Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma

Maarit Viikari

Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka

Toukokuu 2009

Tampereen yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Viikari, Maarit: Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä Pro gradu -tutkielma, 23 s.

Matematiikka Toukokuu 2009

Tiivistelmä

Tässä tutkielmassa esitetään muutama epälineaarinen Diofantoksen yhtälö sekä käsitellään niiden ratkaisuina esiintyvien kokonaislukujen ominaisuuk- sia. Esitietokappaleen jälkeen esitetään mahdolliset kokonaislukuratkaisut Pythagoraan lauseen toteuttaville kokonaislukukolmikoille. Tämän jälkeen todistetaan, että Fermat’n suuren lauseen tapauksella n= 4 ei ole kokonais- lukuratkaisua. Viimeisessä luvussa tarkastellaan kokonaislukujen neliöiden summia ja esitetään lukuja kokonaislukujen neliöiden summien avulla.

Sisältö

1 Johdanto 3

2 Esitietoja 4

3 Antiikin Kreikan matematiikka ja Diofantos 5

4 Pythagoraan kolmikot 6

4.1 Pythagoraan kolmikoiden primitiivisyys . . . 7 4.2 Kaikkien Pythagoraan kolmikoiden olemassaolo . . . 11

5 Fermat’n suuri lause 12

6 Neliöiden summa 15

Viitteet 23

1 Johdanto

Voidaan sanoa, että matematiikka on saanut alkunsa itsenäisenä tieteenalana antiikin Kreikasta noin 500 vuotta ennen ajanlaskumme alkua. Silloin vai- kuttaneiden matemaatikkojen saavutukset ovat luoneet perustan tämän päi- vän matematiikalle. Noin 250 jKr elänyt Diofantos Aleksandrialainen oli yksi antiikin Kreikan kuuluisista matemaatikoista, joka edisti lukuteorian osa- aluetta hyvin paljon. Häntä voidaankin pitää kreikkalaisen matematiikkape- rinteen viimeisenä taitajana. Vaikka hänen matemaattiset saavutukset ovat kirjattuina useisiin teoksiin, on hänen henkilötiedoistaan saatavilla hyvin vä- hän tietoa. Hän laati lukuteoriasta vastaavanlaisen teoksen kuin Eukleides oli aiemmin laatinut geometriasta. Tätä Arithmetica-teosta käytettiin vuosi- satojen ajan. Diofantos oli erikoistunut pohtimaan ongelmia, jotka vaativat kokonaislukuratkaisuja.(ks.[5, s.76-79])

Diofantoksen yhtälöt ovat siis yhtälöitä, joiden mahdollisina ratkaisuina esiintyy vain kokonaislukuja. Kyseisiä yhtälöitä on paljon ja ne voidaan jakaa sekä lineaarisiin että epälineaarisiin yhtälöihin. Epälineaarisille yhtälöille ei aina ole löydettävissä kokonaislukuratkaisua. Tässä tutkielmassa esitetään muutama epälineaarinen Diofantoksen yhtälö sekä niiden ratkaisuina olevien kokonaislukujen ominaisuuksia.

Tutkielma pohjautuu Kenneth H. Rosenin teokseen Elementary Number Theory and Its Applications ja kaikki tutkielman lauseet sekä niiden todis- tukset mukailevat kyseistä lähdeteosta ellei toisin mainita. Tutkielman esi- merkit ovat tekijän itse laatimia ellei toisin mainita. Ensimmäisessä luvussa esitetään muutama tutkielman ymmärtämisessä tarvittava määritelmä. Toi- sessa luvussa käsitellään Pythagoraan kolmikoita eli Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön x² +y² = z² toteuttavia kolmikoita (x, y, z) sekä niiden ominaisuuksia. Tämän jälkeen tarkastellaan Fermat’n suurta lausetta, jonka mukaan yhtälölläxⁿ+yⁿ=zⁿ,n >2ei ole kokonaislukuratkaisuja ja todiste- taan tapausn = 4. Viimeisessä luvussa keskitytään kokonaislukujen neliöihin sekä niiden summiin. Lopuksi päästään tulokseen, että jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän kokonaisluvun neliön summa. Lukijan lähtötiedoiksi oletetaan lukion pitkän matematiikan oppimäärä.

2 Esitietoja

Tässä kappaleessa esitetään muutama tutkielmassa tarvittava määritelmä ja niiden merkintätavat. Ensimmäisenä esitetään suurimman yhteisen tekijän määritelmä.

Määritelmä 1. (vrt.[1, s.5]) Olkootajabkokonaislukuja, joista ainakin toi- nen on nollasta poikkeava. Silloincon lukujenajab suurin yhteinen tekij¨a, jos

1) c|a,c|b ja

2) d|a, d|b⇒d≤c.

Tässä tutkielmassa merkitään syt(a, b) = d. Muita merkintätapoja ovat gcd(a,b) = d ja (a, b) = d.

Esimerkki 1. Tarkastellaan kokonaislukuja 16 ja 24. Nyt lukujen suurin yhteinen tekijä onsyt(16,24) = 8, koska16 = 2·8ja24 = 3·8. Tarkastellaan kokonaislukuja 19 ja 7. Nytsyt(7,19) = 1, koska 7 = 7·1 ja 19 = 19·1.

Tutkielmassa esiintyy myös käsite kongruenssi, jonka määritelmä ja mer- kintätapa on esitetty seuraavaksi.

Määritelmä 2. (vrt.[1, s.18]) Olkoot a ja b kokonaislukuja sekä olkoon m positiivinen kokonaisluku. Tällöin sanotaan, että luku a on kongruentti lu- vunbkanssamodulo m, josm|(a−b). Tällöin kongruenssia merkitääna≡b (mod m).

Huomautus. Kongruenssien yhteenlaskulle on voimassa: Josa≡b (mod m) ja c≡d (mod m), niin a+c≡b+d (mod m).

Esimerkki 2. Voidaan sanoa, että luku 17 on kongruentti luvun 3 kanssa modulo7eli17≡3 (mod 7), koska7|(17−3) = 14. Luku7ei ole kongruent- ti luvun 2 kanssa modulo 4, koska 4 - (7−2) = 5. Tällöin merkitään 7 6≡2 (mod 4).

Neliöiden summat -kappaleessa oletetaan tunnetuksi neliönjäännös. Ne- liönjäännös voidaan määritellä seuraavalla tavalla.

Määritelmä 3. (vrt.[2, s.23]) Olkoonmpositiivinen kokonaisluku (≥2) jaa sellainen kokonaisluku, ettäsyt(a, m) = 1. Silloinaonneli¨onj¨a¨ann¨osmodu- lom, jos kongruenssix² ≡a (mod m)on ratkeava, jaaonnelionep˙ aj˙ a˙ann˙ os˙ modulo m, jos kongruenssix² ≡a (mod m) ei ole ratkeava.

Esimerkki 3. Etsitään neliönjäännökset modulo 7, kun x saa arvoikseen1, 3 ja5. Tällöin1² ≡1 (mod 7),3² = 9 ≡2 (mod 7)ja5² = 25 ≡4 (mod 7), joten luvut 1, 2ja 4 ovat neliönjäännöksiä modulo7.

Neliönjäännökseen liittyen esitetään vielä Legendren symboli, Eulerin kri- teeri sekä lause parittomalle alkuluvulle p.

Määritelmä 4. (vrt.[4, s.378]) Olkoon p pariton alkuluku ja olkoon a sel- lainen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Legendren symboli

a p

määritellään seuraavasti a

p

=

1 jos a on modulo p neliönjäännös

−1 jos a on modulo p neliönepäjäännös.

Lause 1. (vrt.[2, s.24]) (Eulerin kriteeri) Olkoonppariton alkuluku ja olkoon a sellainen kokonaisluku, että p-a. Silloin a on neliönjäännösmodulo p, jos ja vain jos a^(p−1)/2 ≡1 (mod p), ja a on neliönepäjäännös modulo p, jos ja vain jos a^(p−1)/2 ≡ −1 (mod p).

Lause 2. (vrt.[4, s.380]) Jos p on pariton alkuluku, niin −1

p

=

1 jos p≡1 (mod 4)

−1 josp≡ −1 (mod 4).

Apulauseen 15 todistuksessa käytetään Dirichletin laatikkoperiaatetta, joka voidaan esittää seuraavalla tavalla.

Lause 3. (vrt.[3, s.195]) Dirichlet’n laatikkoperiaate. Jos k+ 1 tai useampi esine laitetaan laatikkoihin, joita on k kappaletta, niin on vähintään yksi sellainen laatikko, joka sisältää kaksi tai useamman esineen.

3 Antiikin Kreikan matematiikka ja Diofantos

Noin 500 vuotta ennen ajanlaskumme alkua kreikkalainen kulttuuri oli läh- tökohtana matematiikan kehittymiselle omana itsenäisenä tieteenalana. An- tiikin Kreikka käsittää kuitenkin maantieteellisesti laajemman alueen kuin vain nykyisen Kreikan alueen. Kreikkalaisen matematiikan ajanjakso kesti noin 400 jKr asti. Suuri osa kreikkalaisten matemaatikkojen saavutuksista ja kirjallisista muistiinpanoista on varmasti hävinnyt vuosisatojen aikana, mut- ta jäljelle jääneistä tuloksista hyvin suuri osa säilyi Eukleideen kokoamassa teoksessa Stoikheia eli Alkeet.(ks.[6])

Kreikkalaisen matematiikan suuri merkitys matematiikan kehityksessä voidaan havaita monista matemaattisista termeistä, jotka ovat peräisin krei- kankielisistä sanoista. Ensimmäisiä tunnettuja kreikkalaisia matemaatikkoja olivat Thales sekä Pythagoras, joiden merkitys on havaittavissa nykypäivä- näkin käytettävissä matematiikan tuloksissa. Thalesin sanotaan kehittäneen

geometrian viisi teoreemaa, joista yksi tunnetaan Thaleen lauseena ja se voi- daan muotoilla niin, että puoliympyrän kaaren sisältämä kulma on suora.

Pythagoraan saavutuksista tärkeä tulos on hänen koulukuntansa mukaan ni- mensäkin saanut Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on sen hypotenuusan neliö. Hieman myöhem- min, noin 300 eKr vaikutti kreikkalainen matemaatikko Eukleides. Hänen kuuluisinta teosta Alkeet pidetään jopa menestyksellisimpänä matemaattis- luonnontieteellisenä teoksena. Antiikin Kreikan ajalla vaikutti myös edellä mainittujen matemaatikkojen lisäksi useita muita matemaatikkoja. Tämän tutkielman aiheena olevat Diofantoksen yhtälöt ovat peräisin antiikin Kreikan matemaatikolta, Diofantos Aleksandrialaiselta. Diofantosta pidetään yhtenä tärkeimpänä aritmeettis-algebrallisen matematiikan edustajana. (vrt.[6])

Diofantos Aleksandrialainen oli viimeisimpiä tunnettuja kreikkalaisen ma- tematiikkaperinteen kehittäjiä. Hänen elinajastaan tai edes syntymäpaikas- taan ei ole tarkkaa tietoa, mutta hänen matemaattisten tekstien viittauksien perusteella elinaika on saatu suunnilleen määritettyä. Kirjoitettujen teosten ja muiden matemaatikkojen elinaikojen perusteella, hän on elänyt jälkeen 150 eKr ja ennen 364 jKr. Hän oli erikoistunut lukuteoriaan ja häntä pi- detäänkin yhtenä tärkeänä lukuteorian kehittäjänä. Hän kokosi suuren lu- kuteorian teoksen Arithmetica. Teos oli vastaava kuin Eukleideen teos Al- keet oli geometriasta. Arithmetica sisälsi 13 kirjaa, joista kuusi selvisi kes- kiajan Aleksandrian hävityksestä. Diofantos oli erikoistunut ongelmiin, jot- ka vaativat kokonaislukuratkaisuja. Diofantoksen yhtälöt voidaan jakaa line- aarisiin sekä epälineaarisiin yhtälöihin, joista tässä tutkielmassa käsitellään joitain epälineaarisia yhtälöitä. Diofantoksen yhtälöitä on niin paljon, että tässä tutkielmassa ei voida käsitellä kuin muutama yhtälö ja niihin liittyviä ominaisuuksia.(vrt.[5, s.76-77])

4 Pythagoraan kolmikot

Ensimmäisenä epälineaarisena Diofantoksen yhtälönä käsitellään Pythago- raan kolmikoita. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion ka- teettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri hypotenuusan neliön kans- sa. Tässä luvussa käsitellään sellaisia mahdollisia kolmikoita (x, y, z), jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön x²+y² =z².

Määritelmä 5. (vrt.[4, s.482]) Olkoot x, y ja z positiivisia kokonaislukuja.

Kolmikkoa (x, y, z)sanotaan P ythagoraan kolmikoksi, jos kolmikko toteut- taa yhtälön x²+y² =z².

Esimerkki 4. Tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja 12,16ja 20. Nyt lu-

vut toteuttavat Pythagoraan lauseen määrittelemän yhtälön 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20² , joten kolmikko (12,16,20) on Pythagoraan kolmik- ko. Vastaavasti luvut 5,6 ja 8 eivät toteuta Pythagoraan lauseen yhtälöä, koska 45²+ 6² 6= 8², joten (5,6,8)ei ole Pythagoraan kolmikko.

Määritellään ensin käsite primitiivinen Pythagoraan kolmikko, jonka jäl- keen esitetään kaikki mahdolliset positiivisten kokonaislukujen muodostamat Pythagoraan kolmikot.

4.1 Pythagoraan kolmikoiden primitiivisyys

Määritelmä 6. (vrt.[4, s.482]) Pythagoraan kolmikko(x, y, z) on primitiivinen, jos syt(x, y, z) = 1.

Esimerkki 5. Tarkastellaan Pythagoraan kolmikoita(3,4,5)ja (12,16,20).

Nyt syt(3,4,5) = 1 ja syt(12,16,20) = 4, joten kolmikko (3,4,5) on primi- tiivinen, mutta kolmikko (12,16,20) ei ole.

Apulause 4. (vrt.[4, s.483]) Jos (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kol- mikko, niin on voimassa syt(x, y) = syt(x, z) = syt(y, z) = 1.

Todistus. (vrt.[4, s.483]) Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmik- ko. Todistetaan nyt, että syt(x, y) = 1, mutta tapauksien syt(x, z) = 1 ja syt(z, y) todistukset sivuutetaan, koska ne voidaan tehdä vastaavalla tavalla kuin tapauksen syt(x, y) = 1 todistus. Tehdään vastaoletus, että syt(x, y)>

1. Koska syt(x, y) >1, on olemassa sellainen alkuluku p, että p| (syt(x, y)) ja siisp|xjap|y. Pythagoraan kolmikon määritelmän mukaanx²+y² =z². Nyt p| x ja p| y, joten myös p |(x²+y²) ja p|z². Tällöin myös p| z. Nyt p | x, p | y ja p | z, mikä on ristiriita primitiivisen Pythagoraan kolmikon määritelmän syt(x, y, z) = 1 kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja alkuperäi- nen väite on tosi.

Esimerkki 6. Tarkastellaan Pythagoraan kolmikkoa (9,40,41). Nyt

syt(9,40) = syt(9,41) = syt(40,41) = 1, koska 9 = 3·3·1,40 = 1·2·2·2·5 ja 41 = 1·41. Siis kolmikko on primitiivinen.

Apulause 5. (vrt.[4, s.483]) Jos (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kol- mikko, niin joko x on parillinen ja y on pariton tai x on pariton ja y on parillinen.

Todistus. (vrt.[4, s.483–484]) Olkoon(x, y, z)primitiivinen Pythagoraan kol- mikko. Apulauseen 4 mukaan syt(x, y) = 1, joten molemmat sekä x että y eivät voi olla parillisia. Luvut x ja y eivät voi myöskään olla molemmat pa- rittomia, joka osoitetaan seuraavaksi. Jos x ja y ovat molemmat parittomia,

voidaan ne esittää muodossa x = 2a+ 1 ja y = 2b+ 1, kun a, b ovat koko- naislukuja. Tällöin niiden neliöt ovat x² = 4a²+ 4a+ 1 = 4(a² +a) + 1 ja y² = 4b² + 4b+ 1 = 4(b²+b) + 1, jolloin on voimassa

x² ≡y² ≡1 (mod 4).

Kongruenssien yhteenlaskun perusteella neliöiden x² ja y² summa on nyt kongruentti luvun 2kanssa modulo 4eli

z² =x²+y² ≡(1 + 1) = 2 (mod 4).

Nyt z² on parillinen, joten myös z on parillinen. Voidaan esittää z = 2h, kun h on positiivinen kokonaisluku, jolloin z² = 4h². Edellisen kongruenssin perusteella 4|(4h²−2), mikä on mahdotonta. On siis oltava niin, että x on parillinen ja y on pariton tai xon pariton ja y on parillinen.

Apulause 6. (vrt.[4, s.484]) Jos r, sja t ovat sellaisia positiivisia kokonais- lukuja, että syt(r, s) = 1 ja rs=t², niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut m ja n, että r=m² ja s=n².

Todistus. (vrt.[4, s.484]) Josr = 1tai s= 1, väite on triviaalisti tosi. Olkoot nyt r > 1 ja s > 1. Jaetaan luvut r, s ja t alkulukutekijähajotelmaksi seuraavalla tavalla

r =p^a₁¹p^a₂²· · ·p^a_u^u

s=p^a_u+1^u+1p^a_u+2^u+2· · ·p^a_v^v ja t =q₁^b1q₂^b2· · ·q^b_k^k.

Oletuksena on, että syt(r, s) = 1. Tällöin mikään alkuluku ei voi olla lukujen r ja s yhteinen tekijä. Toisena oletuksena oli rs=t², joten

rs=p^a₁¹p^a₂²· · ·p^a_u^up^a_u+1^u+1p^a_u+2^u+2· · ·p^a_v^v =q^2b₁ ¹q₂^2b2· · ·q_k^2bk.

Aritmetiikan peruslauseen mukaan kokonaisluvun esitys alkulukujen tulona on yksikäsitteinen, joten nyt edellisen yhtälön molemmilla puolilla on oltava samat alkuluvut samoilla eksponenteilla jossakin järjestyksessä. Tällöin jo- kainen pi on sama kuin qj jollakin arvolla j. Tällöin niiden eksponentit ovat myös samat eli a_i = 2b_j. Oletuksena oli, että eksponenttib_j on kokonaisluku, joten a_i/2 on kokonaisluku ja kaikki eksponentit a_i ovat siis parillisia. Nyt on olemassa kokonaisluvut m ja n, joille

m =r^1/2 =p^a₁^1/2p^a₂^2/2· · ·p^a_u^u/2 ja

n=s^1/2 =p^a_u+1^u+1/2p^a_u+2^u+2/2· · ·p^a_v^v/2.

Näin ollen lause on voimassa kaikille positiivisille kokonaisluvuille r, s ja t.

Esimerkki 7. Tarkastellaan kokonaislukuja r = 4, s = 25, t = 10, jolloin syt(r, s) = syt(4,25) = 1 ja rs = 4·25 = 100 = 10². Tällöin on olemassa kokonaisluvut m = 2 ja n = 5, jotka toteuttavat yhtälöt r = 4 = m² ja s = 25 =n².

Lause 7. (vrt.[4, s.484–485]) Positiiviset kokonaisluvut(x, y, z)muodostavat primitiivisen Pythagoraan kolmikon, missä yon parillinen, jos ja vain jos on olemassa sellaiset positiiviset ja keskenään jaottomat kokonaisluvut m ja n, joille m > n ja m on pariton, n on parillinen tai m on parillinen ja n on pariton, että

x=m²−n² y = 2mn z =m²+n².

Todistus. (vrt.[4, s.485]) Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmik- ko, missäyon parillinen. On siis osoitettava, että on olemassa kokonaisluvut m ja n, jotka määrittelevät kolmikon (x, y, z) lauseessa ilmoitettujen yhtä- löiden avulla. Apulauseen 5 mukaan joko x on pariton ja y parillinen tai toisinpäin. Nyt olemme olettaneet, että y on parillinen. Tällöin sekä x että z ovat parittomia.

Kahden parittoman luvun summana sekä erotuksena on parillinen luku, joten luvutz+xjaz−xovat molemmat parillisia. Nyt saadut luvut voidaan jakaa kahdella, jolloin on olemassa positiiviset kokonaisluvut r ja s, joille r = (z+x)/2 ja s= (z−x)/2. Tällöin r+s= (z+x)/2 + (z−x)/2 =z ja r−s= (z+x)/2−(z−x)/2 =x.

Jos syt(r, s) 6= 1, on olemassa sellainen kokonaisluku d, että d | r ja d |s. Tällöin on voimassa myös d |(r+s) =z ja d |(r−s) =x. Oletuksen mukaan (x, y, z)on primitiivinen Pythagoraan kolmikko, jolloinsyt(x, z) = 1 eli d|(syt(x, z)) = 1. On siis oltava, että syt(r, s) =d= 1.

Pythagoraan kolmikon ehdon mukaanx²+y² =z², jolloiny² =z²−x² = (z+x)(z−x). Tällöin on myös

y 2

2

=

z+x 2

·

z−x 2

=rs.

Nyt voidaan käyttää apulauseen 6 tulosta, koskars= (y/2)². On siis olemas- sa sellaiset kokonaisluvut m ja n, että r =m² ja s = n². Edellä esitettyjen kokonaislukujen m ja n avulla voidaan nyt esittää lausekkeet Pythagoraan

kolmikolle (x, y, z)

x=r−s=m²−n² y=√

4rs=

√

4m²n² = 2mn z =r+s=m²+n².

Osoitetaan myös, että ehtosyt(m, n) = 1on voimassa. Jossyt(m, n)6= 1, on olemassa jokin sellainen kokonaisluku a, että a|m ja a|n. Tällöin myös a | (m² −n²) =x, a | (2mn) =y ja a | (m² +n²) =z, mikä on ristiriidas- sa Pythagoraan kolmikon (x, y, z) primitiivisyyden kanssa. On siis voimassa syt(m, n) = 1. Kokonaisluvut m ja n eivät voi molemmat olla yhtäaikaa parittomia, koska tällöin luvut x, y ja z olisivat kaikki parillisia. Tämä on ristiriidassa ehdon syt(x, y, z) = 1 kanssa. Kokonaisluvut m ja n eivät voi myöskään olla molemmat parillisia, koska syt(m, n) = 1. On siis oltava, että m on parillinen jan on pariton tai toisinpäin.

Lopuksi on vielä osoitettava, että jokainen kolmikko(x, y, z), joka on mää- ritelty seuraavasti

x=m²−n² y = 2mn z =m²+n²,

missämjanovat positiivisia kokonaislukuja,m > n,syt(m, n) = 1jam 6≡n (mod 2), muodostaa primitiivisen Pythagoraan kolmikon. Osoitetaan ensin, että kokonaislukujen m ja n avulla määritellyt luvut x, y ja z muodostavat Pythagoraan kolmikon. Pythagoraan lauseen mukaisesti

x²+y² = (m²−n²)²+ (2mn)²

= (m⁴−2m²n²+n⁴) + 4m²n²

=m⁴+ 2m²n²+n⁴

= (m²+n²)²

=z²,

joten(x, y, z)on Pythagoraan kolmikko. Nyt on osoitettava, että kokonaislu- vut x,y ja z ovat keskenään jaottomia eli muodostavat primitiivisen Pytha- goraan kolmikon. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen kokonais- luku d, että syt(x, y, z) = d >1. Nyt on siis olemassa alkuluku p siten, että p | (syt(x, y, z)). Alkuluku p 6= 2, koska luvuista m ja n toinen on pariton ja toinen on parillinen, jolloin x =m² −n² on pariton. Koska p| x ja p |z,

tällöin p | (x+z = 2m²) ja p | (z −x = 2n²). Nyt siis p | m ja p | n, joka on ristiriidassa oletuksen syt(m, n) = 1 kanssa. Vastaoletus on siis väärin ja syt(x, y, z) = 1 eli Pythagoraan kolmikko(x, y, z)on primitiivinen. Lause on näin todistettu molempiin suuntiin.

4.2 Kaikkien Pythagoraan kolmikoiden olemassaolo

Edellä on todistettu kuinka voidaan löytää kaikki olemassa olevat primitii- viset Pythagoraan kolmikot kokonaislukujen m ja n avulla. Seuraavaksi on tarkoitus löytää kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot.

Olkoon (x, y, z) Pythagoraan kolmikko, jolle syt(x, y, z) = d. Tällöin on olemassa kokonaisluvut (x₁, y₁, z₁) siten, että x = dx₁, y = dy₁, z = dz₁ ja syt(x₁, y₁, z₁) = 1. Pythagoraan kolmikoiden määritelmän mukaanx²+y² = z², joten nyt(dx1)²+ (dy1)² = (dz1)². Jakamalla yhtälö puolittain luvullad², saadaan (x₁)² + (y₁)² = (z₁)².

Kolmikko (x₁, y₁, z₁) on siis primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Edelli- sen perusteella, kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot voidaan löytää ker- tomalla primitiiviset Pythagoraan kolmikot jollakin positiivisella kokonaislu- vulla. (ks.[4, s.483])

Esimerkki 8. (ks.[4, s.486, t.1])

a) Esitä kaikki mahdolliset primitiiviset Pythagoraan kolmikot (x, y, z), kun z <40.

b) Esitä kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot (x, y, z), kun z <40.

Ratkaisu.

a) Lauseen 7 mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut m, n, joille syt(m, n) = 1,m > n ja m on pariton ja n on parillinen tai toisinpäin ja niiden avulla voidaan esittää lausekkeet luvuille x, y ja z. Luetellaan nyt kaikki mahdolliset arvot mitä m ja n voi saada, jottaz <40.

m n x=m²−n² y= 2mn z =m²+n²

2 1 3 4 5

3 2 5 12 13

4 1 15 8 17

4 3 7 24 25

5 2 21 20 29

6 1 35 12 37

Taulukko 1: Primitiiviset Pythagoraan kolmikot, kun z <40.

b) Kaikki Pythagoraan kolmikot voidaan nyt löytää primitiivisten Pyt- hagoraan kolmikkojen avulla, kun primitiivisen kolmikon jäsenet x, y, z ker- rotaan positiivisella kokonaisluvulla. Kun z <40, kaikki mahdolliset Pytha- goraan kolmikot (x, y, z)ovat seuraavan taulukon mukaiset.

x y z

3 4 5

6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 18 24 30 21 28 35 5 12 13 10 24 26 15 36 39 15 8 17 30 16 34 7 24 25 21 20 29 35 12 37

Taulukko 2: Kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot, kun z<40.

5 Fermat’n suuri lause

Pierre de Fermat syntyi Ranskassa vuonna 1601. Hän toimi päätoimisesti virkamiehenä, mutta jäljelle jäävän vapaa-aikansa hän käytti matematiikan parissa. Matematiikkaa ei pidetty kovin merkityksellisenä tieteenalana kes- kiajalla, joten 1600-luvulla sitä alettiin taas arvostamaan uudella tavalla.

Fermat harrasti matematiikkaa muun työnsä ohella eikä siten tuonut omia tuloksiaan kuuluvasti esille. Hän ratkoi ongelmiaan itsekseen eikä usein jät- tänyt niistä edes merkintöjä näkyville. Hänen tavoitteenaan ei ollut kerätä kuuluisuutta tai menestystä matemaattisten saavutusten avulla. (ks.[5, s.59–

69])

Fermat’lla ei historian tietojen mukaan ollut omaa opettajaa, mutta Dio- fantoksen teos Arithmetica toimi todennäköisesti yhtenä Fermat’n ohjaaja- na. Hän ratkaisi Diofantoksen yhtälöitä ja jätti usein ratkaisuista vain pie- net muistiinpanot. Vähäisten muistiinpanojen johdosta hänen esittämälleen

ongelmalle etsittiin ratkaisua vuosisatojen ajan. Hän huomasi Pythagoraan lauseen kohdalla, että jos sen yhtälön eksponentit vaihdetaan suuremmiksi kuin kaksi, ei yhtälölle löydy kokonaislukuratkaisuja. Tämä Fermat’n suuri lause on historian tietojen mukaan kirjattu vuonna 1637. Fermat oli jättänyt muistiinpanoihinsa vain merkinnän, että hänellä on todistus siihen, mutta marginaalin tila ei riitä sen esittämiseen kokonaan. Koska se oli viimeinen todistamattomana ollut Fermat’n ongelma, kutsutaan sitä Fermat’n suurek- si lauseeksi. Ongelma jäi vaivaamaan matemaatikoita ja sitä yritettiin todis- taa vuosisatojen ajan. Vuonna 1995 matemaatikko Andrew Wiles todisti sen täydellisesti. (ks.[5, s.82–91])

Diofantoksen yhtälölle x² +y² = z² on edellisen kappaleen mukaisesti hyvin yksinkertaista löytää kokonaislukuratkaisu (x, y, z). Jos yhtälön eks- ponentit vaihdetaan kakkosta suuremmiksi eksponenteiksi, yhtälöllä ei ole todistetusti yhtään ratkaisua.

Fermat’n suuri lause voidaan muotoilla seuraavasti:

Lause 8. (vrt.[4, s.488])Diofantoksen yhtälöllä xⁿ+yⁿ=zⁿ

ei ole ratkaisuja nollasta eroavilla kokonaisluvuilla x, y ja z, kun n ≥3.

Todistus. Todistus sivuutetaan.

Fermat’n suurta lausetta ei voida tässä tutkielmassa todistaa, mutta seu- raavassa lauseessa todistetaan sen yksittäinen tapausx⁴+y⁴ = (z²)². Todis- tuksessa käytetään hyvän järjestyksen mukaista menetelmää, jonka mukaan positiivisilla kokonaislukuratkaisuilla on olemassa pienin mahdollinen ratkai- su.

Lause 9. (vrt.[4, s.492]) Diofantoksen yhtälöllä x⁴+y⁴ =z²

ei ole ratkaisuja nollasta eroaville kokonaisluvuille x, y ja z.

Todistus. (vrt.[4, s.492–494]) Oletetaan, että yhtälöllä x⁴ +y⁴ = z² on rat- kaisu nollasta eroaville kokonaisluvuille x, y ja z. Nyt voidaan myös olettaa, että ne ovat positiivisia, koska edellä esitetyn yhtälön arvo säilyy, vaikka muuttujien x, y ja z arvot vaihdettaisiin niiden vastaluvuiksi.

Oletetaan myös, että syt(x, y) = 1, joka osoitetaan todeksi seuraavalla tavalla. Olkoon d sellainen kokonaisluku, että syt(x, y) =d. Tällöin x=dx₁

ja y = dy₁, kun syt(x₁, y₁) = 1 ja x₁ ja y₁ ovat positiivisia kokonaislukuja.

Sijoitetaan nyt x ja y yhtälöönx⁴+y⁴ =z², jolloin saadaan (dx₁)⁴+ (dy₁)⁴ =z²

d⁴x⁴₁+d⁴y⁴₁ =z² d⁴(x⁴₁+y₁⁴) =z².

Nyt d⁴ | z², jolloin d² |z ja z voidaan merkitä positiivisen kokonaisluvun z₁ avulla z =d²z₁. Tällöin saadaan

d⁴(x⁴₁+y₁⁴) = (d²z1)² =d⁴z₁². Jakamalla yhtälö puolittain luvulla d⁴, saadaan

x⁴₁+y₁⁴ =z₁².

Huomautus. Edellä esitetyssä yhtälössä on lähdeteoksessa painovirhe, koska se on esitetty siellä muodossa x⁴₁+y₁⁴ =z₁⁴.

Yhtälöllä x⁴+y⁴ =z² on siis kokonaislukuratkaisu, kun x= x₁, y= y₁, z = z₁ ja syt(x₁, y₁) = 1. Oletetaan nyt, että yhtälöllä x⁴ +y⁴ = z² on ratkaisuna x =x₀, y = y₀ ja z = z₀, missä x₀, y₀ ja z₀ ovat positiivisia ko- konaislukuja ja syt(x₀, y₀) = 1. Osoitetaan, että on olemassa toinen ratkaisu joillakin sellaisilla positiivisilla kokonaisluvuilla x=x₁,y=y₁ jaz =z₁, joil- le syt(x₁, y₁) = 1 ja z₁ < z₀. Oletuksen mukaanx⁴₀+y⁴₀ =z₀². Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (x²₀)² + (y₀²)² = z₀², jolloin saadaan Pythagoraan kolmi- koksi (x²₀, y²₀, z₀). Koska aiemmin oletimme, että syt(x₀, y₀) = 1, on tällöin oltava voimassa myös syt(x²₀, y²₀) = 1. Tämän vuoksi (x²₀, y²₀, z₀) on primi- tiivinen Pythagoraan kolmikko. Lauseen 7 mukaan on olemassa positiiviset kokonaisluvut m ja n, joille syt(m, n) = 1,m 6≡n (mod 2) ja

x²₀ =m²−n², y₀² = 2mn, z₀ =m²+n².

Termienx²₀ jay²₀ paikkoja voidaan tarvittaessa vaihtaa niin, ettäy²₀ on paril- linen kokonaisluku. Nyt termien x²₀ ja n² summa onx²₀+n² =m². Kolmikko (x₀, n, m) muodostaa primitiivisen Pythagoraan kolmikon, koska oletuksena oli syt(m, n) = 1. Nyt m on pariton ja n on parillinen. Nyt voidaan käyttää uudestaan lauseen 7 tulosta, jonka mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut r ja s, ettäsyt(r, s) = 1, r6≡s (mod 2) ja

x0 =r²−s² n = 2rs m =r²+s².

Edellä todettiin, että m on pariton jasyt(m, n) = 1, joten on voimassa myös syt(m,2n) = 1. Aiemmasta yhtälöstä saimme myös, että y₀² = (2n)m. Edel- listen ehtojen lisäksi on siis voimassa, että y₀,mja 2novat positiivisia koko- naislukuja, joten voidaan käyttää apulauseen 6 tulosta. Nyt on siis olemassa positiiviset kokonaisluvut z₁ jaw, joillem =z₁² ja2n=w². Tällöinwon pa- rillinen kokonaisluku ja se voidaan esittää positiivisen kokonaisluvunvavulla w = 2v. Nyt w² = (2v)² = 2n, jolloin v² = n/2 = rs. Oletuksena on, että syt(r, s) = 1, joten apulauseen 6 mukaan on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut x₁ ja y₁, että r = x²₁ ja s = y²₁. Koska syt(r, s) = 1, niin on oltava myös syt(x₁, y₁) = 1. Aiemmin saatiin, että m=r² +s². Tällöin

r²+s² =x⁴₁+y⁴₁ =m=z₁²,

missä x₁, y₁ ja z₁ ovat positiivisia kokonaislukuja ja syt(x₁, y₁) = 1. Nyt voidaan todeta, että z₁ < z₀, koska

z₁ ≤z₁⁴ =m² < m²+n² =z₀.

Oletetaan nyt, että yhtälöllä x⁴ +y⁴ = z² on ainakin yksi kokonaisluku- ratkaisu. Hyvinjärjestysperiaatteen mukaan yhtälöillä, joilla on positiivinen kokonaislukuratkaisu, on olemassa pienin arvoz0 kokonaislukumuuttujallez.

Edellä osoitettiin, että yhtälölle x⁴+y⁴ =z² voidaan löytää ratkaisuksi aina pienempi arvo muuttujalle z, joka on siis ristiriidassa hyvinjärjestysperiaat- teen kanssa. Yhtälöllä x⁴+y⁴ =z² ei siis ole kokonaislukuratkaisuja.

6 Neliöiden summa

Kokonaislukujen neliöiden summa on aihe, joka on kiinnostanut matemaa- tikkoja läpi historian. Tässä luvussa käsitellään kokonaislukuja, jotka ovat joidenkin muiden kokonaislukujen neliöiden summia. Aluksi todistetaan, et- tä kokonaislukujen, jotka ovat molemmat kahden neliön summia, tulo on myös kahden neliön summa. Tämän jälkeen käydään läpi miten eri alkuluvut voidaan esittää neliöiden summina ja lopuksi vielä todistetaan, että jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän kokonaisluvun neliön summa.

Esimerkki 9. Esimerkiksi positiiviset kokonaisluvut 1, 4, 5, 8ja 9 voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliön summana 1 = 1² + 0², 4 = 2² + 0², 5 = 2²+ 1²,8 = 2²+ 2² ja9 = 3²+ 0², mutta esimerkiksi lukuja 3, 6, 7ja 11 ei voida esittää kahden kokonaisluvun neliön summana.

Lause 10. (vrt.[4, s.496]) Jos kokonaisluvut m jan ovat kahden neliön sum- mia, niin tällöin myös niiden tulo mn on kahden neliön summa.

Todistus. (vrt.[4, s.496]) Olkoot m, n, a, b, c ja d sellaisia kokonaislukuja, että

m=a²+b², n =c²+d². Nyt lukujen m ja n tulo on

mn= (a²+b²)(c²+d²)

=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²

=a²c²+b²d²+ 2acbd+a²d²+b²c² −2adbc

= (ac+bd)²+ (ad−bc)².

Kokonaislukujen, jotka ovat kahden neliön summia, tulo on myös kahden kokonaisluvun neliöiden summa.

Esimerkki 10. Olkoot luvut x= 25(= 3²+ 4²) jay= 10(= 1²+ 3²), jolloin niiden tulo on xy = 250. Nyt lauseen 10 todistuksen mukaan a = 3, b = 4, c= 1,d= 3 ja tulo voidaan kirjoittaa muodossaxy= (ac+bd)²+ (ad−bc)². Siis 250 = 25·10 = (3²+ 4²)(1²+ 3²) = (3·1 + 4·3)²+ (3·3−4·1)² = 15²+ 5². Apulause 11. (vrt.[4, s.497]) Jospon muotoa 4m+ 1oleva alkuluku, missä m on kokonaisluku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x²+y² =kp, jollekin positiiviselle kokonaisluvulle k, kun k < p.

Todistus. (vrt.[4, s.497]) Oletuksen mukaan p= 4m+ 1, kun m∈Z+, joten lauseen 2 mukaan

−1 p

= 1. Legendren symbolin määritelmän mukaan −1 on nyt neliönjäännös modulo p. Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku a, a < p, että a² ≡ −1 (mod p). Tällöin a² −(−1) = a² + 1 = kp, kun k on jokin positiivinen kokonaisluku. Lauseen väittämän mukaan x² +y² = kp, joka pätee nyt kokonaisluvuilla x = a ja y = 1. Nyt voidaan muodostaa epäyhtälö kp=x²+y² ≤(p−1)²+ 1 < p², joten k < p.

Esimerkki 11. Olkoonp= 13(= 4·3 + 1), jolloinm= 3. Nyt apulauseen 11 mukaan on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x² +y² = kp, kun k < p. Olkoot x= 6 jay = 4, jolloinx²+y² = 6²+ 4² = 52 = 4·13jak = 4.

Lause 12. (vrt.[4, s.497]) Jos p on jotain muuta muotoa kuin 4k+ 3 oleva alkuluku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että x²+y² =p.

Todistus. (vrt.[4, s.497–498]) Koska 2 = 1² + 1², voidaan nyt alkuluvun p olettaa olevan muotoa 4k+ 1. Olkoon m pienin sellainen positiivinen koko- naisluku, että yhtälöllä x² +y² = mp on ratkaisuna kokonaisluvut x ja y.

Edellisen apulauseen 11 perusteella on nyt olemassa alkulukuappienempi ko- konaisluku m, joka toteuttaa yhtälön. Hyvinjärjestysperiaatteen perusteella on olemassa pienin mahdollinen kokonaisluku, joten osoitetaan, että m = 1.

Oletetaan ensin, että m > 1. Olkoot a ja b määritelty kongruensseilla a ≡ x (mod m), b ≡ y (mod m) ja −m/2 < a ≤ m/2, −m/2 < b ≤ m/2.

Kongruenssin laskusääntöjen mukaan voidaan todeta, että a² +b² ≡ x² + y² = mp ≡ 0 (mod m). Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku k, että a²+b² =km. Nyt saadaan neliöiden summien tuloksi

(a²+b²)(x² +y²) = (km)(mp) =km²p.

Lauseen 10 todistuksessa olevan yhtälön mukaan

(a²+b²)(x²+y²) = (ax+by)² + (ay−bx)².

Huomautus. Lähdeteoksessa on painovirhe a≡s (mod m).

Lähtöoletuksien mukaan a≡x (mod m)ja b ≡y (mod m), joten ax+by ≡x²+y² ≡0 (mod m)

ay−bx≡xy−yx ≡0 (mod m).

Kongruenssin määritelmän perusteella (ax+by)/m ja (ay−bx)/m ovat ko- konaislukuja ja tällöin

ax+by m

2

+

ay−bx m

2

=km²p/m² =kp.

Alussa oletettin, että m on sellainen pienin mahdollinen positiivinen ko- konaisluku, että yhtälöllä x² +y² = mp on kokonaislukuratkaisu. Jos nyt 0< k < m, on se ristiriidassa kyseisen oletuksen kanssa. Aiemmin todettiin, ettäa²+b² =km,−m/2< a≤m/2ja−m/2< b≤m/2. Tällöina² ≤m²/4 ja b² ≤m²/4, josta saadaan, että 0≤km=a²+b² ≤2(m²/4) =m²/2. Nyt 0 ≤ km ≤ m²/2 eli 0 ≤ k ≤ m/2. Tästä seuraa, että k < m. On siis enää osoitettava, että k 6= 0. Jos k = 0, niin a² +b² = 0 ja ainoa mahdollinen ratkaisu on, että a =b = 0. Nyt x ≡y ≡ 0 (mod m), joten m |x ja m | y.

Aiemmin todettiin, että x² +y² =mp, joten m² |mp ja tällöin myös m |p.

Koska m < p, on oltava m= 1 ja lause on siis todistettu.

Esimerkki 12. Valitaan alkuluvuksi p = 17, koska sitä ei voida esittää muodossa 4k + 3, kun k ∈ Z₊. Nyt on olemassa kokonaisluvut x = 1 ja y = 4, jolloin x²+y² = 1²+ 4² = 1 + 16 = 17.

Lause 13. (vrt.[4, s.498]) Positiivinen kokonaislukunon kahden neliön sum- ma, jos ja vain jos jokainen luvunn muotoa4k+ 3 oleva alkulukutekijä esiin- tyy parillisena potenssina luvun n alkulukutekijähajotelmassa.

Todistus. (vrt.[4, s.498–499]) Oletetaan, että jakaessa luku n alkulukuteki- jöihin, ei ole sellaisia muotoa4k+ 3 olevia alkulukuja, jotka esiintyvät parit- tomina potensseina. Kirjoitetaan nyt n = t²u, missä u on alkulukujen tulo.

Alkuluvut, jotka ovat muotoa 4k+ 3, eivät esiinny luvun u tekijänä. Kuten lauseessa 12 todettiin, jokainen luvun u alkulukutekijä voidaan esittää kah- den neliön summana. Koska ukoostuu alkulukujen tulosta, voidaan käyttää hyväksi lauseen 10 tulosta, jonka mukaan u on myös kahden neliön summa

u=x²+y².

Tällöin myös n on kahden neliön summa, koska

n =t²u=t²(x²+y²) = (tx)²+ (ty)².

Oletetaan nyt, että on olemassa alkulukup, jollep≡3 (mod 4)ja jolla on lu- vunnalkulukutekijähajotelmassa pariton, muotoa(2j+1)oleva eksponentti.

Toisaalta oletetaan, että n on kahden neliön summa n=x²+y².

Olkoon syt(x, y) = d, a = x/d, b = y/d ja m = n/d². Tällöin syt(a, b) = 1 ja a² +b² = m. Olkoon p^k luvun p suurin potenssi, joka jakaa luvun d.

Tällöin m on jaollinen luvulla p^2j+1/p^2k = p^2j−2k+1 ja koska 2j −2k + 1 on ei-negatiivinen, on sen oltava vähintään 1, ja tällöin p | m. Nyt voidaan päätellä, että p ei voi jakaa lukua a, koska jos p | a niin tällöin myös p | b tietojen b² = m−a² ja syt(a, b) = 1 perusteella. On siis olemassa sellainen kokonaisluku z, että az ≡b (mod p). Tästä seuraa, että

a²+b² ≡a²+ (az)² =a²(1 +z²) (mod p).

Koska a²+b² =m ja p|m, niin

a²(1 +z²)≡0 (mod p).

Koska syt(a, p) = 1, niin on oltava 1 +z² ≡ 0 (mod p). Tällöin z² ≡ −1 (mod p), joka on mahdotonta, koska −1 ei ole neliönjäännös alkuluvusta p, kun p ≡ 3 (mod 4). Tämän ristiriidan perusteella alussa määritelty luku n ei voi olla kahden neliön summa.

Lause 14. (vrt.[4, s.499]) Josm ja n ovat positiivisia kokonaislukuja ja mo- lemmat ovat neljän neliön summia, niin mn on myös neljän neliön summa.

Todistus. (vrt.[4, s.499]) Olkootm =a²+b²+c²+d² jan=e²+f²+g²+h². Tällöin lukujen m ja n tulo on

mn= (a²+b²+c²+d²)(e²+f²+g²+h²)

=a²e²+a²f²+a²g²+a²h²+b²e² +b²f²+b²g²+b²h² +c²e²+c²f² +c²g²+c²h² +d²e²+d²f²+d²g²+d²h²

= (ae+bf +cg+dh)²+ (af −be+ch−dg)² + (ag−bh−ce+df)²+ (ah+bg−cf −de)².

Huomautus. Lähdeteoksessa on kaksi painovirhettä lauseen 14 todistukses- sa. Siellä esiintyy virheellisesti mn=. . .+ (af−bd−ch−dg)²+ (ag−bh− cd−df)².

Esimerkki 13. Olkoot a = 1, b = 2, c= 3, d = 4, e = 5, f = 2, g = 1 ja h= 6, joista muodostetaan neljän luvun neliöiden summatm =a²+b²+c²+ d² = 1²+ 2²+ 3²+ 4² = 30ja n=e²+f²+g²+h² = 5²+ 2²+ 1²+ 6² = 66.

Tällöin tulo mn on lauseen 14 mukaisesti

mn= (1·5 + 2·2 + 3·1 + 4·6)²+ (1·2−2·5 + 3·6−4·1)² + (1·1−2·6−3·5 + 4·2)²+ (1·6 + 2·1−3·2−4·5)²

= 36²+ 6²+ (−18)²+ (−18)² = 1980 = 30·66.

Apulause 15. (vrt.[4, s.499]) Jos p on pariton alkuluku, niin on olemassa sellainen kokonaisluku k, että k < p ja yhtälöllä kp=x² +y²+z² +w² on ratkaisuna kokonaisluvut x, y, z ja w.

Todistus. (vrt.[4, s.500]) Ensimmäisenä osoitetaan, että on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että yhtälö

x²+y²+ 1≡0 (mod p) on ratkeava, kun 0≤x < p/2 ja 0≤y < p/2. Olkoot

S = (

0²,1², . . . ,

p−1 2

2)

ja

T = (

−1−0²,−1−1², . . . ,−1−

p−1 2

2) .

Nyt joukon S alkioista kaksi eivät ole kongruentteja keskenään modulo p.

Jos x² ≡ y² (mod p), niin on oltava x≡ ±y (mod p), mikä on mahdotonta oletuksen0≤x, y ≤((p−1)/2)nojalla. Samalla tavalla voidaan todeta, että joukonT alkioista kaksi ei ole keskenään kongruentteja modulop. Nyt joukko S∪T sisältääp+ 1erisuurta kokonaislukua. Esitiedoissa esitetyn laatikkope- riaatteen mukaan joukossaS∪T on nyt olemassa kaksi kokonaislukua, jotka ovat kongruentteja modulo p.

Nyt on olemassa sellaiset kokonaisluvutxjay, ettäx² ≡ −1−y² (mod p), kun 0≤x≤(p−1)/2 ja 0≤y <(p−1)/2. Muodostetaan kongruenssi

x²+y²+ 1 ≡0 (mod p),

josta seuraa, että x² +y² + 1 + 0² = kp jollakin kokonaisluvulla k. Koska x²+y²+ 1 <2((p−1)/2)² < p², niin k < p.

Esimerkki 14. Olkoon pariton alkuluku nyt p = 19. Etsitään sellainen kokonaislukuk, että yhtälökp=x²+y²+z²+w²on ratkeava kokonaisluvuilla x, y, z ja w. Nyt lauseen 15 todistuksen mukaan voidaan muodostaa kaksi joukkoa

S ={0,1,4,9,25,36,49,64,81}ja

T ={−1,−2,−5,−10,−17,−26,−37,−50,−65,−82}.

Nyt on olemassa kaksi kokonaislukua joukkojen S ja T unionissa, jotka ovat kongruentteja keskenään modulo19. JoukonS alkio9ja joukonT alkio−10, jotka toteuttavat ehdon9≡ −10 (mod 19). JoukonSalkiot olivat muotoax² ja joukonT alkiot olivat muotoa−1−y², jolloinx²+y²+1 = 3²+3²+1 = 19.

Nyt x= 3, y= 3, z = 1 ja w= 0 ja k = 1.

Lause 16. (vrt.[4, s.500]) Olkoon palkuluku. Tällöin yhtälölläx²+y²+z²+ w² =p on ratkaisu, missä x, y, z, w ovat kokonaislukuja.

Todistus. (vrt.[4, s.500–501]) Kun p = 2, yhtälöllä x² +y² +z² +w² = p on ratkaisuna kokonaisluvut x = 1, y = 1, z = 0, w = 0. Olkoot p pariton alkuluku jampienin sellainen kokonaisluku, että yhtälölläx²+y²+z²+w² = mp on ratkaisuna kokonaisluvut x, y, z ja w. Lause saadaan todistetuksi, jos voidaan osoittaa, että m = 1. Tehdään vastaoletus, että m > 1, ja etsitään pienin sellainen mahdollinen kokonaisluku.

Josm on parillinen, niinx, y, z ja w ovat kaikki parittomia, kaikki paril- lisia tai kaksi luvuista on parittomia ja kaksi parillisia. Nyt luvut x, y, z, w voidaan järjestää niin, että x≡y (mod 2) ja z ≡w (mod 2).

Tällöin(x−y)/2,(x+y)/2,(z−w)/2ja (x+w)/2ovat kokonaislukuja ja

x−y 2

2

+

x+y 2

2

+

z−w 2

2

+

z+w 2

2

= (m/2)p.

Tämä on ristiriidassa sen kanssa, ettäm on pienin mahdollinen positiivinen, parillinen kokonaisluku. Olkoon nyt m pariton ja m > 1. Olkoot a, b, c ja d sellaisia kokonaislukuja, että

a≡x (mod m), b≡y (mod m), c≡z (mod m), d ≡w (mod m) ja

−m/2< a < m/2, −m/2< b < m/2,

−m/2< c < m/2, −m/2< d < m/2.

Tällöin on voimassa

a²+b²+c²+d² ≡x² +y²+z²+w² (mod m) ja on olemassa sellainen kokonaisluku k, että

a²+b²+c²+d² =km.

Luvuille a, b, c ja d esitettyjen rajoitusten avulla voidaan todeta, että 0≤a² +b²+c²+d² <4(m/2)² =m².

Tällöin siis 0 ≤ k < m. Jos k = 0, niin a = b = c = d = 0 ja tällöin myös x ≡ y ≡ z ≡ w ≡ 0 (mod m). Nyt m² | mp, joka on mahdotonta, koska 1< m < p. On siis oltava k >0. Nyt voidaan muodostaa tulo

(x²+y²+z²+w²)(a²+b²+c² +d²) = mp·km=m²kp.

Tämä voidaan jakaa neljän neliön summaksi lauseen 14 todistuksessa esitetyn yhtälön mukaisesti

(ax+by+cz+dw)²+ (bx−ay+dz−cw)²

+ (cx−dy−az+bw)²+ (dx+cy−bz−aw)² =m²kp.

Huomautus. Lähdeteoksessa on painovirhe edellisen yhtälön osassa (bx- ay+dz-dw). Kuten myös seuraavaksi esitettävässä kongruenssissa cx−dy− az+bw ≡zs−wy−xz+yw (mod m)

Jokainen edellä olevien yhtälöiden neljästä jäsenestä on jaollinen luvulla m, koska

ax+by+cz+dw≡x²+y²+z²+w² ≡0 (mod m), bx−ay+dz−cw ≡yx−xy+wz−zw≡0 (mod m), cx−dy−az+bw ≡zx−wy−xz+yw ≡0 (mod m), dx+cy−bz−aw≡wx+zy−yz −xw≡0 (mod m).

Olkoot X, Y, Z ja W kokonaislukuja, jotka on saatu jakamalla edellä esitetyt lausekkeet luvulla m, jolloin

X = (ax+by+cz+dw)/m, Y = (bx−ay+dz−cw)/m, Z = (cx−dy−az+bw)/m, W = (dx+cy−bz−aw)/m.

Aiemmin esitettiin tulo neljän neliön summan avulla, joten nyt neliöiden summat voidaan esittää kyseisen tulon avulla

X²+Y²+Z²+W² = (x²+y²+z²+w²)(a²+b²+c²+d²)/m² =m²kp/m² =kp.

Tämä on ristiriidassa kokonaisluvunmvalinnan kanssa, joten on oltava niin, että m = 1. Nyt lause on siis todistettu.

Esimerkki 15. Olkoon alkuluku p = 37. Nyt on olemassa kokonaisluvut x = 5, y = 2, z = 2 ja w = 2, joiden neliöiden summa on alkuluku p eli 37 = 5²+ 2²+ 2²+ 2².

Lause 17. (vrt.[4, s.502]) Jokainen positiivinen kokonaisluku on neljän ko- konaisluvun neliön summa.

Todistus. (vrt.[4, s.502]) Olkoonn positiivinen kokonaisluku. Tällöin aritme- tiikan peruskäsitteiden ja lukujen jaollisuuden perusteella n on alkulukujen tulo. Lauseen 16 mukaan jokainen alkuluku voidaan ilmoittaa neljän luvun neliön summana. Lauseen 14 mukaan kahden kokonaisluvun, jotka ovat nel- jän kokonaisluvun neliöiden summia, tulo on on myös neljän kokonaisluvun neliöiden summa. Edellä todettiin, että non alkulukujen tulo elin on tällöin neljän neliön summa.

Viitteet

[1] P. Haukkanen Algebra 1, opetusmoniste, Tampereen yliopisto, 2004.

[2] P. Haukkanen Lukuteoriaa, opetusmoniste, Tampereen yliopisto.

[3] K. H. Rosen Discrete Mathematics and Its Applications, first edition, AT&T Information Systems Inc, New York, 1988.

[4] K. H. Rosen Elementary Number Theory and Its Applications, fourth edition, AT&T Laboratories, USA, 2000.

[5] S. Singh,Fermat’n viimeinen teoreema, Suomentanut K. Savolainen, Kus- tannusosakeyhtiö Tammi, Helsinki, 1998.

[6] Matematiikkalehti solmu 6.9.2000, [Verkkodokumentti], [Viitattu 8.5.2009]

URL: http://solmu.math.helsinki.fi/2000/mathist/html/kreikka/index.html