Matematiikan perusmetodit I/Sov.
Harjoitus 10, syksy 2005
1. M¨a¨ar¨a¨a f0(x), kun
a) f(x) = cos(x+ sinx) b) f(x) = tanx 1 + tanx c) f(x) = arcsin
2x
x2+1
d) f(x) = arctan√ x e) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1) f) f(x) = logax√ x.
2. M¨a¨ar¨a¨a (f−1)0(x0), kun a) f(x) = ex +x ja x0 = 1, b) f(x) = 1 + 2x+2, x0 > 1.
3. M¨a¨ar¨a¨a f0(x), kun
a) f(x) = xxx, b) f(x) = xsin x, c) (logx)logx.
4. M¨a¨ar¨a¨a f(n)(x), kun f(x) = 1+x1−x, x 6= 1.
5. Osoita v¨aliarvolauseen avulla, ett¨a a) 1− a
b < log ab < ab −1, kun 0 < a < b.
b) 1+xx <log(1 + x) < x, kun x > −1 ja x 6= 0.
6. M¨a¨ar¨a¨a f0(x), kun a) f(x) = arc tan
x −1
x+ 1
+arc tan1
x, x 6= 0 ja x 6= −1.
b) f(x) = arc tan x−arc sin x
√
1 +x2.
Tutki f0(x):n avulla millaisia arvoja f(x) voi saavuttaa.
