Metriset avaruudet Demo 8, kevät 2004
1. Olkoon(X, d)metrinen avaruus, ja A⊂X ja B ⊂X. Osoita:
a)A ⊂B ⇒A⊂B, b)A∪B =A∪B, c)A∩B ⊂A∩B,
Osoita, että kohdassa c) ei päde yleensä yhtäsuuruus; esimerkiksiX :=R,A={rationaaliluvut}, B ={irrationaaliluvut}.
2. Osoita: Jos(X, d)on täydellinen jade∼davaruudessaX, niin(X,d)e on täydellinen.
3. Tarkastellaan avaruuttaC(−10,10). Onko tavanomainen metriikka d∞ ekvivalentti metriikan
d(f, g) := max
t∈[−10,10](2 + sint)|f(t)−g(t)|
kanssa?
4. Samoin, mutta
d(f, g) := max
t∈[−10,10](10− |t|)|f(t)−g(t)|.
5. OlkoonX avaruuden R2 aliavaruus,
X :={(x, y)∈R2 |x2+y2 ≤1}
ja Y avaruuden R3 aliavaruus
Y :={(x, y, z)∈R3 |x= 0,|y| ≤2, z≤1}.
Tutki pisteitä(a, b)∈R2×R3 sekä(ea,eb)∈R2×R3, missäa = (12,12),ea = (1,0), b = (0,1,1),eb= (0,2,2).
Kuuluvatko ne seuraaviin joukkoihin:
a)X×Y,
b)(R2×R3)\(X×Y), c)X×(R3\Y).
