Analyysi I
Harjoitus 9/2003
1. Olkoonf(x) = √
x. M¨a¨ar¨a¨af0(x) derivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen pisteess¨ax >0.
2. Olkoon f(x) =x2sin1x, kun x6= 0 ja asetetaan f(0) = 0. Tutki, onko f derivoituva origossa.
3. Olkoot f ja g derivoituvia pisteess¨a x. Osoita, ett¨a (i) D(f(x) +g(x)) =Df(x) +Dg(x),
(ii) D(af(x)) =aD(x) kaikilla a∈R.
4. M¨a¨ar¨a¨a seuraavat raja-arvot L’Hospitalin s¨a¨ann¨on avulla:
(i) limx→1 x103−1 4x3−x−3, (ii) limx→0
sinx2 x .
(Vihje! Kohdassa (ii) pidet¨a¨an tunnettuna, ett¨a Dsinx= cosx.) 5. Mit¨a voit sanoa algebrallisen yht¨al¨on
f(x) =−x16−x8+ 3x= 0 nollakohtien lukum¨a¨ar¨ast¨a? (Vihje! Rolle ja Bolzano.)
6. M¨a¨ar¨a¨a k¨ayr¨alt¨a y = x3 sellainen piste, johon piirretty tangentti on pisteiden (−1,−1) ja (2,8) kautta kulkevan suoran suuntainen. Mik¨a on teht¨av¨an yhteys v¨aliarvolauseeseen?
7. Oletetaan, ett¨a
(i) f on jatkuva v¨alill¨a [a, b], (ii) f on derivoituva v¨alill¨a ]a, b[, (iii) f0(x) = 0 kaikilla x∈]a, b[.
Osoita, ett¨a f on vakiofunktio v¨alill¨a [a, b].
