2.2.2. Monotoniset jonot Jono (a
n) on
kasvava, jos n : a
n+1 a
naidosti kasvava, jos n : a
n+1> a
naidosti vähenevä, jos n : a
n+1< a
nvähenevä, jos n : a
n+1 a
nJono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.
Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava
tai aidosti vähenevä.
Monotonisuuden tutkiminen
1)
Monotonisuuden
laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta Sievennä lausekettaa
n+1- a
n.
Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava.
2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta Sievennä lauseketta
a
n+1: a
n.Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aiodsti kasvava.
3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktioa
Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta
derivaatan avulla
.Jos funktion derivaatta on > 0 kaikilla x:illä, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.
E.1. Osoita, että lukujono an = on kasvava.
2 2
) 1 (
1
1
n n n
a n a
n n2 3
1
n n n
n
2 n
n an+1 – an > 0 ?
) 2 )(
3 (
) 3 (
) 2 )(
3 (
) 2 )(
1 (
n n
n n n
n
n n
) 2 )(
3 (
3 2
2
22
n n
n n
n n n
) 0 1 )(
3 (
1
n n
joten an+1 > an. Lukujono on (aidosti) kasvava TAPA1
2 3 1
1
n n n n a
a
n n
2
n a
nn
TAPA2
an+1 : an > 1 ?
n n
n n
) 3 (
) 2 )(
1 (
3 1 2 3
2
2
n n
n n
Siis a n+1 > an. Joten lukujono on (aidosti) kasvava.
2 x
x
) 0 2 (
2 )
2 (
1 ) 2 ( 1
2
2
x x
x x
f(x) =
f’(x)
=
Funktio on derivoituva, kun x ≥ 1
Funktio on (aidosti) kasvava, kun x ≥ 1. Siis f(n+1) > f(n) eli an+1 > an n Z+ Lukujono on (aidosti) kasvava
TAPA3
