HELPOMMAT VALMENNUSTEHTÄVÄT, HELMIKUU 2013
Ratkaisuja voi lähettää huhtikuun alkuun mennessä osoitteeseen Anne-Maria Ernvall-
Hytönen, Purpuripolku 7-9 B 10, 00420 Helsinki tai sähköisesti anne-maria.ernvall-hytönen@helsinki.fi.
Aikaraja ei ole tarkka, ja yksittäisetkin ratkaisut kannattaa lähettää.
(1) Olkoonxpienin positiivinen kokonaisluku, josta tiedetään, että 2x on jonkin koko- naisluvun neliö,3x on jonkin kokonaisluvun kuutio ja 5x on jonkin kokonaisluvun viides potenssi. Etsi pienin tällainenx.
(2) Olkoot pja q reaalilukuja, joilla yhtälöllä x2+px+q = 0
on kaksi erisuurta reaalista ratkaisuax1 ja x2. Seuraavat ehdot pätevät:
(a) Luvut x1 ja x2 eroavat yhdellä.
(b) Luvut pja q eroavat yhdellä.
Osoita, ettäp, q, x1 ja x2 ovat kokonaislukuja.
(3) Olkoot xja µ positiivisia reaalilukuja, joilla pätee x+y+xy= 3.
Osoita, että
x+y≥2.
Milloin päteee yhtäsuuruus?
(4) Olkoon ABC tasakylkinen kolmio, jolla AC = BC, ja olkoon piste P ympäripiir- retyn ympyrän sillä kaarella CA, jolla piste B ei ole. Olkoot E ja F pisteen C or- togonaaliprojektiot suorille AP ja BP tässä järjestyksessä. Osoita, etä AE ja BF ovat yhtä pitkät.
(5) Listassa on 21 lukua. Jos u, v, w ovat peräkkäiset luvut, niin v = 2uwuw. Listan en- simmäinen luku on100 ja viimeinen101. Mikä on 15. luku?
(6) Olkoot p1, p2, . . . , p42 alkulukuja, kaikki keskenään erisuuria. Osoita, että luku
42
X
j=1
1 p2j + 1
ei voi olla minkään kokonaisluvun neliön käänteisluku.
(7) Ratkaise yhtälöryhmä reaalilukujen joukossa
23
√ x2 ·43
√
y2 ·163
√
z2 = 128
(xy2+z4)3 = 4 + (xy2 −z4)2.
(8) Olkoonk ympyrä, jonka keskipiste onM. T on piste ympyrän kehällä, jatympyrän k tangentti pisteessä T. P on piste tangentilla t, ja pätee P 6= T, ja g on suora, jolla on piste P, mutta kuitenkin g 6= t. Suoralla g on ympyrän k kanssa yhteiset
1
2 HELPOMMAT VALMENNUSTEHTÄVÄT, HELMIKUU 2013
pisteetU jaV,U 6=V, ja pisteS on keskipiste sillä kaarellaU V, jolla ei ole pistettä T. Qon pisteenP kanssa symmetrinen suoranT S suhteen. Osoita, ettäQT U V on puolisuunnikas.
(9) Määritellään positiivisten kokonaislukujen jono seuraavasti:a1 = 1jaan+1on pienin kokonaisluku, jolla toteutuu
pyj(a1, a2, . . . , an, an+1)>pyj(a1, a2, . . . , an).
Mitkä luvut ovat jonossa?
(10) Kutsutaan kolmen luvun joukkoa aritmeettiseksi, jos jokin sen alkioista on kah- den muun aritmeettinen keskiarvo. Kutsutaan joukkoa harmoniseksi, jos jokin sen alkioista on kahden muun harmoninen keskiarvo. Kuinka monta sellaista kolmen alkion osajoukkoa on joukolla
{z kokonaisluku, -2011<z<2011}, että joukko on sekä aritmeettinen että harmoninen?
