Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sisältävän rakenteen kuvantamisessa

Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sis¨ alt¨ av¨ an rakenteen

kuvantamisessa

Niko H¨ anninen

0 1 2

Z

6 3

4

6

2 4

Y

0 2

X -2 0

-4 -2

-4

-6 -6

Pro gradu -tutkielma

18. toukokuuta 2017

It¨ a-Suomen yliopisto

Sovelletun fysiikan laitos

IT ¨A-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja mets¨atieteiden tiedekunta Sovelletun fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen fysiikka

Niko H¨anninen: Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sis¨alt¨av¨an rakenteen kuvantamisessa

Pro Gradu -tutkielma, 51 sivua

Tutkielman ohjaajat: FT Aku Sepp¨anen (p¨a¨aohjaaja) ja FM Antti Voss Toukokuu 2017

Avainsanat: monitaajuusimpedanssitomografia, raudoite, korroosio, mf-EIT

Tiivistelm¨a

Impedanssitomografia (EIT) on s¨ahk¨oinen kuvantamismenetelm¨a, jossa tavoitteena on es- timoida mitattavan kohteen kompleksista admittiivisuusjakaumaa kohteen pinnalta tehty- jen potentiaalimittausten avulla. Menetelm¨a¨a voidaan soveltaa esimerkiksi teollisuuden ja l¨a¨aketieteen kuvantamisessa, ja laboratoriotutkimuksissa sen on havaittu olevan potentiaa- linen menetelm¨a betonin ainetta rikkomattomaan kuvantamiseen. Yleens¨a impedanssito- mografian mittauksissa k¨aytet¨a¨an yht¨a vaihtovirran taajuutta, mutta mittaukset voidaan suorittaa k¨aytt¨am¨all¨a useampaa taajuutta jolloin k¨aytet¨a¨an termi¨a monitaajuusimpedans- sitomografia (mf-EIT).

T¨ass¨a Pro Gradu -tutkielmassa tutustuttiin monitaajuusimpedanssitomografian teori- aan ja sovelluksiin. Tavoitteena oli tutkia menetelm¨an soveltumista raudoitteita sis¨alt¨av¨an rakenteen (kuten betonin) kuvantamiseen, ja erityisesti raudoitteiden korroosion havait- semista menetelm¨an avulla. Ty¨oss¨a suoritettiin kokeellinen osio, jossa tutustuttiin EIT:n mittausperiaatteeseen ja laboratoriomittausten avulla m¨a¨aritettiin elektrodien kontakti- impedanssit. Raudoitteiden korroosion havaitsemista mf-EIT:ll¨a tutkittiin numeeristen si- mulaatioiden avulla MATLAB-ohjelmalla. Kompleksisten admittiivisuusjakaumien rekon- struktiot laskettiin simuloidusta impedanssitomografiadatasta Bayesilaisten inversiomene- telmien avulla.

Laboratoriomittauksissa elektrodien kontakti-impedanssit m¨a¨aritettiin yksinkertais- ten impedanssimittausten avulla vesis¨aili¨oss¨a. Mittauksissa havaittiin mittauslaitteiston sis¨aisill¨a impedansseilla olevan merkitt¨av¨a vaikutus mittaustuloksiin, ja niiden huomioi- misella tulosten laatua saatiin merkitt¨av¨asti parannettua. M¨a¨aritetyt kontakti-impedanssit vastasivat kvalitatiivisesti muissa tutkimuksissa saatuja tuloksia.

Simulaatioissa rakenteen sis¨alt¨am¨an raudoitteen korroosiota simuloitiin mittausasetel- massa jossa kuvannettava kohde sis¨alsi metallirakenteen. Metallirakenteen ja ymp¨ar¨oiv¨an materiaalin v¨alist¨a kontakti-impedanssia muuttamalla simuloitiin korroosion muodostumis- ta metallikohteen pinnalle. Mittauksia usealla eri taajuudella simuloitiin muuttamalla sek¨a mittauselektrodien ett¨a metallirakenteen kontakti-impedansseja.

Korroosion muodostuminen metallikappaleen pintaan oli havaittavissa simulaatioista lasketuissa rekonstruktioissa. Korroosio oli havaittavissa admittiivisuuden reaali- ja/tai imagin¨a¨ariosassa, ja mittauksissa k¨aytetty vaihtovirran taajuus vaikutti korroosion havait- semiseen rekonstruktioissa. Erityisesti korkeilla taajuuksilla korroosion muodostuminen oli havaittavissa admittiivisuuden imagin¨a¨ariosassa ja matalilla taajuuksilla admittiivisuuden reaaliosassa. Raudoitteita sis¨alt¨av¨an materiaalin kuvantaminen on n¨aiden simulaatioiden perusteella mahdollista impedanssitomografian avulla, ja monitaajuusimpedanssitomogra- fian avulla rakenteesta voidaan saada enemm¨an tietoa kuin yhdell¨a taajuudella mitattaessa.

Sis¨ alt¨ o

1 Johdanto 1

2 Impedanssitomografia 3

2.1 Suora ongelma . . . 4

2.1.1 Variationaalimuoto ja FEM-approksimaatio . . . 7

2.2 K¨a¨anteisongelma . . . 10

2.3 Monitaajuusimpedanssitomografia . . . 12

2.4 Sovellukset . . . 13

2.4.1 Prosessitomografia . . . 13

2.4.2 L¨a¨aketieteen sovellukset . . . 14

2.4.3 Ainetta rikkomaton testaus . . . 15

3 Elektrodien kontakti-impedanssien kokeellinen m¨a¨aritt¨aminen 16 3.1 Mittausasetelma . . . 16

3.2 Tulokset . . . 21

4 Simulaatiot 24 4.1 Simulaatiot jatkuvan admittiivisuusjakauman tilanteessa . . . 25

4.1.1 Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta . . . 25

4.1.2 Tulokset ja pohdinta . . . 27

4.2 Simulaatiot sis¨aelektrodihilalla . . . 29

4.2.1 Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta . . . 29

4.2.2 Tulokset ja pohdinta . . . 31

4.3 Raudoitteen korroosion havaitseminen monitaajuusimpedanssitomo- grafian avulla . . . 33

4.3.1 Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta . . . 34

4.3.2 Tulokset ja pohdinta . . . 35

5 Johtop¨a¨at¨okset 41

1 Johdanto

Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on s¨ahk¨oinen ainetta rikkomaton kuvantamismenetelm¨a, jossa estimoidaan mitattavan kohteen admittiivi- suusjakaumaa. Impedanssitomografiamittauksissa kohteen pinnalle asetetaan elekt- rodit, joiden kautta kappaleeseen johdetaan heikkoa vaihtovirtaa ja mitataan sii- hen syntyv¨at potentiaalierot [1, 2]. Pinnalta tehdyist¨a potentiaalimittauksista voi- daan estimoida kohteen kompleksista admittiivisuusjakaumaa ja muodostaa kaksi- tai kolmiulotteinen rekonstruktio. Monissa tilanteissa admittiivisuusjakaumasta saa- daan tietoa kappaleen sis¨aisest¨a rakenteesta. Esimerkiksi keuhkojen sis¨alt¨am¨an ilman s¨ahk¨onjohtavuus on huomattavasti ymp¨ar¨oiv¨a¨a kudosta matalampi, jolloin keuhkojen sis¨alt¨am¨an ilman m¨a¨ar¨a¨a voidaan tarkkailla johtavuusjakauman avulla.

Impedanssitomografiaa voidaan soveltaa useilla eri aloilla, esimerkik- si l¨a¨aketieteellisess¨a kuvantamisessa ja teollisessa prosessitomografiassa.

L¨a¨aketieteellisess¨a kuvantamisessa menetelm¨a¨a voidaan k¨aytt¨a¨a esimerkiksi keuhko- jen ja p¨a¨an kuvantamiseen [3, 4]. Teollisuudessa impedanssitomografia soveltuu hyvin esimerkiksi sekoitusprosessien kuvantamiseen [5–8].

L¨a¨aketieteellisen ja teollisen kuvantamisen lis¨aksi impedanssitomografia on potentiaa- linen kuvantamismenetelm¨a betonin kuvantamiseen. Betoni on t¨all¨a hetkell¨a maail- man k¨aytetyin rakennusmateriaali [9]. Betonin raudoitteiden korroosio, halkeamat ja sen sis¨alt¨am¨a kosteus vaikuttavat betonirakenteen kest¨avyyteen merkitt¨av¨asti.

N¨aiden havaitseminen pinnalta k¨asin on usein mahdotonta, joten mittausmenetelm¨at n¨aiden ominaisuuksien selvitt¨amiseksi ovat t¨arkeit¨a. Impedanssitomografialla on ai- emmin monitoroitu kosteuden etenemist¨a [10] sek¨a paikannettu halkeamia ja raudoit- teita [9, 11] sementtipohjaisissa materiaaleissa. My¨os betoniraudoitteiden korroosion havaitseminen EIT:ll¨a voisi olla mahdollista, koska korroosion on havaittu vaikutta- van impedanssimittauksiin impedanssispektroskopiassa [12–15].

Yleens¨a impedanssitomografiassa mittaukset suoritetaan k¨aytt¨am¨all¨a yht¨a vaihtovir- ran taajuutta. Mittauksia voidaan tehd¨a my¨os usealla eri taajuudella, jolloin mene- telm¨a¨a kutsutaan nimell¨a monitaaajuusimpedanssitomografia (Multi-Frequency Elect- rical Impedance Tomography, mf-EIT). Monien materiaalien admittiivisuus riippuu vaihtovirran taajuudesta, jolloin usealla taajuudella mitattaessa kohteesta saadaan enemm¨an tietoa kuin yhdell¨a taajuudella. Impedanssitomografian k¨a¨anteisongelman

huonokuntoisuutta voidaan my¨os parantaa k¨aytt¨am¨all¨a useampaa taajuutta, jos koh- teen materiaalin ominaisuuksien taajuusriippuvuudesta tiedet¨a¨an tarpeeksi [16].

T¨ass¨a tutkielmassa tutustutaan monitaajuusimpedanssitomografian laskennallisiin menetelmiin. Tavoitteena on erityisesti tutkia monitaajuusimpedanssitomografian so- veltuvuutta raudoitteita sis¨alt¨av¨an rakenteen (kuten betonirakenteen) kuvantami- seen. T¨ass¨a ty¨oss¨a raudoitteiden vaikutusta mf-EIT mittauksiin ja rekonstruktioihin testataan yksinkertaisten laboratoriokokeiden ja numeeristen simulaatioiden avulla.

Simulaatioissa admittiivisuusjakaumien rekonstruktiot lasketaan Bayesilaisten mene- telmien avulla.

Luvussa 2 tutustutaan impedanssitomografian mittausperiaatteeseen, teoriaan ja sovelluksiin. Luvussa 3 esitell¨a¨an yksinkertainen mittausasetelma kontakti- impedanssien kokeelliseen m¨a¨aritt¨amiseen ja laboratoriokokeiden tulokset. Luvussa 4 tutkitaan impedanssitomografian soveltuvuutta raudoitteita sis¨alt¨av¨an materiaa- lin kuvantamiseen numeeristen simulaatioiden avulla, ja Luvussa 5 on esitelty t¨am¨an tutkielman johtop¨a¨at¨okset.

2 Impedanssitomografia

Kuva 1: Esimerkki impedanssitomografian mittausasetelmasta.

Kuvassa 1 on esitetty tyypillinen EIT:n mittausasetelma. Kappaleen pinnalle ase- tetaan elektrodit, ja heikkoa vaihtovirtaa sy¨otet¨a¨an kerrallaan kahden elektrodin avulla kappaleeseen ja mitataan elektrodeille syntyv¨at potentiaalit. Potentiaalimit- tauksista voidaan estimoida kappaleen kompleksista admittiivisuusjakaumaa. Usein sovelluksissa admittiivisuusjakauman sijaan estimoidaan pelk¨ast¨a¨an sen reaaliosaa eli johtavuusjakaumaa. T¨at¨a menetelm¨a¨a kutsutaan s¨ahk¨oiseksi resistanssitomogra- fiaksi (ERT, Electrical Resistance Tomography), vaikkakin joissakin yhteyksiss¨a siit¨a k¨aytet¨a¨an my¨os nimityst¨a impedanssitomografia. Etenkin matalilla taajuuksilla mo- nien materiaalien kapasitiiviset efektit ovat hyvin pieni¨a, jolloin admittiivisuus- ja johtavuusjakauma ovat hyvin l¨ahell¨a toisiaan.

Admittiivisuusjakauman lis¨aksi usein estimoidaan mittauksessa k¨aytett¨avien elekt- rodien kontakti-impedansseja. Kontakti-impedanssilla tarkoitetaan elektrodin ja mi- tattavan kohteen pinnan v¨alist¨a impedanssia, joka syntyy materiaalien rajapinnan s¨ahk¨oisest¨a kytkenn¨ast¨a. Kontakti-impedanssin suuruus riippuu elektrodien ja koh- teen materiaaleista ja niiden v¨alisest¨a kytkenn¨ast¨a, ja sen huomioiminen inversio- ongelman laskennassa parantaa rekonstruktion tarkkuutta.

Admittiivisuus- tai johtavuusjakauman estimoiminen mitatuista potentiaaleista on yleens¨a ep¨alineaarinen huonosti asetettu k¨a¨anteisongelma, mik¨a tarkoittaa sit¨a, ett¨a ongelmalla ei ole v¨altt¨am¨att¨a yksik¨asitteist¨a ratkaisua ja ratkaisu on herkk¨a pienil-

le mittausdatan muutoksille sek¨a mallinnusvirheille. T¨allaisten ongelmien ratkaise- misessa k¨aytet¨a¨an usein regularisointia. K¨a¨anteisongelman ratkaisemiseksi on my¨os ratkaistava suora ongelma, miss¨a ongelmana on ratkaista elektrodien j¨annitteet kun sy¨otetyt virrat ja kappaleen admittiivisuusjakauma tunnetaan. T¨all¨a hetkell¨a tarkin k¨ayt¨oss¨a oleva malli on niin sanottu t¨aydellinen elektrodimalli (Complete Electrode Model). Suora ongelma koostuu osittaisdifferentiaaliyht¨al¨ost¨a ja sen reunaehdoista, ja sen ratkaiseminen analyyttisesti on mahdollista yksinkertaisissa tapauksissa, mutta yleens¨a ongelma ratkaistaan numeerisesti. Er¨as yleisesti k¨aytetty numeerinen ratkai- sumenetelm¨a on ¨a¨arellisten elementtien menetelm¨a (Finite Element Method, FEM), miss¨a laskenta-alue diskretisoidaan ¨a¨arelliseen m¨a¨ar¨a¨an elementtej¨a joissa ongelma ratkaistaan.

Virtaa voidaan sy¨ott¨a¨a kappaleeseen usealla eri tavalla, mik¨a vaikuttaa siihen mi- ten paljon lineaarisesti riippumattomia mittauksia kappaleesta voidaan mitata [17].

Usein virtaa sy¨otet¨a¨an kahden elektrodin v¨alill¨a kerrallaan, ja elektrodien potenti- aalit mitataan muiden elektrodiparien v¨alill¨a. Virta sy¨otet¨a¨an yleens¨a joko kahden vastakkaisen tai vierekk¨aisen elektrodin v¨alill¨a. Virtaa voidaan sy¨ott¨a¨a my¨os useas- ta elektrodista samanaikaisesti, ja potentiaalit voidaan mitata kaikkien elektrodien v¨alill¨a suhteessa yhteen referenssielektrodiin.

2.1 Suora ongelma

Impedanssitomografian matemaattinen malli pohjautuu Maxwellin yht¨al¨oihin [18].

Maxwellin yht¨al¨ot ep¨ahomogeenisess¨a materiaalissa voidaan kirjoittaa muodossa

∇ ·D=ρc (2.1)

∇ ·B = 0 (2.2)

∇ ×E =−∂B

∂t (2.3)

∇ ×H =J+ ∂D

∂t , (2.4)

miss¨a E on s¨ahk¨okentt¨a,D s¨ahk¨ovuon tiheys, B magneettivuon tiheys, H magneet- tikent¨an voimakkuus, ρ_c varaustiheys ja J s¨ahk¨ovirran tiheys. Jos oletetaan ett¨a sy¨otetyt virrat ovat ajan suhteen harmonisia, s¨ahk¨okent¨alle ja magneettikent¨alle voi-

daan kirjoittaa kompleksiset faasoriesitykset

E =Ee^jωt (2.5)

B =Be^jω(t+φ), (2.6)

miss¨aωon s¨ahk¨ovirran taajuus,taika,φvaihe-ero jaj imagin¨a¨ariyksikk¨o. Jos v¨aliaine on lineaarista ja isotrooppista, s¨ahk¨ovuon tiheys ja magneettivuon tiheys voidaan kirjoittaa muodossa

D=_orE (2.7)

B =µH, (2.8)

miss¨a µ =µ(x) on v¨aliaineen magneettinen permeabiliteetti, _r = _r(x) suhteellinen permittiivisyys, ₀ tyhji¨on permittiivisyys ja xspatiaalinen koordinaatti. Yht¨al¨oiden (2.7) - (2.8) ja (2.5) - (2.6) avulla Maxwellin yht¨al¨ot (2.3) ja (2.4) voidaan kirjoittaa muodossa

∇ ×E =−jωµH (2.9)

∇ ×H =J +jω_0rE. (2.10)

Virrantiheys J voidaan kirjoittaa muodossa J =Js+Jo, miss¨aJs on kohteen sis¨all¨a olevien virranl¨ahteiden muodostama virrantiheys,J_o=σEohminen virta jaσ =σ(x) s¨ahk¨onjohtavuus. T¨all¨oin Maxwellin yht¨al¨ot (2.9) - (2.10) kappaleen sis¨all¨a voidaan kirjoittaa muodossa

∇ ×E =−jωµH (2.11)

∇ ×H = (σ+jω_0r)E+J_s. (2.12) Yleens¨a kappaleen sis¨all¨a ei ole s¨ahk¨ovirran l¨ahteit¨a, jolloin Js = 0.

S¨ahk¨okentt¨a kappaleen sis¨all¨a voidaan kirjoittaa muodossa E =−∇u+∂A

∂t (2.13)

miss¨au=u(x) on s¨ahk¨oinen potentiaali jaAmagneettinen vektoripotentiaali. Vaikka impedanssitomografiassa k¨aytet¨a¨an vaihtovirtaa, usein virran aikariippuvuutta ei ote- ta huomioon vaan s¨ahk¨okentt¨a approksimoidaan vakioksi ajan suhteen jolloin ^∂A_∂t ≈0.

T¨at¨a kutsutaan niin sanotuksi kvasistaattiseksi approksimaatioksi, ja se p¨atee varsin hyvin kun vaihtovirran taajuus on pieni. T¨all¨oin s¨ahk¨okentt¨a E kappaleen sis¨all¨a voidaan esitt¨a¨a muodossa

E =−∇u. (2.14)

Ottamalla yht¨al¨ost¨a (2.12) divergenssi puolittain ja sijoittamalla siihen yht¨al¨o (2.14) ja olettamalla J_s = 0 saadaan kirjoitettua malli kappaleen sis¨all¨a

∇ ·(σ+jω_0r)∇u= 0 x∈Ω, (2.15) miss¨a Ω on tarkasteltava alue.

Jos oletetaan alueeseen sy¨otetyt virrat Il tunnetuiksi, voidaan reunaehdot kirjoittaa muodossa

Z

el

(σ+jω_0r)∂u

∂ndS =I_l x∈e_l, l = 1,2, ..., L (2.16) (σ+jω_0r)∂u

∂n = 0 x∈∂Ω\

L

[

l=1

e_l, (2.17)

miss¨ae_lonl:nen elektrodin pinta,I_lsy¨otetty virta,Lelektrodien m¨a¨ar¨a,∂Ω alueen Ω reuna janpinnan yksikk¨onormaali joka suuntautuu ulos pinnasta. Reunaehdoissa toi- sin sanottuna virta jokaisen elektrodin l¨api on tunnettu, ja muualla kuin elektrodeilla virta reunan l¨api on nolla. T¨aydellinen elektrodimalli ottaa huomioon my¨os elekt- rodien ja kohteen v¨alisen kontakti-impedanssin. Kontakti-impedanssi syntyy elekt- rodien ja kohteen v¨alisist¨a s¨ahk¨okemiallisista reaktioista joissa sy¨otetty s¨ahk¨ovirta muuttuu kappaleessa ioniseksi virtaukseksi. Koko elektrodin voidaan olettaa olevan tasapotentiaalissa, ja kun otetaan huomioon kontakti-impedanssi voidaan potentiaali elektrodilla kirjoittaa muodossa

u+z_l(σ+jω_0r)∂u

∂n =U_l x∈e_l, l= 1,2, ..., L, (2.18) miss¨a U_l on potentiaali elektrodilla l ja z_l on elektrodin l kontakti-impedanssi.

T¨aydellinen elektrodimalli koostuu yht¨al¨ost¨a (2.15) sek¨a reunaehdoista (2.16) - (2.18)

∇ ·(σ+jω_0r)∇u= 0 x∈Ω (2.19)

u+z_l(σ+jω_0r)∂u

∂n =U_l x∈e_l, l = 1,2, ..., L (2.20)

Z

el

(σ+jω_0r)∂u

∂ndS =I_l x∈e_l, l = 1,2, ..., L (2.21) (σ+jω_0r)∂u

∂n = 0 x∈∂Ω\

L

[

l=1

e_l. (2.22)

N¨aiden lis¨aksi varauksen s¨ailymislain

L

X

l=1

Il= 0 (2.23)

on toteuduttava, eli kohteessa ei ole sis¨aisi¨a s¨ahk¨ovirran l¨ahteit¨a. Lis¨aksi jotta suoran ongelman yksik¨asitteinen ratkaisu olisi olemassa, t¨aytyy m¨a¨ar¨at¨a s¨ahk¨oisen potenti- aalin referenssitaso. T¨am¨a voidaan tehd¨a esimerkiksi asettamalla

L

X

l=1

U_l = 0, (2.24)

jolloin ratkaisu on olemassa ja se on yksik¨asitteinen [19].

2.1.1 Variationaalimuoto ja FEM-approksimaatio

Suoran ongelman (yht¨al¨ot (2.19) - (2.22)) ratkaisemiseen numeerisesti k¨aytet¨a¨an usein FEM-menetelm¨a¨a. FEM-menetelm¨ass¨a alkuper¨ainen ongelma kirjoitetaan niin sano- tussa variationaalimuodossa ja variationaaliongelman ratkaisemiseksi laskenta-alue jaetaan ¨a¨arelliseen m¨a¨ar¨a¨an elementtej¨a. Ongelman dimensiosta riippuen elementit voivat olla viivoja (1D), monikulmioita (2D) tai monitahokkaita (3D) ja ne koos- tuvat solmupisteist¨a ja sivuista. Variationaaliongelman ratkaisua approksimoidaan

¨

a¨arellisell¨a summalla

u(x)≈

K

X

i=1

u_iφ_i(x), (2.25)

miss¨a φ_i(x), i= 1,2, ..., K ovat kantafunktioita ja K solmupisteiden lukum¨a¨ar¨a. Ga- lerkinin FEM-approksimaatiossa testifunktiot v valitaan kantafunktioiksiφ_i. Kanta- funktiot voidaan valita vapaasti diskretoidusta ratkaisuavaruudesta, kunhan ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Kantafunktiotφ_i valitaan kuitenkin usein niin ett¨a ehto

φ_i(x_j) =







1, i=j 0, muulloin

(2.26) t¨ayttyy, miss¨a x_j ovat solmupisteit¨a. Kantafunktio φ_i saa siis arvon 1 solmupisteess¨a i ja muissa solmupisteiss¨a arvon 0. T¨all¨a valinnalla parametri ui on siis reuna-arvo- ongelman (2.19) - (2.22) ratkaisun approksimaatio solmupisteess¨a i kohteen sis¨all¨a.

Parametrisoidaan lis¨aksi potentiaaleja elektrodeilla summalla U^h ≈

L−1

X

j=1

β_jn_j (2.27)

miss¨a kantafunktiotn_jvoidaan valita esimerkiksi siten ett¨an₁ = (1,1,0,0, ...,0)^T ∈R, n₂ = (1,0,−1,0, ...,0)^T ∈ R ja niin edelleen jolloin ehto (2.24) t¨ayttyy. Nyt siis ker- toimienu_i ja β_i avulla voidaan laskea alkuper¨aisen ongelman potentiaalien suuruksia kappaleen sis¨all¨a ja elektrodeilla kaavan (2.27) avulla.

Valitaan testifunktiot v kuulumaan Sobolevin avaruuteen v ∈ H¹(Ω) ja V ∈ R^L. Nyt t¨aydellinen elektrodimalli (2.19) - (2.22) voidaan kirjoittaa variationaalimuodossa [2, 19]

B((u, U),(v, V)) =

L

X

l=1

I_lV_l, ∀(v, V)∈H (2.28) miss¨a H =H¹(Ω)×R^L ja B on bilineaarimuoto

B((u, U),(v, V)) =

Z

ω

(σ+jω_or)∇u· ∇vdx+

L

X

l=1

1 z_l

Z

el

(u−U_l)(v −V_l)dS. (2.29)

Sijoittamalla approksimaatiot (2.25) ja (2.27) variationaalimuotoon (2.28) ja valitse- malla v =φ_i ja V =n_j yht¨al¨o voidaan kirjoittaa matriisimuodossa [2]

Aθ =I, (2.30)

miss¨a θ = (u, β)^T,u= (u₁, u₂, ..., u_N) ja β = (β₁, β₂, ..., βL−1). Potentiaalien arvot u^h ja U^h saadaan siis ratkaistua

θ=A⁻¹I. (2.31)

Matriisi A on muotoa

A=





B C

C^T D



 (2.32)

miss¨a

B(i, k) =

Z

Ω

(σ+jω₀r)∇φi· ∇φkdx+

L

X

l=1

1 z_l

Z

el

φiφkdS (2.33) i, k = 1,2, ..., N

C(i, k) =− 1 z_l

Z

e1

φ₁dS− 1 z_k+1

Z

e_k+1

φ_idS

!

(2.34) i= 1,2, ..., N k = 1,2, ..., L−1

D(i, k) =

L

X

l=1

1 z_l

Z

el

(n_i)_l(n_k)_ldS (2.35)

=







|e₁|

z1 i6=k

|e1|

z1 +^|e_z^k+1|

k+1 i, k = 1,2, ..., L−1.

(2.36)

My¨os admittiivisuusjakauma esitet¨a¨an ¨a¨arellisulotteisessa kannassa, ja my¨ohemmin t¨ass¨a tutkielmassa γ tarkoittaa parametrivektoria joka sis¨alt¨a¨a admittiivisuuden ar- voja hilan solmupisteiss¨a.

Potentiaalit U^h elektrodeilla ovat nyt muotoa U₁^h =

L−1

X

l=1

β_l (2.37)

U₂^h =−β₁ (2.38)

U₃^h =−β₂ (2.39)

...

U_L^h =−βL−1, (2.40)

joka voidaan esitt¨a¨a matriisimuodossa

U^h =Cβ^T, (2.41)

miss¨a

C =































1 1 1 . . . 1

−1 0 0 . . . 0 0 −1 0 . . . 0 0 0 −1 . . . 0 ... ... ... . .. ...

0 0 0 . . . −1































. (2.42)

2.2 K¨ a¨ anteisongelma

K¨a¨anteisongelmassa tavoitteena on estimoida kappaleen admittiivisuusjakau- ma γ sek¨a elektrodien kontakti-impedanssit z mitattujen potentiaalien avulla.

K¨a¨anteisongelma on ep¨alineaarinen huonosti asetettu k¨a¨anteisongelma, eli ongelmalla ei ole v¨altt¨am¨att¨a yksik¨asitteist¨a ratkaisua ja pienet muutokset mitatuissa potenti- aaleissa aiheuttavat suuria muutoksia ratkaisussa. Rekonstruktio voidaan laskea joko differenssikuvantamisena tai absoluuttisena kuvantamisena [18]. T¨ass¨a ty¨oss¨a admit- tiivisuuden rekonstruktiot lasketaan absoluuttikuvantamisella Bayesilaisten inversio- menetelmien avulla [20].

Havaintomalli on nyt muotoa

U =R(γ, z, e), (2.43)

miss¨a U sis¨alt¨a¨a mitatut potentiaalit, R on havainto-operaattori (Kappaleesta 2.1), γ ja z estimoitavat parametrit ja e havaintokohina. Admittiivisuus γ ja kontakti- impedanssi z ovat kompleksisia suureita, eli ne voidaan esitt¨a¨a muodossa γ = γ₁+ jγ2 ja z = z1 +jz2. Estimoitavat admittiivisuuden parametrit ovat siis γ1 = σ ja γ₂ =ω_r0 edell¨a esitetyn teorian mukaisesti. Laskennassa vektorit γ ja z k¨asitell¨a¨an reaalisina muodossaγ = [γ₁ γ₂]^T ja z = [z₁z₂]^T, eli miss¨a reaali- ja imagin¨a¨ariosa on asetettu p¨a¨allekk¨ain. Jos havaintokohinan oletetaan olevan additiivista, malli voidaan kirjoittaa muodossa

U =R(γ, z) +e. (2.44)

Bayesilaisessa inversiossa tarkastellaan posterioritiheytt¨a π(γ, z|U) eli estimoitavien parametrien ehdollista todenn¨ak¨oisyystiheytt¨a ehdolla miss¨a mittauksetU tunnetaan.

Posterioritiheys voidaan kirjoittaa Bayesin kaavan avulla muodossa [20]

π(γ, z|U) = π(U|γ, z)π(γ, z)

π(U) ∝π(U|γ, z)π(γ, z), (2.45) miss¨a π(U|γ, z) on likelihood-funktio, π(γ, z) prioritiheys ja π(U) normalisointitermi joka ei riipu mittausdatasta U. Jos oletetaan ett¨a kohina eon normaalijakautunutta ja nollakeskiarvoista, voidaan likelihood-funktio kirjoittaa muodossa

π(U|σ, z)∝exp

−1

2(U −R(γ, z))^TΓ⁻¹_e (U−R(γ, z))

(2.46) miss¨a Γ_e on kohinan kovarianssimatriisi.

Prioritiheysπ(γ, z) sis¨alt¨a¨a ennakkotiedon estimoitavista parametreista. Jos admittii- visuusjakauman oletetaan olevan riitt¨av¨an sile¨a, voidaan parametrienγ₁jaγ₂prioriti- heyten¨a k¨aytt¨a¨a esimerkiksismoothness prior -tiheytt¨a [21].Smoothness prior -tiheys voidaan esitt¨a¨a t¨ass¨a tilanteessa muodossa

π(γi)∝exp

−1

2(γi−ηγi)^TΓ⁻¹_γi (γi−ηγi)

i= 1,2 (2.47) miss¨a η_γ on odotusarvo ja Γ_γ kovarianssimatriisi. Kontakti-impedanssien prioritihey- ten¨a k¨aytet¨a¨an t¨ass¨a ty¨oss¨a Gaussista prioritiheytt¨a

π(z_i)∝exp

−1

2(z_i−η_zi)^TΓ⁻¹_zi (z_i−η_zi)

i= 1,2 (2.48) miss¨a kovarianssimatriisi Γ_zi koostuu kahdesta komponentista

Γ_zi =aI +b1 (2.49)

miss¨a I on yksikk¨omatriisi ja

1=



















1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 ... ... . .. ...

1 1 · · · 1



















. (2.50)

Kovarianssimatriisin ensimm¨ainen termiaI m¨a¨aritt¨a¨a kontakti-impedanssien prioriti- heyden t¨aysin korreloimattoman osan, ja j¨alkimm¨ainen termib1t¨aysin korreloituneen osan.

Merkit¨a¨an θ = [γ₁γ₂ z₁−z₂]^T vektoria joka sis¨alt¨a¨a kaikki estimoitavat parametrit ja η_θ = [η_γ1 η_γ2 η_z1 −η_z2]^T niit¨a vastaavat odotusarvot. Kontakti-impedanssia mallin- netaan kytkent¨an¨a jossa on sek¨a resistiivinen ett¨a kapasitiivinen komponentti, jolloin sen imagin¨a¨ariosaz₂ on negatiivinen. My¨ohemmin esitelt¨av¨an positiivisuusrajoitteen yksinkertaistamiseksi estimoitavaksi parametriksi valitaan−z₂, jolloin kaikki estimoi- tavat parametrit voidaan rajoittaa positiivisiksi. Jos lis¨aksi oletetaan ett¨aγ₁, γ₂, z₁ ja z₂ ovat kesken¨a¨an riippumattomia, voidaan Γ_θ kirjoittaa muodossa

Γ_θ =

















Γ_γ1 0 0 0

0 Γ_γ2 0 0 0 0 Γ_z1 0 0 0 0 Γ−z2

















. (2.51)

Posterioritiheys on nyt muotoa π(θ|U)∝exp

−1

2(U −R(θ))^TΓ⁻¹_e (U −R(θ))−1

2(θ−η_θ)^TΓ⁻¹_θ (θ−η_θ)

. (2.52) Maximum a posteriori -estimaatti (MAP) on posteriorifunktion maksimipiste

θ_MAP = arg max

θ {π(θ|U)}. (2.53) Jos lis¨aksi huomioidaan suureidenγ1, γ2, z1 jaz2 positiivisuusrajoite, MAP -estimaatti saadaan minimointiongelman

arg min

θ≥0{(U −R(θ))^TΓ⁻¹_e (U −R(θ)) + (θ−η_θ)^TΓ⁻¹_θ (θ−η_θ)} (2.54)

= arg min

θ≥0{kL_e(U −R(θ))k²+kL_θ(θ−η_θ)k²}, (2.55) ratkaisuna, miss¨aL^T_eL_e = Γ⁻¹_e ja L^T_θL_θ = Γ⁻¹_θ . Minimointiongelma voidaan ratkaista iteratiivisesti Gauss-Newton-algoritmilla

θˆ_k+1 = ˆθ_k+α(J_k^TΓ⁻¹_e J_k+L^T_θL_θ)⁻¹(J_k^TΓ⁻¹_e (U −R(ˆθ_k))−Γ⁻¹_θ (ˆθ_k−η_θ)), (2.56) miss¨a ˆθkon ratkaisu pisteess¨ak,JkoperaattoriaRvastaava Jacobin matriisi pisteess¨a θˆ_k jaαaskelparametri. T¨ass¨a ty¨oss¨a suunta (J_k^TΓ⁻¹_e J_k+L^T_θL_θ)⁻¹(J_k^TΓ⁻¹_e (U−R(ˆθ_k))−

Γ⁻¹_θ (ˆθ_k−η_θ)) ratkaistaan ensin, jonka j¨alkeen askelparametri α valitaan linjahakual- goritmin avulla ja positiivisuusrajoite toteutetaan exterior point-menetelm¨an avulla.

Menetelm¨a Jacobin matriisinJ_k m¨a¨ar¨a¨amiseksi on esitetty viitteess¨a [22].

2.3 Monitaajuusimpedanssitomografia

Yleens¨a impedanssitomografian mittaukset suoritetaan k¨aytt¨am¨all¨a yht¨a vaihto- virran taajuutta v¨alilt¨a 1-100 kHz [2]. Impedanssitomografiassa voidaan k¨aytt¨a¨a my¨os useampaa mittaustaajuutta, jolloin kohteesta saadaan enemm¨an tietoa ja/tai k¨a¨anteisongelman huonokuntoisuutta voidaan parantaa [16, 23]. Yleens¨a materiaa- lin admittiivisuus riippuu vaihtovirran taajuudesta, joten k¨a¨anteisongelman huono- kuntoisuutta ei voi suoraan parantaa lis¨a¨am¨all¨a mittauksia eri taajuudella. Jos mi- tattavan kohteen s¨ahk¨oisten ominaisuuksien ja taajuuden riippuvuudesta tiedet¨a¨an etuk¨ateen, saadaan k¨a¨anteisongelman huonokuntoisuutta parannettua suorittamalla mittauksia usealla eri taajuudella. Monitaajuusimpedanssitomografia ei ole vakiintu-

neessa k¨ayt¨oss¨a sovelluksissa, mutta laboratoriokokeissa sen on havaittu olevan po- tentiaalinen kuvantamismenetelm¨a erityisesti l¨a¨aketieteen kuvantamisessa [24–30].

2.4 Sovellukset

2.4.1 Prosessitomografia

Teollisuudessa on monia prosesseja, joissa on oleellista tiet¨a¨a putkissa, s¨aili¨oiss¨a tai sekoittimissa olevan seoksen koostumus [5,31]. Esimerkiksi paperiteollisuudessa pape- rin valmistuksessa k¨aytett¨avien kemikaalien tehokas sekoittaminen v¨ahent¨a¨a raaka- aineiden hukkaa sek¨a parantaa lopputuotteen laatua [32]. Tyypillisi¨a tarkkailtavia asioita prosessitomografiassa ovat sekoituksen tila, kaasujen m¨a¨ar¨an estimointi tai massan virtauksen estimointi [6]. Erityisesti sekoitusprosesseissa lopputuloksen laa- tu riippuu hyvin vahvasti sekoittamisen onnistumisesta, joten prosessin mallinnus ja tarkkailu on eritt¨ain t¨arke¨a¨a. Kompleksisen admittiivisuusjakauman sijaan useim- missa prosessitomografian sovelluksissa tarkastellaan pelk¨ast¨a¨an johtavuusjakaumaa, ja t¨ass¨a luvussa esitellyt prosessitomografian menetelm¨at perustuvat reaalisen johta- vuusjakauman estimointiin eli resistanssitomografiaan. Impedanssitomografia sovel- tuu hyvin nesteiden ja kaasujen sekoituksen tarkasteluun, jos sekoitettavien aineiden johtavuudet poikkeavat riitt¨av¨asti toisistaan jotta ne voidaan havaita admittiivisuus- jakaumasta [5]. Esimerkiksi suolaveden ja vesijohtoveden sekoittumisen tilaa voidaan tarkkailla impedanssitomografian avulla [33].

Sekoitusprosessien lis¨aksi toinen merkitt¨av¨a teollisuuden kuvantamiskohde on proses- siputkistot [8,34,35]. Mielenkiinnon kohteena on yleens¨a putkistoissa virtaavan fluidin koostumus, virtausnopeus tai mahdolliset ep¨apuhtaudet kuten ilmakuplat tai kiinte¨at materiaalit. Usein putkistoissa virtaavien aineiden admittiivisuudet poikkeavat toisis- taan, jolloin niiden kuvantaminen on mahdollista impedanssitomografian avulla. Esi- merkiksi multifaasivirtauksessa veden ja ilman jakaumaa on mahdollista kuvantaa impedanssitomografian avulla [35, 36].

Impedanssitomografian etuja prosessitomografian sovelluksissa ovat mittalaitteiston edullisuus, yksinkertaisuus, turvallisuus sek¨a nopea mittaustaajuus. Korkean mittaus- taajuuden vuoksi impedanssitomografiaa voidaan k¨aytt¨a¨a kohteisiin joissa muutokset tapahtuvat nopeasti. Mittauslaitteisto on my¨os yleens¨a yksinkertainen ja kest¨a¨a hyvin

teollisuuden prosessien haastavia olosuhteita, kuten suuria l¨amp¨otilavaihteluita [35].

2.4.2 L¨a¨aketieteen sovellukset

Impedanssitomografia ei ole vakiintuneessa k¨ayt¨oss¨a l¨a¨aketieteen kuvantamisessa, mutta sit¨a on tutkittu runsaasti ja sen on havaittu olevan potentiaalinen menetelm¨a useiden ihmiskehon toimintojen kuvantamiseen. Impedanssitomografiaa k¨aytt¨avi¨a kaupallisia l¨a¨aketieteellisi¨a sovelluksia on my¨os olemassa useita. [3]

Biologiset kudokset sis¨alt¨av¨at ioneja, joiden seurauksena kudokset johtavat s¨ahk¨o¨a.

S¨ahk¨onjohtavuus vaihtelee eri kudosten v¨alill¨a, ja esimerkiksi lihaskudos johtaa s¨ahk¨o¨a huomattavasti paremmin kuin luu [3, 37]. S¨ahk¨onjohtavuuden lis¨aksi kudok- sissa on kapasitiivisia rakenteita, joten my¨os kudosten permittiivisyys eroaa my¨os toisistaan. Koska kehon eri kudosten admittiivisuus vaihtelee runsaasti, voidaan im- pedanssitomografian avulla kuvantaa kehon eri kohteita. Usein my¨os l¨a¨aketieteen so- velluksissa tarkastellaan reaalista johtavuusjakaumaa admittiivisuusjakauman sijaan, jolloin impedanssitomografiaa voidaan k¨aytt¨a¨a l¨a¨aketieteess¨a esimerkiksi vatsalaukun tyhjentymisen ja toiminnan tarkastelussa [38], rintasy¨ov¨an kuvantamisessa [26, 39], keuhkojen toiminnan tarkastelussa [40, 41] ja p¨a¨an alueen kuvantamisessa [4, 25, 42].

My¨os esimerkiksi veren johtavuus on huomattavasti suurempi kuin monien kudosten, jolloin veren m¨a¨ar¨an lis¨a¨antyminen kudoksissa voidaan havaita kudoksen kasvaneena johtavuutena. Yhdell¨a vaihtovirran taajuudella tehtyjen mittausten lis¨aksi monitaa- juusimpedanssitomografian on havaittu olevan potentiaalinen menetelm¨a biologisten kudosten kuvantamiseen laboratoriokokeissa [24–26, 43]. Admittiivisuusjakauman on havaittu my¨os tarjoavan enemm¨an tietoa kohteesta reaaliseen johtavuusjakaumaan verrattuna, mutta sen estimoiminen luotettavasti on laskennallisesti haastavaa [29,30].

L¨a¨aketieteellisess¨a kuvantamisessa impedanssitomografialla on useita etuja muihin to- mografisiin kuvantamismenetelmiin, kuten magneetti- tai r¨ontgenkuvantamiseen ver- rattuna [3,37]. Impedanssitomografia on suhteellisen edullinen menetelm¨a, mittauksia voidaan tehd¨a hyvin suurella taajuudella ja nykyisen tiedon mukaan mittaukset eiv¨at ole terveydelle haitallisia. Lis¨aksi menetelm¨a soveltuu my¨os pidempiaikaiseen tarkkai- luun, sek¨a spektrimittausten avulla kudoksia voidaan karakterisoida. Impedanssito- mografian suurimpana heikkoutena voidaan pit¨a¨a matalaa spatiaalista resoluutiota, joka on huomattavasti pienempi kuin magneetti- tai r¨ontgenkuvantamisessa. My¨os

kehon ep¨as¨a¨ann¨ollinen ja vaihteleva muoto aiheuttaa merkitt¨avi¨a haasteita lasken- nassa.

2.4.3 Ainetta rikkomaton testaus

Ainetta rikkomattomalla testauksella tarkoitetaan materiaalien, rakenteiden ja kom- ponenttien ominaisuuksien testaamista ja arvioimista ainetta rikkomatta. Usein ta- voitteena on l¨oyt¨a¨a materiaalista rakenteellisia vikoja tai heikkouksia, kuten halkea- mia betonirakenteista. Ainetta rikkomattomaan testaukseen on kehitetty useita me- netelmi¨a, kuten ultra¨a¨aneen, s¨ahk¨omagneettiseen s¨ateilyyn sek¨a optisiin ilmi¨oihin pe- rustuvia menetelmi¨a. My¨os impedanssitomografiaa voidaan k¨aytt¨a¨a esimerkiksi be- tonin ainetta rikkomattomassa kuvantamisessa [10, 11, 44, 45].

Betonin s¨ahk¨oisi¨a ominaisuuksia on tutkittu runsaasti, ja betonin raudoitteiden kor- roosio, halkeamat ja sen sis¨alt¨am¨a kosteus vaikuttavat betonin s¨ahk¨oisiin ominai- suuksiin [11, 46–48]. Korkeilla taajuuksilla betonilla on sek¨a resistiivisi¨a ett¨a kapa- sitiivisi¨a ominaisuuksia, mutta alle 1 kHz taajuudella betoni k¨aytt¨aytyy pelk¨ast¨a¨an resistiivisesti joten admittiivisuuden sijaan voidaan tarkastella pelk¨ast¨a¨an reaalista johtavuutta [9]. Resistanssitomografian avulla on mahdollista m¨a¨aritt¨a¨a esimerkiksi betonin sis¨alt¨amien raudoitteiden sijainti [11], halkeamia [44] ja kosteutta [10].

Impedanssispektroskopian avulla on pystytty mittamaan betonin raudoitteiden kor- roosiota laboratiotesteiss¨a [12–15]. Impedanssispektroskopia on s¨ahk¨oisiin mittauk- siin perustuva mittausmenetelm¨a, jossa kohteen pinnalta tehtyjen impedanssimittaus- ten saadaan tietoa kohteen sis¨aisest¨a rakenteesta. Koska raudoitteiden korroosio vai- kuttaa pinnalta tehtyihin impedanssimittauksiin, korroosion havaitseminen saattaa olla my¨os mahdollista monitaajuusimpedanssitomografian avulla. Luvussa 4 tutki- taan monitaajuusimpedanssitomografian soveltumista raudoitteita sis¨alt¨av¨an raken- teen kuvantamiseen simulaatioiden avulla.

3 Elektrodien kontakti-impedanssien kokeellinen m¨ a¨ aritt¨ aminen

T¨ass¨a ty¨on osassa tavoitteena oli m¨a¨aritt¨a¨a metallisten elektrodien ja veden v¨alisen kontakti-impedanssin suuruus taajuuden funktiona yksinkertaisten laboratoriotes- tien avulla. Kontakti-impedanssin suuruus riippuu elektrodien ja kohteen materi- aalista, s¨ahk¨oisest¨a kontaktista sek¨a k¨aytetyst¨a vaihtovirran taajuudesta. Kontakti- impedanssit voivat aiheuttaa merkitt¨av¨a¨a mallinnusvirhett¨a EIT:n mittauksiin jos niit¨a ei oteta mallissa huomioon.

3.1 Mittausasetelma

Mittaukset suoritettiin suorakulmaisessa akryylista valmistetussa s¨aili¨oss¨a, jonka mo- lemmissa p¨aiss¨a oli koko p¨a¨adyn peitt¨av¨a metallinen levy. S¨aili¨o t¨aytettiin vesi- johtovedell¨a, ja p¨a¨atyjen metallilevyj¨a k¨aytettiin elektrodeina joiden avulla s¨aili¨o¨on sy¨otettiin matalatehoista vaihtovirtaa. Vesitankkiin syntynytt¨a potentiaalikentt¨a¨a mi- tattiin kuuden veteen upotetun metallisen sauvaelektrodin avulla. Asetelmaa vastaava kaaviokuva on esitetty Kuvassa 2a ja sit¨a vastaava kytkent¨akaavio Kuvassa 2b.

(a) (b)

Kuva 2: Kaaviokuva mittausasetelmasta (a) ja asetelman ensimm¨aist¨a mittausta vas- taava kytkent¨akaavio (b).

Kytkent¨akaaviossa Z₁ ja Z₂ ovat p¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssit, Z_e sau-

vaelektrodin kontakti-impedanssi, Z_M mittalaitteen sis¨ainen impedanssi, R₁ veden aiheuttama resistanssi ensimm¨aisen p¨a¨atyelektrodin ja ensimm¨aisen sauvaelektro- din v¨alill¨a ja R_n veden aiheuttama resistanssi ensimm¨aisen sauvaelektrodin jatoisen p¨a¨atyelektrodin v¨alill¨a. ImpedanssitZ₁, Z₂, Z_ejaZ_M ovat kompleksisia, ja resistanssit R₁ ja R_n ovat reaalisia.

Mittalaitteena k¨aytettiin Stanford Research Systems:in SR830 DSP Lock-in Amplifier -laitetta. Mittalaitteesta sy¨otettiin tehollisarvoltaan vakiota vaihtoj¨annitett¨a muunti- meen, joka muutti j¨annitteen tehollisarvoltaan vakioksi vaihtovirraksi. Muuntimesta virta johdettiin vesis¨aili¨on p¨a¨atyelektrodeihin, ja syntyneet potentiaalien amplitudit ja vaihe-erot mitattiin samalla mittalaitteella Kuvan 2a mukaisesti. Mittaukset suo- ritettiin k¨aytt¨am¨all¨a useita vaihtovirran taajuuksia v¨alilt¨a 1 - 10 000 Hz.

Kontakti-impedansseja m¨a¨aritettiin ensin yksinkertaisen mallin avulla, miss¨a mitat- tuihin potentiaaleihin vaikuttaa ainoastaan p¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssit sek¨a veden aiheuttama reaalinen resistanssi. Yksinkertaisessa mallissa ei siis huomioi- tu mittalaitteen sis¨aist¨a impedanssiaZ_M eik¨a sauvaelektrodien kontakti-impedansseja Ze. T¨all¨oin p¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssi aiheuttaisi potentiaalieron elektro- din ja veden rajapinnalla, mink¨a seurauksena potentiaaliero p¨a¨adyn ja ensimm¨aisen sauvaelektrodin v¨alill¨a olisi suurempi kuin pelkk¨a veden resistanssin aiheuttama po- tentiaaliero ja mitatut potentiaalit olisivat k¨aytt¨aytyneet kuten Kuvassa 3a. T¨all¨oin kontakti-impedanssit pystytt¨aisiin m¨a¨aritt¨am¨a¨an ensimm¨aisen ja viimeisen potenti- aalimittauksen erotuksesta sovitettuun suoraan n¨ahden.

x [m]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

U [V]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(a)

x (m)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

U (V)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

(b)

x (m)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

U (V)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

(c)

Kuva 3: Yksinkertaisen mallin avulla ennustetut mittaukset (a) ja mittauksissa ha- vaitut er¨a¨at potentiaalimittaukset (b) ja (c).

Mittauksissa kuitenkin havaittiin ett¨a mitatut potentiaalit eiv¨at k¨aytt¨aydy mal- lin mukaisesti, vaan s¨ahk¨oisesti positiivisen potentiaalin p¨a¨atyelektrodin aiheuttama potentiaalin muutos suoraan n¨ahden oli huomattavasti pienempi kuin negatiivisen p¨a¨atyelektrodin. Kuvassa 3b on esitetty er¨a¨an potentiaalimittauksen tulokset, ja ha- vaitaan ett¨a ensimm¨aisen p¨a¨atyelektrodin aiheuttama potentiaalin muutos on huo- mattavasti suurempi kuin toisen p¨a¨atyelektrodin. Kun mittausasetelmaa vaihdettiin siten ett¨a p¨a¨atyelektrodien paikkaa vaihdettiin kesken¨a¨an, potentiaalin muutos on j¨alleen pienempi ensimm¨aisell¨a p¨a¨atyelektrodilla (Kuvassa 3c). Huomattavasti toisis- taan poikkeava potentiaalin muutos p¨a¨atyelektrodeilla ei johdu siis p¨a¨atyelektrodien ominaisuuksista. Yksinkertaisen mallin oletuksien lis¨aksi mittauksiin vaikuttaa mer- kitt¨av¨asti my¨os sauvaelektrodien kontakti-impedanssit sek¨a mittalaitteen sis¨ainen im- pedanssi. N¨aiden estimoimiseksi johdettiin mittausasetelmaa paremmin vastaava mal- li, jossa huomioitiin my¨os mittalaitteen sis¨ainen impedanssi ZM ja sauvaelektrodien kontakti-impedanssit Z_e.

Sauvaelektrodien ja p¨a¨atyelektrodien avulla vesis¨aili¨ost¨a saadaan mitattua seitsem¨an potentiaalimittausta V = [V₁V₂ ... V₇]^T Kuvan 2a mukaisesti. Kuvassa 2b on esitetty ensimm¨aisen mittauksen kytkent¨akaavio, josta saadaan kirjoitettua yht¨al¨ot

I =I₁ +I₂ (3.1)

V₁ =Z_MI₂ (3.2)

I₁(R₁ +Z₁) = I₂(Z_e+Z_M), (3.3) miss¨a V₁ on mittalaitteella mitattu j¨annite ja I, I₁ ja I₂ piiriss¨a kulkevat virrat kyt- kent¨akaavion mukaisesti, joista virtaI tunnetaan. Yht¨al¨oist¨a saadaan ratkaistua po- tentiaali V₁

V₁ =I (R₁+Z₁)Z_M

(R₁+Z₁+Z_e+Z_M). (3.4) Veden johtavuus mitattiin johtavuusmittarilla, jolloin veden aiheuttama resistanssi R₁ saadaan laskettua kaavalla

R= s Aσw

(3.5) miss¨aA on vesis¨aili¨on poikkipinta-ala,s et¨aisyys p¨a¨atyelektrodista mittaavaan elekt- rodiin ja σ_w veden johtavuus.

Toisella sauvaelektrodilla mitattaessa kytkent¨a ja yht¨al¨ot (3.1) - (3.3) ovat muuten samat, mutta veden aiheuttama resistanssi on nyt suurempi. T¨all¨oin siis kaavassa (3.3) R₁ korvautuu resistanssilla R₂ ja vastaavasti voidaan ratkaista potentiaaliV₂

V₂ =I (R₂+Z₁)Z_M

(R₂+Z₁+Z_e+Z_M). (3.6) Samoin voidaan ratkaista muut sauvaelektrodeilla mitatut potentiaalit. Viimeisess¨a mittauksessa potentiaali V₇ mitataan p¨a¨atyelektrodien v¨alill¨a, jolloin veden aiheut- taman reaalisen resistanssin R₇ lis¨aksi yht¨al¨o¨on (3.3) vaikuttaa p¨a¨atyelektrodin kontakti-impedanssi Z₂, jolloin yht¨al¨oksi saadaan

I₁(R₇+Z₂+Z₁) =I₂(Z_e+Z_M). (3.7) Potentiaali V₇ voidaan ratkaista samoin kuin edell¨a

V7 =I (R₇+Z₂+Z₁)Z_M

(R₇+Z₂+Z₁ +Z_e+Z_M). (3.8)

Edell¨a esitettyjen yht¨al¨oiden avulla potentiaaleille V_i voidaan muodostaan havainto- mallit

V_i =H_i(Z₁, Z₂, Z_e, Z_M) +e_i (3.9) miss¨a e_i on mittauskohina. Havaintomallit voidaan kirjoittaa muodossa

V =H(Z₁, Z₂, Z_e, Z_M) +e, (3.10) miss¨a H = (H₁ H₂... H₇)^T ja e = (e₁e₂ ... e₇)^T. Koska potentiaalit V ovat komplek- sisia, voidaan havaintomalli esitt¨a¨a muodossa

V¹ +jV² =H¹(Z₁, Z₂, Z_e, Z_M) +jH²(Z₁, Z₂, Z_e, Z_M) +e. (3.11) T¨am¨a voidaan esitt¨a¨a reaaliarvoisena muodossa





V¹ V²



=





H¹(Z₁, Z2, Ze, ZM) H²(Z₁, Z₂, Z_e, Z_M)



+





e¹ e²



 (3.12)

miss¨a e = e¹ + je². Estimoitavat impedanssit voidaan my¨os esitt¨a¨a muodossa Z_i = Z_i¹ +jZ_i². Olkoon κ = [Z₁¹Z₂¹ Z_e¹Z_M¹ Z₁²Z₂²Z_e² Z_M² ]^T vektori joka sis¨alt¨a¨a esti- moitavat (reaaliset) parametrit. N¨aiden merkint¨ojen avulla havaintomalli (3.12) voi- daan kirjoittaa muodossa

V˜ = ˜H(κ) +e, (3.13)

miss¨a ˜V = [V^1T V^2T]^T ja ˜H = [H¹(κ)^T H²(κ)^T]^T. Estimaatit voidaan laskea Gauss- Newton algoritmin avulla

ˆ

κ_i+1 = ˆκ_i+α(J_i^TJ_i+λI)⁻¹J_i^T( ˜V −H( ˆ˜ κ_i)), (3.14) miss¨a ˜V ja ˜H ovat kuten yht¨al¨oss¨a (3.12),J_i kuvauksen ˜H Jacobin matriisi pisteess¨a κ_i, α askelparametri jaλ regularisointiparametri. Parametrit κ estimoitiin jokaisella taajuudella erikseen edell¨a esitetyll¨a tavalla.

3.2 Tulokset

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

−60

−40

−20 0 20 40 60

f [Hz]

z [Ω]

Re(z1) Im(z1)

|z1|

(a)

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

−60

−40

−20 0 20 40 60

f [Hz]

z [Ω]

Re(z2) Im(z2)

|z2|

(b)

Kuva 4: P¨a¨atyelektrodien estimoidut kontakti-impedanssitZ1 (a) jaZ2 (b) taajuuden f funktiona.

Kuvissa 4a ja 4b on esitetty estimoidut p¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssit Z₁ ja Z₂ taajuuden funktiona. Kontakti-impedanssin reaali- ja imagin¨a¨ariosan itseisar- vo laskee taajuuden kasvaessa, mik¨a vastaa muiden tutkimuksien tuloksia [49–51].

P¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssin estimaatit ovat my¨os l¨ahell¨a toisiaan. Korkeil-

la taajuuksilla (noin 1000 Hz ja yli), kontakti-impedanssien reaali- ja imagin¨a¨ariosan estimaatit eiv¨at estimoidu en¨a¨a oikein, vaan osa parametrien etumerkeist¨a estimoi- tuu v¨a¨arin. Syyn¨a t¨ah¨an voi olla mittausdatan pieni amplitudi ja mittauslaitteiston suurempi ep¨atarkkuus korkeilla taajuuksilla. My¨os mittausasetelman mallinnusvir- heet voivat aiheuttaa merkitt¨av¨a¨a virhett¨a estimaatteihin korkeilla taajuuksilla, jos kaikkia kapasitiivisia kytkent¨oj¨a ei ole mallinnettu oikein.

f [Hz]

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

z [Ω]

×10⁴

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Re(zM) Im(zM)

|zM|

Kuva 5: Mittalaitteen estimoitu sis¨ainen impedanssi Z_M taajuuden f funktiona.

Kuvassa 5 on esitetty estimoitu mittalaitteen sis¨ainen impedanssi Z_M taajuuden f funktiona. Valmistajan ilmoittama mittalaitteen sis¨ainen vastus on 10 kΩ, mik¨a on l¨ahell¨a estimoitua impedanssia. Mittalaitteen sis¨ainen impedanssi on huomattavasti suurempi kuin muut mitatut impedanssit ja siten mittalaitteen l¨api kulkeva virta on hyvin pieni. Sis¨aisen impedanssin estimoiminen tarkasti on haasteellista, koska estimaatista laskettu malli sovittuu hyvin mittausdataan kun sis¨aisen impedanssin estimaatti on riitt¨av¨an suuri.

f [Hz]

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

z [Ω]

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Re(ze) Im(ze)

|z_e|

Kuva 6: Sauvaelektrodien estimoitu kontakti-impedanssiz_e taajuuden f funktiona.

Kuvassa 6 on esitetty estimoitu sauvaelektrodien kontakti-impedanssiZ_e taajuudenf funktiona. Sauvaelektrodien kontakti-impedanssi on huomattavasti p¨a¨atyelektrodien kontakti-impedanssia suurempi, koska niiden ja veden v¨alinen pinta-ala oli huomat- tavasti pienempi. Sauvaelektrodien kautta kulkeva virta on hyvin pieni verrattuna p¨a¨atyelektrodien kautta kulkevaan virtaan. T¨am¨an vuoksi malli ei ole herkk¨a sauvae- lektrodien impedanssin arvoille ja siksi my¨os sauvaelektrodien impedanssin tarkka estimoiminen on haasteellista.

Tarkemman mallin avulla estimoidut parametrit k¨aytt¨aytyv¨at loogisemmin kuin yk- sinkertaisemman mallin avulla lasketut parametrit. Vaikka mittalaitteen sis¨ainen im- pedanssi on suuri ja sen l¨api kulkeva vuotovirta on pieni, se voi aiheuttaa merkitt¨av¨a¨a mallinnusvirhett¨a jos vuotovirtaa ei oteta huomioon.

4 Simulaatiot

T¨ass¨a ty¨on osassa tavoitteena oli tutkia simulaatioiden avulla voidaanko rakenteen sis¨alt¨am¨an metallin korroosiota havaita monitaajuusimpedanssitomografian avul- la. Mittausasetelmana simulaatioissa oli ympyr¨asylinterin muotoinen s¨aili¨o jonka sis¨all¨a oli ympyr¨asylinterin muotoinen tausta-admittiivisuudesta poikkeava inkluusio.

S¨aili¨on ulkopinnalla oli 16 elektrodia joiden avulla simuloidut mittaukset suoritettiin.

Poikkileikkaus mittausasetelmasta on esitetty Kuvassa 7.

Kuva 7: Poikkileikkaus EIT-simulaatioissa k¨aytetyst¨a mittausasetelmasta.

Potentiaalimittauksia simuloitiin laskemalla elektrodeille muodostuvat potentiaalit Kappaleen 2.1 mukaisesti. Simuloiduista potentiaalimittauksista estimoitiin kohteen sis¨aist¨a admittiivisuusjakaumaa ja kontakti-impedansseja Luvussa 2 esitetyll¨a ta- valla. Mittauksien simulointi ja rekonstruktioiden laskenta toteutettiin MATLAB- ohjelmalla. Kaikki simulaatiot ja laskenta on suoritettu kolmiulotteisessa hilas- sa, ja kuvissa on esitetty kolmiulotteisen rekonstruktion poikkileikkaus. Simuloi- dusta datasta rekonstruoidut admittiivisuusjakaumat on esitetty reaali- ja ima- gin¨a¨arikomponentteina Re(γ) = σ ja Im(γ) = ω_r0. Kuvissa reaaliosa on esitetty vasemmalla ja imagin¨a¨ariosa oikealla.

4.1 Simulaatiot jatkuvan admittiivisuusjakauman tilanteessa

T¨ass¨a kappaleessa esitett¨avien simulaatioiden tarkoituksena oli testata laskentamene- telm¨a¨a tilanteessa, jossa simuloitu admittiivisuusjakauma on jatkuva. Mittauksia si- muloitiin laskentahilassa jossa inkluusiota mallinnettiin muuttamalla admittiivisuus- jakaumaa tietyll¨a alueella. Laskentahila on esitetty Kuvassa 8.

6 4 2 0 -2 X -4 -6 -6

-4 -2 Y 0 2 4 6 2 1 0 3

Z

Kuva 8: Kappaleen 4.1 simulaatioissa k¨aytetty laskentahila.

4.1.1 Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta

Data simuloitiin Kappaleen 2.1 reuna-arvo-ongelman (kaavat (2.19) - (2.22)) FEM- approksimaation avulla. Simuloituun dataan lis¨attiin kohinaa joka koostui kahdesta komponentista. Ensimm¨aisen kohinan komponentin keskihajonta oli 0.1 % kohinatto- man havainnon itseisarvosta, ja toisen kohinan komponentin keskihajonta oli 0.0001

% suurimman mitatun potentiaalin itseisarvosta.

Prioritiheyksien parametrien valitsemiseksi potentiaalimittausten reaaliosaan sovitet- tiin estimaatti, joka estimoi kohteelle homogeenisen admittiivisuusjakauman reaalio- san sek¨a kontakti-impedanssien reaaliosan arvon. Estimoidut arvot valittiin admittii- visuuden sek¨a kontakti-impedanssien reaaliosan odotusarvoiksi. Admittiivisuuden re- aaliosanγ₁ keskihajonta valittiin siten, ett¨a kukinγ₁:n alkio saa arvon v¨alilt¨a [0 2ηγ1] todenn¨ak¨oisyydell¨a 97,7 %. Kontakti-impedanssin reaaliosan prioritiheyden kova- rianssimatriisin Γ_z1 korreloimattoman komponentinaI parametriavalittiin siten ett¨a kukin z₁:n alkion korreloitumaton osa saa arvon v¨alilt¨a [0 2η_z1] todenn¨ak¨oisyydell¨a 97,7 %. My¨os t¨aysin korreloituneen komponentin parametribvalittiin siten ett¨a kukin

z₂:n alkion korreloitunut osa saa arvon v¨alilt¨a [0 2η_z1] todenn¨ak¨oisyydell¨a 97,7 %. Ad- mittiivisuuden imagin¨a¨ariosan odotusarvo asetettiin nollaksi, ja keskihajonnaksi valit- tiin admittiivisuuden reaaliosan keskihajonta. Kontakti-impedanssien imagin¨a¨ariosan odotusarvoksi ja prioritiheyden parametreiksi valittiin kontakti-impedanssin reaalio- san odotusarvo ja prioritiheyden parametrit.

T¨am¨an kappaleen simulaatioiden inversio-ongelman ratkaisussa k¨aytettiin samaa hi- laa kuin datan simuloinnissa. T¨am¨an seurauksena rekonstruktiot voivat olla tarkem- pia kuin oikeissa mittauksissa, mutta simulaatioiden tarkoituksena oli vain testata laskentamallin toimivuutta.

Laskentamenetelm¨an testaamiseksi simulaatioita suoritettiin viidell¨a eri admittiivi- suusjakaumalla, joissa inkluusion admittiivisuusjakauman komponentit valittiin hy- vin pieniksi tai suuriksi. Kaikissa simulaatioissa taustan admittiivisuus asetettiin t¨aysin reaaliseksi, ja taustan johtavuudeksi valittiin 250×10⁻⁴ S/cm.