b) Funktion nollakohdassa funktion arvo on nolla ja funktion kuvaaja leikkaa x-akselin

4.1 a)

Funktio 𝑓(𝑥) =−3𝑥 +𝑥 −2 on toisen asteen polynomifunktio, joten sen kuvaaja on paraabeli.

b)

Funktiossa 𝑔(𝑥) = 1 + 2𝑥 +𝑥 korkein muuttujan potenssi on kolme. Se ei siis ole toisen asteen polynomifunktio, eikä sen kuvaaja ole paraabeli.

c)

Funktiossa ℎ(𝑥) = 2𝑥 −6 on toisen asteen termin kerroin nolla. Tästä syystä se ei ole toisen asteen polynomifunktio, eikä sen kuvaaja ole paraabeli. Kyseessä on ensimmäisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on suora.

Vastaus: a) on b) ei ole c) ei ole

a)

Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten kerroin 𝑎 0 , eli positiivinen.

b)

Funktion nollakohdassa funktion arvo on nolla ja funktion kuvaaja leikkaa x-akselin.

Kuvaajan perusteella 𝑓(𝑥) = 0, kun 𝑥 ≈ −3 tai 𝑥 ≈1.

c)

Luetaan kuvaajalta ne muuttujan x arvot, joilla funktion arvo on -3.

Kuvaajan perusteella 𝑓(𝑥) =−3, kun 𝑥 ≈ −2 tai 𝑥 ≈0.

d)

Funktion pienin arvo on kohdassa, jossa kuvaaja on matalimmalla.

Kuvaajan perusteella matalin kohta on pisteessä (−1,−4), joten funktion pienin arvo on −4.

Funktio saa siis pienimmän arvonsa, kun 𝑥 ≈ −1, eli pienin arvo on 𝑓(−1)≈ −4.

Vastaus: a) 𝑎 0 b) 𝑥 ≈ −3 tai 𝑥 ≈1 c) 𝑥 ≈ −2 tai 𝑥 ≈0 d) 𝑓(−1)≈ −4

Kuvasta katsottu arvo on aina likiarvo.

a)

Kun syöttö lähtee, aikaa on kulunut 0 sekuntia.

Kuvaajan perusteella 𝑓(0)≈ 1,6 (m).

b)

Pallo on korkeimmillaan, kun kuvaaja on korkeimmillaan eli kuvaajan huipussa. Kuvaajan perusteella huippu on (1,1; 7,8).

Pallon käy korkeimmillaan 𝑓(1,1)≈7,8 metrissä ja se tapahtuu 1,1 sekunnin kuluttua syötöstä.

c)

Pallo on ilmassa niin kauan, kunnes sen korkeus on 0 m. Tässä kohtaa kuvaaja leikkaa x- akselin.

Kuvaajan perusteella kysytty piste on (2,4 ; 0) eli pallo on ilmassa 2,4 sekunnin ajan.

Vastaus: a) Pallo lähtee 1,6 metrin korkeudelta

b) Pallo on korkeimmillaan 7,8 metrin korkeudella, kun syötöstä on kulunut 1,1 sekuntia

c) Pallo on ilmassa 2,4 sekunnin ajan.

a)

Nollakohdassa funktio saa arvon nolla. Lasketaan funktion arvo kohdissa 𝑥=−1 ja 𝑥= 4.

𝑓(−1) =−(−1) + 3⋅(−1) + 4 =−1−3 + 4 = 0, joten 𝑥=−1 on funktion nollakohta.

𝑓(4) =−(4) + 3⋅(4) + 4 =−16 + 12 + 4 = 0, joten 𝑥= 4 on funktion nollakohta.

b)

Lasketaan huipun x-koordinaatti nollakohtien avulla. Koska huipun x-koordinaatti on yhtä kaukana molemmista nollakohdista, saadaan se laskemalla nollakohtien keskiarvo.

𝑥 =−1 + 4

2 =3

2.

Huipun y-koordinaatti saadaan laskemalla funktion arvo kohdassa 𝑥= . 𝑓 3

2 =− 3

2 + 3⋅3

2+ 4 =−9 4+9

2+ 4 =−9 4+18

4 +16 4 =25

4 Huippu on siis pisteessä , .

Vastaus: a) 𝑓(−1) = 0 ja 𝑓(4) = 0 b) ,

f(x) = -x² +3x + 4

x f(x) piste kuvaajalla –2 – (–2)² + 4 · (–2) = –12 (–2, –12)

0 – 0² + 4 · 0 = 0 (0, 0) 1 – 1² + 4 · 1 = 3 (1, 3)

Kuvan perusteella saadut pisteet ovat kuvaajan C pisteitä.

Vastaus: Kyseessä on kuvaaja C.

a)

Kun 𝑥= 2, on funktion arvo kuvaajan perusteella −1 eli

𝑓(2)≈ −1

b)

Kuvaajan perusteella funktion arvo on 2, kun 𝑥 ≈ −1 tai 𝑥 ≈ 4.

Vastaus: a) −1 b) 𝑥 ≈ −1 tai 𝑥 ≈ 4.

a)

Nollakohdassa funktio saa arvon nolla. Lasketaan funktion arvo kohdissa 𝑥=−1 ja 𝑥= 3.

𝑓(−1) = 0,5⋅(−1) −(−1)−1,5 = 0,5 + 1−1,5 = 0 𝑓(3) = 0,5⋅3 −3−1,5 = 4,5−3−1,5 = 0

Näin ollen sekä 𝑥= −1 ja 𝑥= 3 ovat funktion nollakohtia.

b)

Funktion kuvaaja leikkaa y-akselin, kun x-koordinaatti on 0. Lasketaan funktion arvo tässä kohdassa.

𝑓(0) = 0,5⋅0 −0−1,5 =−1,5

Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun 𝑦 =−1,5.

Vastaus: a) 𝑓(−1) = 0 ja 𝑓(3) = 0 b) 𝑦=−1,5

f(x) = 0,5x² – x – 1,5

a) Merkitään 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2𝑥 −1

Yhtälössä 2𝑥 + 2𝑥 −1 = 0 on funktion arvo merkitty nollaksi. Yhtälön ratkaisut ovat siis funktion nollakohdat.

Kuvaajan perusteella funktiolla on kaksi nollakohtaa, eli yhtälöllä on kaksi ratkaisua.

Ratkaisut ovat kahden desimaalin tarkkuudella 𝑥 ≈ −1,37 tai 𝑥 ≈ 0,37.

b)

Yhtälön 𝑓(𝑥) = 4 ratkaisut ovat ne muuttujan arvot, joilla funktion arvo on 4.

Kuvaajan perusteella funktion arvo on 4, kun 𝑥 ≈ −2,16 tai 𝑥 ≈ 1,16.

Vastaus: a) 𝑥 ≈ −1,37 tai 𝑥 ≈0,37 b) 𝑥 ≈ −2,16 tai 𝑥 ≈1,16

a)

Yhtälön ratkaisut ovat funktion 𝑓(𝑥) =−𝑥 + 5𝑥 −1 nollakohdat.

Piirretään funktion kuvaaja, ja selvitetään ne.

Kuvaajan perusteella nollakohdat eli siis yhtälön ratkaisut ovat 𝑥 ≈0,21 tai 𝑥 ≈4,79.

b)

Kuvaajan perusteella funktion arvo on 2, kun 𝑥 ≈0,70 tai 𝑥 ≈4,30.

Vastaus: a) 𝑥 ≈0,21 tai 𝑥 ≈4,79 b) 𝑥 ≈ 0,70 tai 𝑥 ≈4,30

a)

Piirretään kuvaajat koordinaatistoon ja määritetään leikkauspisteet.

Kuvan perusteella leikkauspisteiden x-koordinaatit ovat 𝑥 ≈1 ja 𝑥 ≈2.

b)

Edellisessä kohdassa ratkaistaan, millä muuttujan x arvolla suora ja paraabeli saavat saman arvon. Yhtälö on siis 𝑥 −5 = 𝑥 −2𝑥 −3.

Sijoitetaan a-kohdan arvot yhtälöön:

1−5 = 1 −2⋅1−3

−4 = 1−2−3

−4 =−4 Yhtälö on tosi

2−5 = 2 −2⋅2−3

−3 = 4−4−3

−3 =−3 Yhtälö on tosi

Näin ollen 𝑥= 1 ja 𝑥= 2 ovat yhtälön ratkaisut.

Vastaus: a) 𝑥 ≈1 ja 𝑥 ≈2 b) 𝑥 −5 = 𝑥 −2𝑥 −3

Ratkaistaan tehtävä nollakohtien ja toisen asteen terminen kertoimen merkin avulla.

Funktio nollakohdat kuvaaja perustelut

A. f(x) = x² + 8x + 15 x = –5 ja x = –3 I Ylöspäin aukeava B. f(x) = –x² – 8x – 15 x = –5 ja x = –3 IV Alaspäin aukeava

C. f(x) = 2x² – 4x + 2 x = 1 V Ylöspäin aukeava

D. f(x) = –2x² + 4x – 2 x = 1 II Alaspäin aukeava

E. f(x) = x² – 5x + 8 ei nollakohtia III Ylöspäin aukeava F. f(x) = –x² + 5x – 8 ei nollakohtia VI Alaspäin aukeava

a)

Koska funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, kertoimen a on oltava negatiivinen eli 𝑎< 0.

b)

Koska funktio leikkaa kaksi kertaa x-akselin, sillä on oltava kaksi nollakohtaa.

c)

Kun 𝑥= 0, funktio näyttää saavan arvon −2, eli𝑓(0)≈ −2.

d)

Tutkitaan, millä muuttujan x arvolla funktio saa arvon −6. Kuvaajan perusteella 𝑓(𝑥) =−6, kun 𝑥 ≈ −8 tai 𝑥 ≈ 5.

e)

Funktio saa positiivisia arvoja, kun se kulkee x-akselin yläpuolella. Kuvaajan perusteella tämä väli on −5 < 𝑥< 2.

Vastaus: a) 𝑎< 0 b) 2 nollakohtaa c) 𝑓(0)≈ −2 d) 𝑥 ≈ −8 tai 𝑥 ≈5 e) −5 < 𝑥< 2

a)

Funktion kuvaaja aukeaa alaspäin, eli funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

b)

Funktion kuvaaja leikkaa x-akselin kaksi kertaa, joten sillä on kaksi nollakohtaa. Väite on tosi.

c)

Kuvaajan huipun x-koordinaatti on 1 ja y-koordinaatti on 5.

Kuvaajan huippu on pisteessä (1, 5).

d)

Kuvaajan perusteella, kun x = 3, funktion arvo on −3. Näin ollen 𝑓(3) = −3.

e)

Kuvaajan perusteella funktio saa arvon 3, kun x = 0 tai x = 2. Väite on tosi.

Vastaus: a) Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

b) tosi

c) Kuvaajan huippu on pisteessä (1, 5).

d) 𝑓(3) =−3 e) tosi

a)

Lasketaan funktion arvo, kun 𝑥= 1 tai 𝑥 =−2.

𝑓(1) = 1 + 1 + 2 = 4

𝑓(−2) = (−2) + (−2) + 2 = 4−2 + 2 = 4.

Näin ollen molemmat muuttujan arvot toteuttavat yhtälön 𝑓(𝑥) = 4.

b)

Koska paraabelin symmetria-akseli kulkee huipun kautta, huipun x-koordinaatti on a-kohdan muuttujien arvojen keskiarvo.

−2 + 1

2 = −1

2

Selvitetään vielä huipun y-koordinaatti:

𝑓 −1

2 = −1

2 + −1

2 + 2 =1 4−1

2+ 2 =7 4.

Huippu sijaitsee siis pisteessä − , .

Vastaus: a) 𝑓(−2) = 4 ja 𝑓(1) = 4 b) Huippu sijaitsee pisteessä − , .

a)

Yhtälön 𝑓(𝑥) = 0 ratkaisut ovat funktion nollakohdat. Piirretään funktio.

Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat eli kysytyn yhtälön ratkaisut ovat 𝑥 ≈ −3,3 tai 𝑥 ≈1,3.

b)

Piirretään suora 𝑦 = 2 ja määritetään suoran ja paraabelin leikkauspisteet.

Leikkauspisteet ja samalla yhtälön 𝑓(𝑥) = 2 ratkaisut ovat 𝑥 ≈ −3,9 tai 𝑥 ≈ 1,9.

Vastaus: a) 𝑥 ≈ −3,3 tai 𝑥 ≈1,3 b) 𝑥 ≈ −3,9 tai 𝑥 ≈1,9

a)

Piirretään paraabelit samaan koordinaatistoon ja selvitetään niiden leikkauspisteet.

Leikkauspisteiden x-koordinaatit ovat kuvaajien perusteella 𝑥 ≈1,0 ja 𝑥 ≈1,5.

b)

Kohdassa a ratkaistiin, millä muuttujan x arvolla funktiot 𝑥 −2𝑥+ 1 ja −𝑥 + 3𝑥 −2 näyttävät saavan saman arvon. Leikkauspisteiden x-koordinaattien arvoilla funktioiden lausekkeet saavat saman y-koordinaation arvon. Yhtälö on siis 𝑥 −2𝑥+ 1 =−𝑥 + 3𝑥 −2.

Sijoitetaan a-kohdan arvot yhtälöön:

1 −2⋅1 + 1 =−1 + 3⋅1−2 1−2 + 1 =−1 + 3−2

0 = 0 Yhtälö on tosi

−2⋅ + 1 =− + 3⋅ −2

− + 1 =− + −2

− + =− + −

= Yhtälö on tosi

Näin ollen 𝑥= 1 ja 𝑥= = 1,5 ovat yhtälön ratkaisut.

Vastaus: a) 𝑥 ≈1,0 ja 𝑥 ≈ 1,5 b) 𝑥 −2𝑥+ 1 =−𝑥 + 3𝑥 −2

Piirretään paraabeli ja suora samaan koordinaatistoon. Yhtälön 𝑥 =𝑥+ 2 ratkaisut ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteiden x-koordinaatit.

Kuvaajan perusteella leikkauspisteet ja yhtälön 𝑥 =𝑥+ 2 ratkaisut ovat 𝑥 ≈ −1 tai 𝑥 ≈2.

Tarkistetaan sijoittamalla arvot yhtälöön 𝑥 = 𝑥+ 2.

(−1) =−1 + 2

1 = 1 → Yhtälö on tosi 2 = 2 + 2

4 = 4 → Yhtälö on tosi

Näin ollen 𝑥=−1 ja 𝑥= 2 toteuttavat yhtälön ja ovat siis sen ratkaisuja.

Vastaus: 𝑥= −1 ja 𝑥= 2

Funktio leikkaa kuvaajan perusteella y-akselin pisteessä (0, 3), eli 𝑓(0) = 3.

Kun 𝑥= 0, funktioon jää ainoastaan vakiotermi c. Ratkaistaan sen arvo.

𝑓(0) =−0 + 0⋅ 𝑥+𝑐 𝑓(0) =𝑐

𝑐 = 3

Toisen nollakohdan koordinaatit ovat kuvaajan perusteella (3, 0) eli tiedetään, että 𝑓(3) = 0.

Ratkaistaan tämän avulla vakio b.

𝑓(3) =−3 +𝑏 ⋅3 + 3 | 𝑐 = 3 𝑓(3) =−9 + 3𝑏+ 3 | 𝑓(3) = 0

0 = 3𝑏 −6

−3𝑏=−6 | ∶ (−3) 𝑏= 2

Funktio on siis 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2𝑥+ 3.

Vastaus: 𝑏= 2 ja 𝑐 = 3

a)

Symmetria-akseli 𝑥= 1 sijaitsee nollakohtien välissä ja koska se on yhtä kaukana nollakohdista, nollakohtien keskiarvon on oltava 1. Toinen nollakohta saadaan siis nollakohtien keskiarvon yhtälöstä.

−3 +𝑥

2 = 1 | ⋅2

−3 +𝑥 = 2 𝑥 = 5

Eli toinen nollakohta on 𝑥= 5. Annettujen tietojen perusteella voidaan siis päätellä funktion toinen nollakohta.

b)

A-kohdan perusteella näytettiin, että symmetria-akselin ja annetun nollakohdan avulla voitiin päätellä siis funktion toinen nollakohta.

Tunnettujen nollakohtien kautta voi kulkea sekä alaspäin aukeava että ylöspäin aukeava paraabeli. Annettujen tietojen (nollakohta ja symmetria-akseli) perusteella ei siis voida päätellä kuvaajaparaabelin aukeamissuuntaa.

Vastaus: a) Voidaan, toinen nollakohta on 𝑥= 5. b) Ei voida.

a)

Tiedetään, että kun 𝑥= −2, niin funktion arvo on negatiivinen (piste A). Tiedetään myös, että kun 𝑥= 1, niin funktion arvo on positiivinen (piste B).

Riippumatta funktion tarkoista arvoista, voidaan molempien pisteiden kautta piirtää sekä ylöspäin että alaspäin aukeava paraabeli, eli kertoimen etumerkkiä ei voida päätellä.

b)

Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla 0, 1 tai 2 nollakohtaa.

Jos toisen asteen polynomifunktiolla ei ole nollakohtia, se saa ainoastaan joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Jos toisen asteen polynomifunktiolla on 1 nollakohta, se saa nollakohdassa arvon nolla, ja muualla joko positiivisia tai negatiivisia arvoja.

Koska tehtävän toisen asteen polynomifunktio saa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja, sillä on oltava kaksi nollakohtaa.

Vastaus: a) Ei voida. b) Voidaan. Funktiolla on kaksi nollakohtaa.