1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA 1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

(1)

1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

(2)

Funktio f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, jos f(g(x)) = x ja g(f(x)) = x

y = f(x)  x = g(y) eli y = f(x)  x = f ^-1(y) Siis merkintä funktion f käänteisfunktiolle: f ^-1

4 5 4

) 1

(x  x  g

x x

g

f   )5  55  4

5 4

(1 4 )) (

( g f x  x    x    x

4 5 4 5 4

) 5 5 4

4 ( )) 1 ( ( E.2. (t. 21 a)

Tutki, ovatko funktiot f ja g toistensa käänteisfunktioita f(x) = 4x + 5

V: ovat

(3)

E.3. Funktiolla f on käänteisfunktio.

f(1) = 2, f(2) = 3 ja f(3) = 1.

Mitä on a) f ^-1(1) b) f ^-1(2) c) f ^-1(3)?

a) 3 b) 1 c) 2

(4)

Käänteisfunktion arvon laskeminen alkuperäisen funktion avulla

Jos pitää laskea f ^-1(y) = x. Tehdään yhtälö f(x) = y, josta ratkaistaan x.

E.4. Funktiolla f(x) = 2x - 1 on käänteisfunktio.

Määritä x, kun a) f ^-1(x) = 5 b) f ^-1(7) = x.

a) f(5) = 2  5 – 1 = 9 b) f(x) = 7 : 2x – 1 = 7

x = 4

(5)

Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen 1) Merkitse y = f(x)

2) Ratkaise siitä x 3) Vaihda x  y

4) Kirjoita muodossa y = f ^-1(x)

E.5.

Laske f ^-1(x), kun a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = x² - 3, x > 0 a)

y = 2x +3 2x = y – 3 x = ½y – 1½ y = ½x – 1½ f ^-1(x) =½x – 1½

(6)

b)

y = x² – 3 x² = y + 3 y² = x + 3

 3

 x y

 3

 x f ^-1(x)

(7)

Käänteisfunktion kuvaaja

Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat ovat peilikuvia suoran y = x suhteen Käänteisfunktion kuvaajan piirtäminen alkuperäisen funktion kuvaajan avulla

Tee alkuperäiselle funktiolle lukuparitaulukko.

Käänteisfunktion lukuparitaulukon saa vaihtamalla x <-> y Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste on funktion kuvaajan ja suoran y = x leikkauspiste

(8)

E.6. Piirrä funktion f(x) = x² - 2x - 3, x ³ 1 kuvaaja ja sen perusteella käänteisfunktion kuvaaja.

x f(x) (x,y) f ^-1

1 -4 (1,-4) (-4,1)

2 -3 (2, -3) (-3, 2)

3 0 (3, 0) (0, 3)

4 5 (4, 5) (5, 4)

(9)

Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste on funktion kuvaajan ja suoran y = x leikkauspiste

E.7.

Laske funktion f(x) = x³ + x - 8 ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste.

y = x³ + x – 8 y = x

x = x³ + x – 8 x³ = 8

x = 2 y = 2

(10)

1.2.2. Käänteisfunktion olemassaolo

Jos funktio on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin funktiolla on käänteisfunktio

E.8. Osoita, että funktiolla f(x) = x³ + 4x - 5 on käänteisfunktio.

f’ (x) = 3x² + 4  4 > 0 kaikilla x, joten funktio f on aidosti kasvava

=> funktiolla f on käänteisfunktio

(11)

y x  

3

y x 

Käänteisfunktion olemassaolo laskemalla käänteisfunktion lauseke Jos ratkaistaessa x:ää y:n avulla, saadaan vain yksi x, on funktiolla

käänteisfunktio

E.9. Onko funktiolla a) f(x) = x² b) f(x) = x³ käänteisfunktiota?

a) V: ei

V: on

b)

(12)

Funktion ja sen käänteisfunktion arvo- ja määrittelyjoukot Mj(f ^-1) = Aj(f) ; Aj(f ^-1) = Mj(f)

E.10. Funktiolla f: [1,2] ->[3,4] on käänteisfunktio. Mitä on a) Mj(f ^-1) b) Aj(f ^-1)?

a) [3,4] b) [1,2]