovat riippumattomia ja

|b| < 1

^.

Osoita, että

Var

( X _t ) = σ ² 1 − b ² .

3. Olkoon

{X t } ∼

^MA

(q)

^{.Osoita,että}

{X t }

^on(heikosti) stationaarinen.

4. Olkoot

{ X _t }

^ja

{ Y _t }

korreloimattomia stationaarisia aikasarjoja joilla on spektritiheysfunktiot

f X

^ja

f Y

^{.Laskeaikasarjan}

{X t + Y t }

^spektri-

tiheysfunktio.

5. (a) Osoita,ettäsatunnaisvektorin

(X 1 , . . . , X T )

tiheysfunktiollepätee

f X ₁ ,...,X _T (x 1 , . . . , x T )

= f _{X 1 ,...,X p} ( x 1 , . . . , x _p )

T

Y

t=p+1

f _{X t |X t −1 =x t −1 ,...,X 1 =x 1} ( x _t ) ,

missä

f _{X t |X t −1 =x t −1 ,...,X 1 =x 1} : R → R

on satunnaismuuttujan

X _t | X _t− 1 = x _t− 1 , . . . , X 1 = x 1

tiheysfunktio,

x 1 , . . . , x _T ∈ R

ja

1 ≤ p < T

^,

T ≥ 2

^.

(b) Olkoon

{X t }

^ARCH(

p

^{) mallianoudattava aikasarja:}

X t = σ t ǫ t ,

missä

σ _t ² = c 0 + b 1 X _t ² _{− 1} + · · · + b _p X _t ² _{− p} ,

missä

{ǫ t } ∼

^IID

(0, σ ² )

^ja

ǫ t

^onriippumatonmuuttujista

X _t− 1 , X _t− 2 , . . .

^.

Olkoonlisäksi

ǫ t

^:ntiheysfunktio

f ǫ : R → R

. Osoita, että

f X ₁ ,...,X _T (x 1 , . . . , x T ) = f X ₁ ,...,X _p (x 1 , . . . , x p )

T

Y

t=p+1

1 σ t

f ǫ

x t

σ t

.

HUOM. Tehtävä 6 kuuluu vain syventävien opintojen tenttiin. (Question 6

belongsonly tothe examinationatthe levelof syventävät opinnot.)

6. Olkoon

{X t }

stationaarinen GARCH(

p, q

^{)-prosessi ja oletetaan, että}

EX _t ⁴ < ∞

^ja

Eǫ ⁴ _t < ∞

^{.Osoita,että}

{X t ² }

^onARMA(

p ∨ q, q

)-prosessi, missä

p ∨ q = max{p, q}

^.