Osoita, ett¨a f(n) =X d|n g(d) ∀n ∈Z

802646S LUKUTEORIA B

Loppukoe 19.4.2010 (T. Matala-aho)

EI LASKIMIA, EI PUHELIMIA

1. Olkoon p∈P ja k ∈N.

(a) M¨a¨ar¨a¨a µ(p^k),λ(p^k),σ(p^k).

(b) Mitk¨a funktioista µ, σ, λ ovat multiplikatiivisia ja mitk¨a t¨aydellisesti mul- tiplikatiivisia? Lyhyet perustelut.

2. (a) Osoita, ett¨a josn on t¨aydellinen luku, niin X

d|n

1 d = 2.

(b) N¨ayt¨a, ett¨a σ=ϕ∗d. (Tentiss¨a oli virheellisesti σ =ϕ∗I.)

3. Olkootf, g ∈ A. Osoita, ett¨a f(n) =X

d|n

g(d) ∀n ∈Z⁺ ⇔ g(n) =X

d|n

µ(d)fn d

∀n∈Z⁺.

Esit¨a tarvittavat tulokset yksityiskohtaisesti.

4. Olkoon p∈P. Esit¨a Bellin sarjat λp(T) jaµp(T) rationaalifunktioina.

5. Osoita, ett¨a

X

1≤k≤x

d(k) = xlogx+ (2γ−1)x+O(x^1/2).