Matematiikan perusmetodit I/Sov.
Harjoitus 10, syksy 2009
1. Osoita, ett¨a funktiof(x) = x
x2+ 1, x∈R, on rajoitettu.
2. Olkoon f jatkuva funktio [0,1] → [0,1]. Osoita, ett¨a on olemassa x0 ∈ [0,1], jolle f(x0) =x0.
3. Olkoon f(x) =
x2sin1x ,kun x 6= 0 0 ,kun x = 0. Tutki onko f0(0) olemassa.
4. Tiedet¨a¨an, ett¨af0(x0) on olemassa. M¨a¨ar¨a seuraavat raja-arvot a) lim
h→0
f(x0+ 2h)−f(x0−h)
h ,
b) lim
x→x0
xf(x0)−x0f(x) x−x0 .
5. M¨a¨ar¨a¨a m¨a¨aritelm¨an avulla
f0(x0), kun f(x) = x1 ja x0 6= 0.
6. M¨a¨ar¨a¨a f0(x), kun
a) f(x) = (x2+ 5)5(x3−2)3 b) f(x) = x+1
x−1
3
c) f(x) = cos(x+ sinx) d) f(x) = q
xp x√
x e) f(x) =|x−1| f) f(x) = √ 1
x2+1
