Numeriikan peruskurssi Loppukoe, 01.11.2010
1. (a) Mik¨a on absoluuttinen virhe kun approksimoidaan 3
7 ≈ 0.43? Ent¨a, mik¨a on suhteellinen virhe?
(b) Arvioi luvun a absoluuttisen ja suhteellisen virheen yl¨arajoja laskutoimi- tuksessa a= 1.25/12.41−10.76×3.78, kun kaikki luvut on esitetty kahden desimaalin tarkkuudella.
2. Teht¨av¨an¨a on funktion f(x) = x3/(1−x2), miss¨a |x| 6= 1, arvojen laskeminen.
Arvioi teht¨av¨an h¨airi¨oalttiutta eli ehtolukua erix:n arvoilla. (Vihje: V¨aliarvolause voi olla hy¨odyllinen)
3. Osoita, ett¨a Gauss-Seidelin menetelm¨a suppenee yht¨al¨oryhm¨alle
A=
2 −1 0
−1 3 −1
0 −1 2
x1
x2
x3
=
1 8
−5
4. Laske Rombergin 2. kl approksimaatioR(2,2) integraalille I =
Z π
0
sinxdx.
(vihje: Richardsonin extrapolointikaava:R(n, m) =R(n, m−1)+ 1 4n−1
R(n, m−
1)−R(n−1, m−1)
,miss¨a n ≥1 jam ≥1.)
5. (a) M¨a¨arittele DY:n ratkaisumenetelm¨an A-stabiilisuus (ehdottomasti stabiili).
(b) Osoita, ett¨a Crank-Nicholsonin menetelm¨a yn+1 = yn + h2(fn +fn+1) on A-stabiili.
