4.1. Funktion ääriarvot 4.1. Funktion ääriarvot
4.1.1. Funktion kasvu ja väheneminen Funktio f on (aidosti) kasvava, jos
kaikilla x1, x2 Mj pätee x1 (<) x2 f(x1) (<) f(x2) Funktio f on (aidosti) vähenevä, jos
kaikilla x1, x2 Mj pätee x1 (<) x2 f(x1) (>) f(x2)
(Aidosti) kasvavia ja väheneviä funktioita kutsutaan (aidosti) monotonisiksi funktioiksi
E.1. a) Funktio f on kasvava. Kumpi on suurempi f(-1) vai f(-2)?
b) Funktio f on vähenevä ja f(a) < f(2). Millainen luku a on?
a) f(-1), koska -1 > -2 b) a > 2
Funktion monotonisuuden laatu derivaatan avulla Funktion monotonisuuden laatu derivaatan avulla
Derivoituva funktio on kasvava, kun f ´(x) > 0 ja vähenevä, kun f ´(x) < 0 E.2E.2. Mikä tulisi vakion a arvon olla, .
jotta funktio f(x) = x2 + ax + 3 olisi kasvava kohdassa x = 2?
f ’ (x) = 2x + a
kasvava: f ’ (2) > 0 2 2 + a > 0 a > -4
Monotonisuuden laatu täsmällisemmin
E.3. a) Millä välillä funktio f(x) = x2 - 3x + 4 on vähenevä?
Funktio f on polynomifunktiona kaikkialla jva ja derivoituva f ’ (x) = 2x - 3
x - 3
x½
b) Milloin funktio f(x) = x4 - 4x3 on vähenevä ?
Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva f ’ (x) = 4x3 – 12x2
= 4x2 ( x – 3) JNE.
ks. muistiinpanot
f(x)
274.274.
f(x)
f(x)
275.275.
f(x)
