Kotitehtävät, joulukuu 2011 Helpompi sarja
Palauta ratkaisusi 13.1. mennessä valmennusviikonlopun yhteydessä tai postitse Jouni Seppäselle.
Tiedustelut:jks@iki.fi, 050–524 9019.
1. Ratkaise yhtälöryhmä
x2+y2= 2z y2+z2= 2x z2+x2= 2y
reaaliluvuillax,y jaz.
2. Olkoonareaaliluku janpositiivinen kokonaisluku. Todista, että
bac= a
n
+ a+ 1
n
+· · ·+
a+n−1 n
.
Tässäbxctarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuinx.
3. Etsi kaikki positiivisten rationaalukujen parit(a, b), joille
√a+
√ b=
q 2 +√
3.
4. Koodilukossa on kymmenen näppäintä0,1, . . . ,9. Se avataan näppäilemällä nelinumeroinen koodi (jonka numeroissa voi olla toistoja). Lukko aukeaa heti, kun oikea lukujono on syötetty peräkkäisillä näppäilyillä siitä riippumatta, mitä näppäimiä on painettu aiemmin. Jos koodi sattuisi olemaan 2011, lukko aukeaisi esimerkiksi näppäilysarjalla 45652032011 mutta ei sarjalla 20011. Mikä on lyhyin lukujono, jonka näppäileminen avaa lukon varmasti, on sen koodi mikä hyvänsä?
5. Olkoota≤b≤csuorakulmaisen kolmion sivut. Todista, että
a >2(c−b).
6. OlkoonABC tasakylkinen kolmio, jossa∠A= 90◦. OlkoonM sivunAB keskipiste. PisteenAkautta suoraaCM vastaan kohtisuoraan piirretty suora leikkaa sivunBC pisteessäP. Osoita, että ∠AM C=∠BM P.
7. Olkoot x, y ja z positiivisia kokonaislukuja, joille 1x −y1 = 1z. Olkoon h lukujen suurin yhteinen tekijä. Todista, ettähxyzon kokonaisluvun neliö.
8. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja s= (a1, a2, . . . , a2n)jono ei-negatiivisia kokonaislukuja. Asetetaan f(s) = (|a1−a2|,|a2−a3|, . . . ,|a2n−a1|). Merkitäänfk:lla funktiotaf sovellettunakkertaa, siisf1(s) =f(s)jafk+1(s) = f(fk(s)), kun k = 1,2, . . .. Osoita, että näillä oletuksilla fk(s) = (0,0, . . . ,0) jollain k, mutta vastaava tulos ei välttämättä päde, jos jononspituus ei ole kahden potenssi.
9. Mille positiivisille kokonaisluvuilleajab on
a3+b3 11 alkuluvun potenssi?
10. Etsi kaikki kokonaisluvutn >1, joilla on seuraava ominaisuus: luvunn6−1 jokainen alkutekijä jakaa luvunn2−1 tain3−1.
