Luku 7 – Tehtävien malliratkaisut

(1)

Luku 7 – Tehtävien malliratkaisut

7.1 a)

Funktio 𝑠(𝑥) kuvaa auton pysähtymismatkaa, kun x on auton nopeus, kun jarrutus alkaa (km/h). Lasketaan siis funktion arvo, kun 𝑥= 60 (km/h).

𝑓(60) = 43,08≈ 43 m

Pysähtymismatka on 43 m, kun nopeus jarrutuksen alkaessa on 60 km/h.

b)

Muodostetaan yhtälö, jossa pysähtymismatkan funktio s on merkitty yhtä suureksi kuin 60 m.

Ratkaistaan yhtälöstä alkunopeus x.

𝑓(𝑥) = 60 0,0078𝑥 + 0,25𝑥= 60

𝑥= −105,18. . . tai 𝑥= 73,13. . .

Alkunopeus ei voi olla negatiivinen, joten alkunopeus on 𝑥= 73,13. . .≈73 km/h.

Vastaus: a) 43 m b) 73 km/h

Laske funktion arvo CAS-laskimella.

Selvitä, milloin

pysähtymismatka on 60 m.

Ratkaise yhtälö CAS- laskimella.

(2)

alussa ja lopussa maan pinnalla, eli funktion arvo on 0 (m). Selvitetään koiran hypyn pituus määrittämällä funktion f nollakohtien etäisyys.

Ratkaistaan tehtävä graafisesti. Piirretään funktion f kuvaaja ja määritetään nollakohdat.

Funktion nollakohdat ovat 𝑥= 0 tai 𝑥= 2,625

Nollakohtien välinen etäisyys on 2,625−0 = 2,625≈2,6 m Koiran hypyn pituus on siis 2,6 m.

b)

Koiran hyppy on korkeimmillaan funktion f kuvaajaparaabelin huipussa. Huipun y- koordinaatti ilmaisee, kuinka korkealla koira korkeimmillaan käy. Huippu on symmetria- akselilla, joka kulkee y-akselin suuntaisesti nollakohtien puolivälissä.

Paraabelin huippu on pisteessä C, jossa 𝑦= 1,378. . .≈ 1,4 m. Hyppy on korkeimmillaan 1,4 m.

Vastaus: a) 2,6 m b) 1,4 m

(3)

7.3

TAPA 1 – Ratkaistaan laskemalla a)

Funktio ℎ(𝑡) kuvaa kiven korkeutta metreinä, kun t on heittohetkestä kulunut aika (s).

Heittohetkellä aikaa on kulunut 0 sekuntia. Lasketaan siis funktion arvo, kun 𝑡 = 0 (s).

ℎ(0) = −4,88⋅0 + 2,44⋅0 + 1540 = 1540 (m) Heittohetkellä kiven korkeus on siis 1540 m.

b)

Kivi on pohjalla, kun sen korkeus kanjonin pohjasta on 0 m. Merkitään korkeuden funktio ℎ(𝑡) yhtä suureksi kuin 0 ja ratkaistaan aika t.

ℎ(𝑡) = 0

−4,88𝑡 + 2,44𝑡+ 1540 = 0

𝑡= −17,516. . . tai 𝑡 = 18,016. . .

Koska ajan tulee olla positiivinen, ratkaisuksi käy vain 𝑡 = 18,016. . .≈18 s.

Kivellä menee 18 sekuntia pudota kanjonin pohjalle.

Vastaus: a) 1540 m b) 18 s

(4)

Piirretään funktion kuvaaja, kun 𝑡 0 s ja selvitetään, mikä on funktion arvo, kun 𝑡= 0.

Funktion arvo on 1540, kun 𝑡 = 0, joten kiven korkeus heittohetkellä on 1540 m.

b)

Kivi on pohjalla, kun korkeus on 0 m, eli funktio saa arvon nolla. Selvitetään funktion nollakohdat, kun 𝑡 0.

Kun 𝑡 0, funktiolla on yksi nollakohta 𝑡= 18,016. . .≈ 18. Kivellä kestää siis 18 sekuntia pudota kanjonin pohjalle.

Vastaus: a) 1540 m b) 18 s

(5)

7.4

TAPA 1 – Ratkaistaan laskemalla a)

Kioskin myyntituloja (€) kuvaa funktio 𝑓(𝑥) = 415𝑥 −90𝑥 , missä 1,50≤ 𝑥 ≤4,00.

Lasketaan funktion arvo, kun 𝑥= 2,50.

𝑓(2,50) = 475 (€).

Myyntitulot ovat siis 475 €.

b)

Merkitään 𝑓(𝑥) yhtä suureksi kuin 400 ja ratkaistaan muuttuja x.

𝑓(𝑥) = 400 415𝑥 −90𝑥 = 400

𝑥= 1,372 … tai 𝑥= 3,238 …

Välille 1,50≤ 𝑥 ≤4,00 kuuluu vain 𝑥= 3,238≈ 3,2 (€).

Jäätelön hinnan tulee siis olla 3,20 € kappaleelta.

c)

Funktion kuvaajan perusteella suurin myyntitulo välillä 1,50≤ 𝑥 ≤4,00 saadaan kuvaajan huipussa. Huipun x-koordinaatti saadaan laskemalla nollakohtien keskiarvo.

Lasketaan ensin nollakohdat.

𝑓(𝑥) = 0 415𝑥 −90𝑥 = 0

𝑥= 0 tai 𝑥= 4,611. . .

Nollakohtien keskiarvo on ^, ^...= 2,3055. . .≈2,3, eli 𝑥 ≈2,3.

Suurin myyntitulo saadaan, kun jäätelö maksaa 2,30 € kappaleelta.

Vastaus: a) 475 € b) 3,20 € / kpl c) 2,30 € / kpl

Pyöristetty 10 sentin tarkkuudella.

(6)

Selvitetään, mikä on funktion arvo, kun 𝑥= 2,50.

Funktio saa arvon 475, eli myyntitulot ovat 475 €.

b)

Selvitetään, millä muuttujan x arvolla funktio saa arvon 400.

Funktio saa arvon 400, kun 𝑥= 1,372. . . tai 𝑥= 3,238. ..

Näistä välille 1,50 ≤ 𝑥 ≤4,00 kuuluu vain 𝑥= 3,238. . .≈3,2, joten jäätelön tulee maksaa 3,20 € kappaleelta.

(7)

c) Funktion kuvaajan perusteella suurin myyntitulo välillä 1,50≤ 𝑥 ≤4,00 saadaan kuvaajan huipussa. Määritetään funktion nollakohdat. Piirretään nollakohtien avulla paraabelin

symmetria-akseli.

Huipun C x-koordinaatti on 𝑥= 2,305. . .≈ 2,3, joten suurimmat myyntitulot saadaan, kun jäätelön hinta on 2,30 € kappaleelta.

Vastaus: a) 475 € b) 3,20 € / kpl c) 2,30 € / kpl

(8)

Koska kuvaajan symmetria-akseli kulkee pitkin y-akselia, symmetria-akselin yhtälö on 𝑥= 0.

Näin ollen tunnelin korkein kohta on kohdassa 𝑥= 0. Ratkaistaan funktion arvo kyseisessä kohdassa.

𝑓(0) = −0,6⋅0 + 4,3 = 4,3

Tunneli on siis korkeimmillaan 4,3 m.

b)

Koska tie kulkee maanpinnan tasolla, eli x-akselin tasolla, tien leveys saadaan laskemalla nollakohtien välinen etäisyys.

𝑓(𝑥) = 0

−0,6𝑥 + 4,3 = 0

𝑥=−2,677 … tai 𝑥= 2,677 …

Nollakohtien välinen etäisyys on 2,677−(−2,677) = 5,354≈5,4 (m).

Tien leveys on siis 5,4 m.

(9)

7.5

TAPA 2 – Ratkaistaan graafisesti a)

Piirretään funktion kuvaaja ja ratkaistaan huippu symmetria-akselin avulla. Symmetria-akseli kulkee pitkin y-akselia, joten se on suora 𝑥= 0. Kuvaajan huippu on symmetria-akselin ja kuvaajan leikkauspisteessä.

Huipun y-koordinaatti on 4,3, joten tunneli on korkeimmillaan 4,3 m.

b)

Koska tie kulkee maanpinnan tasolla eli x-akselin tasolla, tien leveys saadaan selvittämällä nollakohtien välinen etäisyys.

Nollakohtien välinen etäisyys on 5,354. . .≈5,4 (m), joten tien leveys on 5,4 m.

(10)

Mallien ennustamat lipputulot ovat yhtä suuret, kun funktiot f ja g saavat yhtä suuret arvot.

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttuja x.

𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) 2100𝑥 −25𝑥 = 1380𝑥

𝑥= 0 tai 𝑥= 28,8

Oletetaan, että lippu ei voi olla ilmainen.

Mallien mukaiset lipputulot ovat yhtä suuret, kun lippu maksaa 28,80 € / kpl.

b)

Lasketaan lipputulot, kun 𝑥= 28,80.

𝑔(28,8) = 1380⋅28,80 = 39744 ≈39700 € Lipputulot ovat siis 39 700 €.

Vastaus: a) 28,80 € / kpl b) 39 700 €

Lipun hinta voidaan sijoittaa myös funktioon f(x).

(11)

7.6

Funktiot saavat samat arvot kohdissa, joissa niiden kuvaajat leikkaavat.

Piirretään kuvaajat ja määritetään niiden leikkauspisteet.

Lipun hinta on leikkauspisteen x- koordinaatti. Oletetaan, että lippu ei voi olla ilmainen, joten vain leikkauspiste B antaa järkevän arvon.

Mallien mukaiset lipputulot ovat samat, kun lipun hinta on 28,80 € / kpl.

b)

Myyntituloja kuvaa funktion arvo, eli pisteen y-koordinaatti. Pisteessä B lipun hinta 𝑥= 28,80, jolloin myyntitulot ovat 39744≈39700 €.

Vastaus: a) 28,80 €/kpl b) 39 700 €

(12)

Näköalatasanteen korkeutta kuvaa sen sijaintipisteen y-koordinaatti. Sijaintipiste on

rinnettä kuvaavan paraabelin ja gondolisuoran leikkauspiste. Toinen leikkauspiste on kylän sijaintipiste. Määritetään leikkauskohdat merkitsemällä paraabelia ja suoraa kuvaavat lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaisemalla muodostunut yhtälö.

0,0009𝑥 = 0,72𝑥 −108 𝑥= 200 tai 𝑥= 600

Näköalatasanne sijatsee korkeammalla kuin kylä, joten näköalatasanteen sijaintipisteessä 𝑥= 600. Määritetään näköalatasanteen korkeus laskemalla leikkauspisteen y-koordinaatti, kun 𝑥 = 600 (m).

𝑦= 0,72⋅600−108 = 324 (m) Näköalatasanteen korkeus on 324 m.

b)

Kylän sijaintipisteen x-koordinaatti on toinen a-kohdan leikkauskohdista, eli kylän sijaintipisteessä 𝑥= 200. Selvitetään kylän korkeus laskemalla leikkauspisteen y- koordinaatti, kun 𝑥= 200 (m).

𝑦= 0,72⋅200−108 = 36 (m).

Pisteiden korkeusero on 324−36 = 288 (m).

Gondolihissin lähtöpaikan (kylän) ja näköalatasanteen korkeusero on siis 288 m.

Vastaus: a) 324 m b) 288 m

(13)

7.7

Piirretään kuvaajat ja määritetään leikkauspisteet.

Näköalatasanteen korkeus on pisteen B y- koordinaatti, eli 324 m.

b)

Gondolin lähtöpaikka on kylässä. Kylän korkeus on pisteen A y-koordinaatti, eli 36 m.

Lähtöpaikan ja näköalatasanteen korkeusero on siis 324−36 = 288 (m).

(14)

polynomin asteluku on 2.

Ojan poikkileikkausta kuvaa funktio 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −3𝑥, kun 0≤ 𝑥 ≤1.

Vastaus: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −3𝑥

(15)

7.9

Piirretään funktion kuvaaja. Pallon suurin korkeus saadaan määrittämällä funktion kuvaajaparaabelin huipun y-koordinaatti. Huippu on symmetria-akselilla, joka kulkee y- akselin suuntaisesti nollakohtien puolivälissä. Huippu saadaan paraabelin ja symmetria- akselin leikkauspisteenä.

Funktion huippu on pisteessä C. Korkeutta kuvaa funktion arvo, eli y- koordinaatti, joten pallon korkeus on 2,886. . .≈2,89 m.

b)

Koska korirengas on korkeudella 3,05 m ja pallon korkeus on suurimmillaan 2,89 m, joten heitto ei voi mennä koriin.

Vastaus: a) 2,89 m b) ei voi

(16)

Pallon lentoradan korkein kohta, eli funktion suurin arvo sijaitsee symmetria-akselilla.

Lentoradan huippu sijaitsee nollakohtien puolivälissä. Lasketaan nollakohdat ja niiden keskiarvo.

𝑓(𝑥) = 0 1,83 + 0,62𝑥 −0,091𝑥 = 0

𝑥 =−2,224. . . tai 𝑥= 9,038. . . Nollakohtien keskiarvo on ^, ^, = 3,407

Lasketaan funktion arvo, kun 𝑥= 3,407.

𝑓(3,407) = 2,886. . .≈2,89 m.

Pallo on korkeimmillaan 2,89 metrin korkeudella.

b)

Koska korirengas on korkeudella 3,05 metriä ja pallon korkeus on suurimmillaan 2,89 m, heitto ei voi mennä koriin.

Vastaus: a) 2,89 m b) ei voi

(17)

7.10

Piirretään funktion kuvaaja ja selvitetään, onko tunnelin leveys vähintään 2,6 m korkeudella 4,2 m.

Koska pisteiden A ja B välinen etäisyys kuorma-auton korkeudella on 4,281. . .≈ 4,3 m, kuorma-auto mahtuu ajamaan tunnelista.

b)

Oletetaan, että kuorma-auto ajaa keskellä tunnelia. Selvitetään, millä korkeudella tunnelin leveys on 2,6 m. Piirretään tunnelin poikkileikkausta kuvaava paraabeli. Symmetrian vuoksi tunnelin pisteet ovat yhtä kaukana symmetria-akselista. Tutkittavat x-koordinaatit ovat siis

−1,3 ja 1,3.

Korkeutta kuvaa y-koordinaatti. Suurin korkeus voi olla siis 4,899... Koska rajoitusta ei voi tässä tapauksessa pyöristää ylöspäin, tulee rajoituksen olla 4,8 m.

(18)

Selvitetään missä kohdissa tunnelin korkeus on 4,2 m.

𝑓(𝑥) = 4,2 5,3−0,24𝑥 = 4,2

𝑥= −2,140. . . tai 𝑥= 2,140. . .

Tunnelin leveys on näiden kohtien etäisyys: 2,140−(−2,140) = 4,480 metriä.

Näin ollen 2,6 m leveä rekka mahtuu kulkemaan tunnelista.

b)

Oletetaan, että kuorma-auto ajaa keskellä tunnelia. Selvitetään, millä korkeudella tunnelin leveys on 2,6 m. Symmetrian vuoksi tunnelin pisteet ovat yhtä kaukana symmetria-akselista.

Tutkittavat x- koordinaatit ovat siis -1,3 ja 1,3.

Selvitetään korkeus laskemalla funktion arvo näissä kohdissa.

𝑓(−1,3) = 5,3−0,24⋅(−1,3) = 4,894. . . 𝑓(1,3) = 5,3−0,24⋅(1,3) = 4,894. . .

Koska kyseessä on korkeusrajoitus, ei tulosta voida pyöristää ylöspäin. Näin ollen rajoituksen tulee olla 4,8 m.

Vastaus: a) mahtuu b) 4,8 m

(19)

7.11

Lähtöhetkellä 𝑥= 0 (m) Piirretään funktion kuvaaja ja ratkaistaan y- koordinaatti lähtöhetkellä.

Lähtökorkeus on siis 4,2 m.

b)

15 linja-auton leveys on 15⋅2,55 = 38,25 m. Hypyn lähtökorkeus on 4,2 m, joten hyppy menee linja-auton yli. Selvitetään, onko moottoripyörän korkeus vielä 4,2 m etäisyydellä 38,25 m

Kun linja-autot on ylitetty, moottoripyörän korkeus on 11,46 m, joten hyppy voi kantaa linja- autojen yli.

Vastaus: a) 4,2 m b) voi

(20)

Lähtöhetkellä 𝑥= 0. Lasketaan funktion arvo tässä kohdassa.

𝑓(0) = 4,2 + 0,84⋅0−0,017⋅0 = 4,2.

Korkeus on siis lähtöhetkellä 4,2 m.

b)

15 linja-auton leveys on 15⋅2,55 = 38,25 m. Hypyn lähtökorkeus on 4,2 m, joten hyppy menee linja-auton yli. Lasketaan moottoripyörän korkeus, kun 𝑥 = 38,25.

𝑓(38,25) = 4,2 + 0,84⋅38,25−0,017⋅38,25 = 11,459. . . (m)

Koska moottoripyörän korkeus on suurempi kuin bussin korkeus 4,2 m, hyppy voi kantaa bussien yli.

Vastaus: a) 4,2 m b) voi

(21)

7.12

Selvitetään paraabelin ja suoran leikkauspisteet piirtämällä.

Hypyn vaakasuoraa etäisyyttä kuvaa x-koordinaatti. Hyppääjä laskeutuu pisteessä B, joten hypyn vaakasuora pituus on tämän pisteen x-koordinaatti eli 106,25≈ 106 (m).

b)

Hyppy saavuttaa lakikorkeutensa paraabelin huipussa. Määritetään paraabelin huippu symmetria-akselin ja paraabelin leikkauspisteestä. Symmetria-akseli kulkee nollakohtien puolivälissä y-akselin suuntaisesti.

Paraabelin huippu on kohdassa 𝑥= 21,875≈22, joten lakikorkeus saavutetaan 22 m lähtöpisteestä vaakasuoraan mitattuna.

(22)

Hyppääjä laskeutuu rinteeseen pisteessä, joka on paraabelin ja suoran jälkimmäinen leikkauspiste. Merkitään ne samoiksi ja ratkaistaan vaakasuora etäisyys x.

−0,0048𝑥 + 0,21𝑥+ 48 =−0,3𝑥+ 48

−0,0048𝑥 + 0,51𝑥= 0

𝑥= 0 tai 𝑥= 106,25

Hypyn laskeutumispiste on jälkimmäinen, joten hypyn vaakasuora pituus on 106,25≈106 (m).

b)

Hyppy saavuttaa lakikorkeutensa paraabelin huipussa. Paraabelin huippu sijaitsee

symmetria-akselilla. Symmetria-akseli on nollakohtien puolivälissä. Lasketaan paraabelin nollakohdat.

−0,0048𝑥 + 0,21𝑥+ 48 = 0

𝑥= −80,489. . . tai 𝑥 = 124,24 Nollakohtien keskiarvo on ^, ^, = 21,875≈22 (m).

Lakikorkeuden vaakasuora etäisyys lähtöpisteestä on 22 m.

(23)

7.13

TAPA 1 – Ratkaistaan graafisesti

Piirretään vesisuihkuja kuvaavat paraabelit ja määritetään niiden leikkauspisteet.

Koska veden pinnan taso on x- akselilla, valitaan risteyskohdaksi piste B, jossa x- koordinaatti on positiivinen. Pisteen y- koordinaatti on 0,5047. . .≈0,50 (m), joten risteyskohdan korkeus on 0,50 m = 50 cm.

Vastaus: 50 cm

(24)

kuvaavat lausekkeet saavat saman arvon.

−𝑥 + 1,8𝑥+ 0,2 =−0,7𝑥 + 3,8𝑥 −3,8

𝑥= −8,277. . .≈ −8,28 tai 𝑥= 1,610. . .≈1,61

Koska x on vaakasuora etäisyys toisesta päästä, vain 𝑥 ≈ 1,61 kelpaa. Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti tässä kohdassa.

−(1,61) + 1,8⋅1,61 + 0,2 = 0,5059≈0,50 (m).

Risteyskohta on siis korkeudella 0,50 m = 50 cm.

Vastaus: 50 cm

(25)

7.14 a)

Päivittäinen myyntitulo f (€) on jäätelön yksikköhinnan ja myyntimäärän tulo. Myyntituloa kuvaa funktio (€)

𝑓(𝑥) =𝑥 ⋅(1000−200𝑥) = 1000𝑥 −200𝑥 ,

missä x on jäätelön myyntihinta (€/kpl).

b)

Päivittäiset kustannukset ovat jäätelön valmistushinta 0,50 € / kpl ja kiinteät 400 € kulut.

𝑔(𝑥) = 0,50⋅(1000−200𝑥) + 400

= 500−100𝑥+ 400

= −100𝑥+ 900

missä x on jäätelön myyntihinta (€/kpl).

c)

Kioskin pitäminen on kannattavaa, kun myyntitulot 𝑓(𝑥) ovat suuremmat kuin kustannukset 𝑔(𝑥). Piirretään funktioiden kuvaajat ja määritetään kuvaajien leikkauspisteet.

Funktion 𝑓(𝑥) arvot ovat suurempia kuin funktion 𝑔(𝑥), kun 1 𝑥 4,5. Kioskin pitäminen on siis kannattavaa, kun jäätelön myyntihinta on 1 € 𝑥 4,5 €

Vastaus: a) 𝑓(𝑥) =𝑥 ⋅(1000−200𝑥) = 1000𝑥 −200𝑥

b) 𝑔(𝑥) = 0,50⋅(1000−200𝑥) + 400 =−100𝑥+ 900 c) 1,00 € 𝑥 4,50 €

(26)

tunnettu piste on siis (0, 0). Koska sillan leveys on 162 m, toinen tunnettu piste on (162, 0).

Kolmas piste saadaan sillan huipusta. Huipun x-koordinaatti on = 81 ja y-koordinaatti on korkeus, eli 55 m. Kolmas tunnettu piste on siis (81, 55). Piirretään pisteet ja sovitetaan toisen asteen polynomi.

Sillan kaarta kuvaa funktio 𝑓(𝑥) =−0,0084𝑥 + 1,4𝑥, missä x on vaakasuora etäisyys ja y korkeus metreinä.

b)

Piirretään sillan kaarta kuvaava paraabeli. Koska tie kulkee 26 m korkeudella, piirretään tietä kuvaava suora 𝑦 = 26. Tien pituus saadaan määrittämällä paraabelin ja suoran

leikkauspisteiden etäisyys.

Kaaren alla kulkevan tien pituus on 124,08. . .≈120 m.

(27)

7.16 a)

Toisen asteen polynomimalliin tarvitaan kolme pistettä. Vaijerin alin piste on (0, 0). Alin piste on yhtä kaukana kiinnityspisteistä, eli = 640 metrin etäisyydellä. Kiinnityskohtien pisteet ovat siis (−640, 152) ja (640, 152). Piirretään pisteet ja sovitetaan toisen asteen polynomi.

Kerroin a on siis 0,00037.

b)

Lintu istuu 150 metrin päästä tornista, jolloin sen x-koordinaatti on −640 + 150 =−490.

Lasketaan vaijerin korkeus mallin avulla, kun 𝑥= −490.

0,00037⋅(−490) = 88,837≈89 (m)

Lintu on siis 89 m korkeudella sillasta mitattuna.

Vastaus: a) 0,00037 b) 89 m

(28)

korkeus 36,9 (m) on yksi piste (0; 36,9). Kaaren päätepisteet ovat yhtä kaukana y-akselista eli

, = 37,12 metrin etäisyydellä. Näin ollen päätepisteet ovat (−37,12; 0) ja (37,12; 0).

Piirretään pisteet ja sovitetaan toisen asteen polynomi.

Kaarta kuvaa funktio 𝑓(𝑥) =−0,0268𝑥 + 36,9.

b)

Kun kolikko ohittaa 2. kerroksen vartijan, se on pudonnut 300 m−116 m = 184 m.

Määritetään, millä ajan t arvolla funktio 𝑔(𝑡) eli pudonnut matka on 184 (m).

𝑔(𝑡) = 184 3,0𝑡+ 4,9𝑡 = 184

𝑥 =−6,441 … tai 𝑥= 5,829 …

Koska ajan täytyy olla positiivinen, käy ainoastaan ratkaisu 𝑥= 5,829. . .≈5,8(s).

Kolikko ohittaa 2. kerroksen vartijan 5,8 s päästä pudotuksesta.

Vastaus: a) 𝑓(𝑥) =−0,0268𝑥 + 36,9 b) 5,8 s