2.3. Funktion jatkuvuus
Funktion jatkuva kohdassa x = x
0joss
raja-arvoa ei olemassa kohdassa x0
raja-arvo kohdassa x0, mutta ei jatkuva
E.1. Miten pitäisi määritellä f(3), jotta funktio olisi jatkuva kohdassa x = 3?
Nimittäjän nk: x1 = 3, x2 = -1
3 2
6 2
2
x x
x
) 1 )(
3 (
) 3 (
2
x x
x
) 1 (
2
x 2
1 1 3
2
Vastaus: f(3) = ½
kun x 3
E.2. Tutki funktion jatkuvuutta, kun x = 1
)
lim
(1
x f
x 1
2
lim
21
x x
x 1
) 1 (
lim
21
x x
x
lim
2 21
x
) 2 ( 2
lim
21
f
x
joten funktio on jatkuva kohdassa x = 1
Määrittelyjoukossaan jatkuvia funktioita Olkoon funktiot f ja g jatkuvia
Tällöin myös funktiot
f + g , f - g , f · g , f / g ja | f | ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan (g(x0) 0)
Huom. Kaikki polynomifunktiot ovat jatkuvia joukossa R eli polynomifunktio on jva kaikkialla
Funktio on tai voi olla epäjatkuva, jos se on määritelty kohdissa
* Murtofunktio kohdassa, jossa nimittäjä = 0 .
. .
E.3. Mikä on a, kun funktio on jatkuva 2:ssa?
2
2
4
x
a
ax ( 2 )
2
) 2 )(
2 (
2 ) 4
(
2
a x
x x x
a x
x
a a ( 2 2 ) 4 a
kun x 2 lim f(x) = f(2) :
x2
4a = 1 4
1 a
E.4. Millä x:illä funktio on jatkuva
a) x2 – 2x ≠ 0 x(x – 2) ≠ 0 x ≠ 0 x ≠ 2
b) 3x – 6 0 3x 6 x 2
E.5. Onko funktio jatkuva kohdassa x = 1?
)
lim (
1
x f
x
) 4 (
2lim
1x x
x
1
2 4 1 5 )
lim (
1
x f
x
) 3 2
lim (
1
x
x
5 3 1
2
) 1 ( 5
)
lim (
1
f x
f
x
Joten funktio on jatkuva kohdassa x = 1
