2.2.1 . Rajoitetut jonot 2.2.1 . Rajoitetut jonot

(1)

2.2.1 . Rajoitetut jonot 2.2.1 . Rajoitetut jonot

1. Alhaalta rajoitettu jono

Jono (a

_n

) on alhaalta rajoitettu, jos  sellainen luku m, että  n : a

_n

 m 2. Ylhäältä rajoitettu jono

Jono (a

_n

) on ylhäältä rajoitettu, jos  luku M, että  n : a

_n

 M 3. Rajoitettu jono

Jono on rajoitettu, jos se on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu

Katso esimerkit 1 & 2, kirja s. 86 - 87

(2)

E.1. E.1.

Kirja, s. 85

Lukujonolle n

a_n  n1

a_n n1 1



n

1 on aina positiivinen (n positiivinen)  a_n 1

Lukujono (a_n) on alhaalta rajoitettu.alhaalta rajoitettu Jonon eräs alaraja on m = 1

n

1 suurin arvo on 1 (n = 1)  a_n 11 2

Lukujono (a_n) on ylhäältä rajoitettuylhäältä rajoitettu.

Jonon eräs yläraja on M = 3 2

1 a_n  Siis jono alhaalta ja ylhäältä rajoitettu, siis rajoitetturajoitettu

(3)

E.2. kirja, s. 87E.2.

Osoita, että lukujono 1

2

  n

a_n n on alhaalta, mutta ei ylhäältä rajoitettu

Koska n on positiivinen kokonaisluku, on jokainen jonon termi positiivinen eli a_n > 0 Jono on alhaalta rajoitettu.

Eräs alaraja m = 0 Koska

1

2

lim

_



 n n

 n



 n n

lim

a ^ ^



 

n n

n 1

lim

1

Siis lukujonon termit saavat mielivaltaisen suuria arvoja Lukujono ei ole ylhäältä rajoitettu

(4)

2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a

_n

) on

kasvava, jos  n : a

_n+1

 a

_n

aidosti kasvava, jos  n : a

_n+1

> a

_n

aidosti vähenevä, jos  n : a

_n+1

< a

_n

vähenevä, jos  n : a

_n+1

 a

_n

Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava

tai aidosti vähenevä.

(5)

Monotonisuuden tutkiminen

1)

Monotonisuuden

laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lauseketta

a

_n+1

- a

_n

.

Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava.

2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta

a

_n+1

: a

_n^.

Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava.

3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa

Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta

derivaatan avulla

^.

Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

(6)

E.1. Osoita, että lukujono a_n = on kasvava.

2 2

) 1 (

1

 



 





n n n

a n a

_n _n

2 3

1  



 

n n n

n

2 n

n a_n+1 – a_n> 0 ?

) 2 )(

3 (

) 3 (

) 2 )(

3 (

) 2 )(

1 (



 



 

n n

n n n

n

n n

) 2 )(

3 (

3 2

2

²

2







 

n n

n n n

) 0 1 )(

3 (

1 



 

n n

joten a_n+1 > a_n. Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA1

(7)

2 3 1

1







n n n n a

a

n n

 2

 n a

_n

n

TAPA2

a_n+1 : a_n> 1 ?

n n

) 3 (

) 2 )(

1 (



 

3 1 2 3

2





 

n n

Siis a _n+1 > a_n. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.

(8)

2 x

x

) 0 2 (

2 )

2 (

1 ) 2 ( 1

2

2 

 









x x

f(x) =

f’(x)

=

Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1

Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli a_n+1 > a_n n  Z₊ Lukujono on (aidosti) kasvava

TAPA3