Luku 6 – Tehtävien malliratkaisut

Luku 6 – Tehtävien malliratkaisut

6.1 a) 𝑥² = 25

𝑥 = ±√²⁵ 𝑥 = ±5 b)

𝑥 −10 = 0 𝑥 = 10

𝑥 = ±√10 c)

𝑥 + 1 = 0 𝑥 =−1

Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus a) 𝑥= −5 tai 𝑥= 5 b) 𝑥=−√10 tai 𝑥 =√10 c) ei ratkaisua

Ratkaisukaavalla saatu tulos voitaisiin sieventää neliöjuuren laskusäännön avulla muotoon x = ±√6.

Tapa 1. Ratkaistaan yhtälö neliöjuuren avulla.

2𝑥 −12 = 0 2𝑥 = 12 |∶2

𝑥 = 6 𝑥 = ±√6

Tapa 2. Ratkaistaan yhtälö ratkaisukaavalla.

2𝑥 −12 = 0

𝑥=−0 ± 0 −4⋅2⋅(−12) 2⋅2

𝑥=±√96 4

b)

15 + 4𝑥 = 3𝑥 4𝑥 −3𝑥 = −15

𝑥 = −15

Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus a) 𝑥=−√6 tai 𝑥= √6 b) ei ratkaisua

Neliöyhtälö x² = vakio

Jaa toisen asteen termin kertoimella.

a = 2, b = 0, c = −12

a)

Hyödynnetään tulon nollasääntöä.

𝑥(𝑥 −4)= 0

𝑥= 0 tai 𝑥 −4 = 0 𝑥= 4 b)

𝑥 = 5𝑥 𝑥 −5𝑥= 0 𝑥(𝑥 −5)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 𝑥 −5 = 0

𝑥= 5 c)

3𝑥 −2𝑥= −𝑥 +𝑥 3𝑥 +𝑥 −2𝑥 − 𝑥= 0

4𝑥 −3𝑥= 0 𝑥(4𝑥 −3)= 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 4𝑥 −3 = 0

4𝑥= 3 | ∶ 4 𝑥= 3

4

Vastaus a) 𝑥= 0 tai 𝑥= 4 b) 𝑥= 0 tai 𝑥= 5 c) 𝑥= 0 tai 𝑥=

Erota yhteinen tekijä x.

x² – 5x =x ∙ x – 5 ∙ x

Erota yhteinen tekijä x.

4x² – 3x = 4x ∙ x – 3 ∙ x

𝑥 −36 = 0 𝑥 = 36

𝑥 = ±√36 𝑥 = ±6

b)

5𝑥 + 20 = 0

5𝑥 =−20 | ∶5 𝑥 =−4

Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

c)

2𝑥 = 0 | ∶ 2 𝑥 = 0

𝑥= ±√0 𝑥= 0

Vastaus a) 𝑥=−6 tai 𝑥= 6 b) ei ratkaisua c) 𝑥= 0

a)

120𝑥 = 𝑥

119𝑥 = 0 | ∶ 119 𝑥 = 0

𝑥= ±√0 𝑥= 0

b)

−5𝑥 + 15 = 0

−5𝑥 =−15 | ∶ (−5) 𝑥 =−15

−5 𝑥 = 3

𝑥= ±√3

c)

7𝑥 −3 +𝑥= 4 +𝑥 7𝑥 +𝑥 − 𝑥= 4 + 3 7𝑥 = 7 | ∶ 7

𝑥 = 1 𝑥= ±√1 𝑥= ±1

Vastaus a) 𝑥= 0 b) 𝑥= −√3 tai 𝑥=√3 c) 𝑥 =−1 tai 𝑥= 1

Siirrä kaikki muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle.

Kirjoita yhtälö muodossa x² = vakio.

Siirrä kaikki muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiotermit oikealle puolelle.

7𝑥(𝑥 −3)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 7𝑥 = 0 | ∶7 tai 𝑥 −3 = 0

𝑥 = 0 𝑥= 3 b)

(4− 𝑥)(4𝑥+ 3)= 0

Yhtälön vasemmalla puolella on kertolasku ja oikealla nolla, joten voidaan soveltaa tulon nollasääntöä.

4− 𝑥 = 0 tai 4𝑥+ 3 = 0

−𝑥=−4 | ∶ (−1) 4𝑥 =−3 | ∶4

𝑥= 4 𝑥 =−3

4 c)

(2𝑧+ 1)(3𝑧 −2)= 0 Tulon nollasäännön mukaan 2𝑧+ 1 = 0 tai 3𝑧 −2 = 0

2𝑧=−1 | ∶ 2 3𝑧= 2 | ∶3 𝑧=−1

2 𝑧=2

3

Vastaus a) 𝑥= 0 tai 𝑥= 3 b) 𝑥=−3

4 tai 𝑥= 4 c) 𝑧= −1

2 tai 𝑧=2 3

a)

4𝑥 + 8𝑥= 0 𝑥(4𝑥+ 8)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 4𝑥+ 8 = 0

4𝑥= −8 | ∶4 𝑥= −2

b)

6𝑥 − 𝑥= 0 𝑥(6𝑥 −1)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 6𝑥 −1 = 0

6𝑥= 1 | ∶ 6 𝑥= 1

6

Vastaus a) 𝑥=−2 tai 𝑥= 0 b) 𝑥= 0 tai 𝑥=

Erota yhteinen tekijä.

−𝑥 =𝑥

−𝑥 − 𝑥 = 0

−𝑥(𝑥+ 1) = 0

Tulon nollasäännön mukaan

−𝑥= 0 | ∶ (−1) tai 𝑥+ 1 = 0

𝑥= 0 𝑥=−1

b)

3𝑦 − 𝑦=−2𝑦 3𝑦 + 2𝑦 − 𝑦= 0

5𝑦 − 𝑦= 0 𝑦(5𝑦 −1) = 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑦= 0 tai 5𝑦 −1 = 0

5𝑦= 1 | ∶5 𝑦=1

5

Vastaus a) 𝑥=−1 tai 𝑥= 0 b) 𝑦= 0 tai 𝑦 =

Erota yhteinen tekijä −x.

−x² − x =−1x ∙ x − 1x ∙ 1= −1x(x + 1)

A 5𝑥 = 10𝑥+ 2𝑥(1 + 2𝑥)

C 5𝑥 = 10𝑥+ 2𝑥+ 4𝑥

E 5𝑥 = 12𝑥+ 4𝑥

B 𝑥 −12𝑥= 0 F 𝑥(𝑥 −12) = 0

D 𝑥 = 0 tai 𝑥 −12 = 0

G 𝑥 = 0 tai 𝑥= 12

5𝑥 = 3 + 3(2𝑥 −1) 5𝑥 = 3 + 6𝑥 −3 5𝑥 −6𝑥= 0

𝑥(5𝑥 −6)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 5𝑥 −6 = 0

5𝑥= 6 𝑥= 6

5 b)

3𝑥 −2𝑥= 2(3− 𝑥) 3𝑥 −2𝑥= 6−2𝑥 3𝑥 −2𝑥+ 2𝑥= 6

3𝑥 = 6 | ∶ 3 𝑥 = 2

𝑥= ±√2 c)

(𝑥+ 1)(𝑥+ 2) = 2 𝑥 + 2𝑥+𝑥+ 2 = 2

𝑥 + 3𝑥+ 2 = 2 | −2 𝑥 + 3𝑥= 0 𝑥(𝑥+ 3) = 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 𝑥+ 3 = 0

𝑥= −3

Vastaus a) 𝑥= 0 tai 𝑥= b) 𝑥= −√2 tai 𝑥= √2 c) 𝑥= −3 tai 𝑥= 0

a)

Muodostetaan yhtälö, jossa funktion f arvo on merkitty yhtä suureksi kuin nolla.

𝑓(𝑥) = 0 𝑥 −5 = 0 𝑥 = 5

𝑥 = ±√5 b)

Funktiot saavat saman arvon, kun 𝑓(𝑥)= 𝑔(𝑥) . 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)

𝑥 −5 =−𝑥 + 7𝑥 −5 𝑥 +𝑥 −7𝑥 −5 + 5 = 0

2𝑥 −7𝑥= 0 𝑥(2𝑥 −7) = 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥 = 0 tai 2𝑥 −7 = 0

2𝑥= 7 | ∶ 2 𝑥= 7

2

Vastaus a) 𝑥=−√5 tai 𝑥= √5 b) 𝑥= 0 tai 𝑥=

Yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi.

Yhtälö voidaan siis ratkaista neliöjuuren avulla.

Yhtälöstä puuttuu vakiotermi.

Yhtälö voidaan siis ratkaista tulon nollasäännön avulla.

käänteisluvulla.Siirrä kaikki termit vasemmalle ja

Funktion nollakohdat ovat ne muuttujan x arvot, joilla funktion arvo on nolla.

𝑓(𝑥)= 0 3𝑥 −8𝑥= 0 𝑥(3𝑥 −8)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 3𝑥 −8 = 0

3𝑥= 8 | ∶ 3 𝑥= 8

3 b)

𝑔(𝑥)=−5

−𝑥 + 10 =−5

−𝑥 =−15 | ∶ (−1) 𝑥 = 15

𝑥= ±√15

Vastaus a) 𝑥= 0 tai 𝑥=8

3 b) 𝑥 =−√15 tai 𝑥= √15

a)

2𝑥 −32 = 0

2𝑥 = 32 | ∶2 𝑥 = 16

𝑥 = ±√16 𝑥 = ±4 b)

6𝑦 +𝑦 −1 = 5 +𝑦 6𝑦 +𝑦 − 𝑦= 5 + 1 6𝑦 = 6 | ∶ 6

𝑦 = 1 𝑦= ±√1 𝑦= ±1 c)

110𝑡 = 𝑡 110𝑡 − 𝑡 = 0

109𝑡 = 0 | ∶ 109 𝑡 = 0

𝑡= ±√0 𝑡= 0

Vastaus a) 𝑥=−4 tai 𝑥= 4 b) 𝑦= −1 tai 𝑦= 1 c) 𝑡 = 0

(3𝑥+ 9)(2𝑥 −1)= 0

Yhtälön vasemmalla puolella on tulo ja oikealla nolla, joten voidaan soveltaa tulon nollasääntöä.

3𝑥+ 9 = 0 tai 2𝑥 −1 = 0 3𝑥=−9 | ∶ 3 2𝑥= 1 | ∶ 2

𝑥=−3 𝑥=

b)

−2𝑡(3𝑡+ 1)= 0

Tulon nollasäännön mukaan

−2𝑡= 0 tai 3𝑡+ 1 = 0

𝑡= 0 3𝑡 =−1 | ∶ 3 𝑡 =−

c)

−2𝑥 −100 = 3𝑥

−2𝑥 −3𝑥 = 100

−5𝑥 = 100 | ∶(−5) 𝑥 =−20

Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus a) 𝑥=−3 tai 𝑥= b) 𝑡 =− tai 𝑡= 0 c) ei ratkaisua

a)

0,4𝑥 −1,6 = 0

0,4𝑥 = 1,6 | ∶ 0,4 𝑥 = 4

𝑥= ±√4 𝑥= ±2 b)

−3,5𝑥= 10,5𝑥

−10,5𝑥 −3,5𝑥= 0 | ∶ (−1) 10,5𝑥 + 3,5𝑥= 0

𝑥(10,5𝑥+ 3,5)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 10,5𝑥+ 3,5 = 0

10,5𝑥= −3,5 | ∶10,5 𝑥= − 3,5

10,5

( ,

𝑥= −1 3 c)

6(0,3𝑥 −1)= −0,6 1,8𝑥 −6 = −0,6

1,8𝑥 = −0,6 + 6 1,8𝑥 = 5,4 | ∶1,8

𝑥 = 3 𝑥= ±√3

Vastaus a) 𝑥=−2 tai 𝑥= 2 b) 𝑥= − tai 𝑥= 0 c) 𝑥= −√3 tai 𝑥 =√3

−3,5 10,5

)

=− 35 105

(

=− 7 21

(

=−1 3

𝑠 −2𝑠 = 0

Koska yhtälön vasemmalla puolella on tulo ja oikealla puolella nolla, sovelletaan tulon nollasääntöä.

𝑠 = 0 tai −2𝑠= 0

𝑠 = 0 −2𝑠= − | ∶ (−2) 𝑠= − : (−2) 𝑠= − ⋅ − 𝑠=

b)

(5𝑥 −1) = 0 (5𝑥 −1)(5𝑥 −1)= 0

Tulon nollasäännön mukaan 5𝑥 −1 = 0

5𝑥= 1 | ∶5 𝑥=1

5

Vastaus a) 𝑠= 0 tai 𝑠 = b) 𝑥=

Murtolukujen jakolasku lasketaan kertomalla jakajan

a)

100𝑥 −6𝑥= −3(2𝑥 −600) 100𝑥 −6𝑥= −6𝑥+ 1800 100𝑥 −6𝑥+ 6𝑥= 1800

100𝑥 = 1800 | ∶100 𝑥 = 18

𝑥= ±√18 b)

2−2(4− 𝑥)= 2(𝑥 −1)+𝑥 2−8 + 2𝑥= 2𝑥 −2 +𝑥

−𝑥 + 2𝑥 −2𝑥 −6 = −2

−𝑥 = −2 + 6

−𝑥 = 4 | ∶ (−1) 𝑥 = −4

Minkään luvun neliö ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

c)

(𝑥+ 1)(𝑥 −5) =−5 𝑥 −5𝑥+𝑥 −5 =−5

𝑥 −4𝑥= 0 𝑥(𝑥 −4) = 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 𝑥 −4 = 0

𝑥= 4

Vastaus a) 𝑥=−√18 tai 𝑥= √18 b) ei ratkaisua c) 𝑥= 0 tai 𝑥= 4

Laske ensin kertolasku

Esimerkiksi 3𝑥 = 0, sillä 3𝑥 = 0 | ∶ 3

𝑥 = 0 𝑥= ±√0 𝑥= 0 b)

Esimerkiksi 𝑥 + 7𝑥 = 0, sillä 𝑥 + 7𝑥= 0

𝑥(𝑥+ 7𝑥)= 0

ja tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 𝑥+ 7 = 0

𝑥= −7 c)

Esimerkiksi 𝑥 =−2, sillä minkään luvun neliö ei ole negatiivinen. Näin ollen yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Vastaus: a) esimerkiksi 3𝑥 = 0 b) esimerkiksi 𝑥 + 7𝑥= 0 c) esimerkiksi 𝑥 = −2

a)

𝑓(𝑥)=−7

−4𝑥 + 1 =−7

−4𝑥 =−8 | ∶ (−4) 𝑥 = 2

𝑥= ±√2

b)

𝑓(𝑥)= 𝑔(𝑥)

−4𝑥 + 1 =𝑥 + 2𝑥+ 1

−4𝑥 − 𝑥 −2𝑥+ 1−1 = 0

−5𝑥 −2𝑥= 0 | ∶ (−1) 5𝑥 + 2𝑥= 0

𝑥(5𝑥+ 2)= 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 5𝑥+ 2 = 0

5𝑥= −2 | ∶5 𝑥= −2

5

Vastaus a) 𝑥=−√2 tai 𝑥= √2 b) 𝑥=−2

5 tai 𝑥= 0

Yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi.

Yhtälö voidaan siis ratkaista neliöjuuren avulla.

Yhtälöstä puuttuu vakiotermi.

Yhtälö voidaan siis ratkaista tulon nollasäännön avulla.

Siirrä kaikki termit vasemmalle ja sievennä.

𝑓(𝑥) = 0 5𝑥 −1

6𝑥= 0 𝑥 5𝑥 −1

6 = 0

Tulon nollasäännön mukaan 𝑥 = 0 tai 5𝑥 −1

6= 0 5𝑥= 1

6 | ∶ (5) 𝑥= 1

6: (5) 𝑥= 1

6⋅1 5 𝑥= 1

30 b)

𝑓(𝑥)= 0

−3𝑥 + 20 =−25

−3𝑥 =−45 | ∶ (−3) 𝑥 = 15

𝑥= ±√15

Vastaus a) 𝑥= 0 tai 𝑥= b) 𝑥= −√15 tai 𝑥=√15

Murtolukujen jakolasku lasketaan kertomalla jakajan käänteisluvulla.

Merkitään ensin lausekkeet (2𝑥 −1) ja (𝑥+ 1)(2𝑥+ 1) yhtä suuriksi (2𝑥 −1) = (𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)

(2𝑥 −1)(2𝑥 −1)= (𝑥+ 1)(2𝑥+ 1) 4𝑥 −2𝑥 −2𝑥+ 1 = 2𝑥 +𝑥+ 2𝑥+ 1 4𝑥 −2𝑥 −4𝑥+ 1 = 3𝑥+ 1

2𝑥 −4𝑥 −3𝑥+ 1−1 = 0 2𝑥 −7𝑥= 0 𝑥(2𝑥 −7)= 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 2𝑥 −7 = 0

2𝑥= 7 | ∶ 2 𝑥= 7

2

Lausekkeet saavat saman arvon, kun 𝑥= 0 tai 𝑥= . Lasketaan lausekkeen arvot sijoittamalla muuttujan arvot lausekkeeseen (2𝑥 −1) .

Kun 𝑥= 0, lausekkeet saavat arvon

(2𝑥 −1) = (2⋅0−1) = (0−1) = (−1) = 1.

Kun 𝑥= , lausekkeet saavat arvon

(2𝑥 −1) = (2⋅ −1) = (7−1) = 6 = 36.

Vastaus: Lausekkeet saavat arvon 1, kun 𝑥= 0, ja arvon 36, kun 𝑥= .

yhtälöstä vakion p arvo.

5𝑝 𝑥 − 𝑝𝑥 = 0 5𝑝 ⋅(−2)− 𝑝 ⋅(−2) = 0

−10𝑝 −4𝑝= 0 | ∶(−2) 5𝑝 + 2𝑝= 0

𝑝(5𝑝+ 2) = 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑝= 0 tai 5𝑝+ 2 = 0

5𝑝 =−2 | ∶5 𝑝 =−2

5

Jos 𝑝 = 0 lausekkeen vasen puoli on nolla, eikä kyseessä ole toisen asteen yhtälö.

Ainoa ratkaisu on siis 𝑝 =− . Vastaus: 𝑝= −

Jaetaan yhtälö negatiivisella luvulla, jolloin yhtälöön saadaan positiiviset luvut kertoimiksi.

B 6𝑥 −4(𝑥 −2) =−8 + 10𝑥 E 6𝑥 −4𝑥 + 8 =−8 + 10𝑥

D 2𝑥 + 8 =−8 + 10𝑥

C −8𝑥 =−16

A 𝑥 = 2

F 𝑥= ±√2

𝑥

2 −3 =−3

2𝑥 + 1 𝑥

2 +3𝑥

2 −4 = 0 |⋅2 𝑥 + 3𝑥 −8 = 0

4𝑥 = 8 |∶4 𝑥 = 2

𝑥= ±√2 b)

1

6𝑥 +1

3𝑥 −1 = 2 𝑥 −1 2 1

6𝑥 +1

3𝑥 −1 = 2𝑥 −1 1

6𝑥 + 1 3

)

𝑥 − 2𝑥 1

)

= 0 𝑥

6 +2𝑥

6 −12𝑥

6 = 0 | ⋅6 𝑥 + 2𝑥 −12𝑥= 0

𝑥 −10𝑥= 0 𝑥(𝑥 −10)= 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥 = 0 tai 𝑥 −10 = 0

𝑥= 10

Vastaus a) 𝑥=−√2 tai 𝑥= √2 b) 𝑥= 0 tai 𝑥= 10

Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle.

Merkitse kirjainosat osoittajaan ja lavenna termit

samannimisiksi.

Kerro yhtälö yhteisellä nimittäjällä.

Funktiot saavat saman arvon, kun 𝑓(𝑥)= 𝑔(𝑥) . 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)

𝑥 −12 =1

3𝑥 −5

6𝑥 −12 𝑥

1

)

− 1 3

)

𝑥 +5 6𝑥= 0 6𝑥

6 −2𝑥

6 +5𝑥

6 = 0 | ⋅6 6𝑥 −2𝑥 + 5𝑥= 0

4𝑥 + 5𝑥= 0 𝑥(4𝑥+ 5) = 0 Tulon nollasäännön mukaan 𝑥= 0 tai 4𝑥+ 5 = 0

4𝑥= −5 | ∶4 𝑥= −5

4

Vastaus: 𝑥= − tai 𝑥= 0