Luku 9 – Tehtävien malliratkaisut
9.1
a) Lukujonon viimeinen luku tiedetään (100), joten se on päättyvä.
b) Lukujonon viimeistä lukua ei tiedetä, joten se on päättymätön.
c) Lukujonon viimeistä lukua ei tiedetä, joten se on päättymätön.
d) Lukujonon viimeinen luku tiedetään (4), joten se on päättyvä.
Vastaus: a) päättyvä b) päättymätön c) päättymätön d) päättyvä
Lukujonon kuusi ensimmäistä jäsentä ovat siis 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Vastaus: 5, 10, 15, 20, 25, 30
1 1⋅5 5
2 2⋅5 10
3 3⋅5 15
4 4⋅5 20
5 5⋅5 25
6 6⋅5 30
a) Tosi. Jonossa on viimeinen jäsen, joka on 21.
b) Epätosi. Merkinnässä on 5 jäsentä näkyvissä, mutta pisteiden paikalla on lisää lukuja, joka noudattavat samaa sääntöä, kuin muut lukujonon jäsenet.
c) Epätosi. Lukujonon 5. jäsen on 9 + 2 eli 11.
d) Tosi. Esimerkiksi 3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9.
Lukujonon ensimmäinen jäsen on jonon ensimmäinen luku eli 4.
Lukujonon viimeinen jäsen on jonon viimeinen luku eli 120.
b)
Lukujonon neljäs jäsen 𝑎 on jonon neljäs luku. Koska lukujonossa seuraava luku saadaan aina lisäämällä edelliseen lukuun 4, 𝑎 = 12 + 4 = 16.
c)
Lukujonon jäsenten määrä saadaan lukujonon viimeisen jäsenen, 120, järjestysluvun avulla.
Lukujonon jäsenet ovat luvun 4 monikertoja.
Koska lukujonon viimeisen jäsenen järjestysluku on 30, on lukujonossa 30 jäsentä.
Vastaus: a) 4 ja 120 b) 16 c) 30 jäsentä
an an : 4 n
4 4 : 4= 1 1
8 8 : 4 = 2 2
12 12 : 4 = 3 3
⋮ ⋮ ⋮
120 120 : 4 = 30 30
a)
Lukujonon jäsen saadaan kertomalla aina jonon jäsenen järjestysluku luvulla −1.
Lukujonon 10. jäsen 𝑎 on siis −1⋅10 =−10.
b)
Lukujonon jäsenten määrä saadaan lukujonon viimeisen jäsenen, −60, järjestysluvun avulla.
Lukujonon viimeisen luvun järjestysluku n on 60, joten lukujonossa on 60 jäsentä.
Vastaus: a) −10 b) 60
an an : (−1) n
−1 −1 : (−1)= 1 1
−2 −2 : (−1) = 2 2
−3 −3 : (−1) = 3 3
⋮ ⋮ ⋮
−60 −60 : (−1) = 60 60
Lukujonon 4. jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛= 4 jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 =−3⋅4 + 1 =−11.
Samalla tavalla
𝑎 =−3⋅10 + 1 =−29.
b)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon −74.
𝑎 =−74
−3𝑛+ 1 =−74
−3𝑛 =−75 | ∶ (−3) 𝑛 = 25
Näin ollen 25. jäsen on luku −74.
c)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon 20.
𝑎 = 20
−3𝑛+ 1 = 20
−3𝑛 = 19 | ∶(−3) 𝑛 =−19
3 ≈ −6,333. ..
Lukujonon järjestysluvun tulee olla positiivinen kokonaisluku (1,2,3…). Koska 𝑛 ≈6,333…
ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 20 ei ole jonon jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 =−11 ja 𝑎 = −29 b) 25. jäsen c) ei ole
Sijoitetaan an = −3n + 1
Sijoitetaan an = −3n + 1 Yleinen jäsen an = −3n + 1
a)
Lukujonon 1. jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛= 1 jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 5⋅1−4 = 1
Ensimmäinen jäsen on siis 1.
b)
Lukujonon 7. jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛= 7 jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 5⋅7−4 = 31 b)
Lukujonon 100. jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛= 100 jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 5⋅100−4 = 496
Vastaus: a) 1 b) 31 c) 496
Sijoitetaan an = −3n + 1
Lukujonon viimeisen jäsenen järjestysluku on 9, joten lukujono on päättyvä.
b)
Lukujonon 9. jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛= 9 jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 2 = 2 = 1024.
c)
Lukujonon viimeisen jäsenen järjestysluku on 9, joten lukujonossa on 9 jäsentä.
Vastaus: a) päättyvä b) 1024 c) 9
a)
Lukujonon viimeistä järjestyslukua ei tiedetä, joten lukujono on päättymätön b)
Lukujonon jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑏 =1
3⋅2 + 2 =8
3 𝑏 = 1
3⋅7 + 2 =13 3 c)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon 12.
𝑎 = 12 1
3𝑛+ 2 = 12 1
3𝑛 = 10 | ⋅3 𝑛 = 30
Koska 𝑛 = 30on positiivinen kokonaisluku, luku 12 on jonon 30. jäsen.
d)
Lukujonon yleisen jäsenen lauseke on 𝑏 = 𝑛+ 2, 𝑛 = 1,2,3, . ..
Koska järjestysluku n on aina positiivinen, luku 𝑛 on aina positiivinen. Kun siihen lisätään luku 2, saadaan aina positiivinen luku. Lukujonossa ei voi siis olla negatiivisia jäseniä.
Vastaus: a) päättymätön b) 𝑏 = ja 𝑏 = c) on lukujonon jäsen d) ei voi
Piirretään lukujonon kuvaaja jono-työkalua käyttäen, missä x-koordinaatti on järjestysluku n ja y-koordinaatti lukujonon jäsenen arvo eli 𝑎(𝑛).
b)
Kuvaajan perusteella ensimmäinen negatiivinen, eli vaaka-akselin alapuolella oleva jäsen, on 8. jäsen.
Vastaus: a) kuva yllä b) 8. jäsenestä alkaen 𝑎
𝑛
𝑎
𝑛
a)
Piirretään lukujonon kuvaaja jono-työkalua käyttäen, missä x-koordinaatti on järjestysluku n ja y-koordinaatti lukujonon jäsenen arvo eli 𝑎(𝑛).
b)
Ensimmäinen jäsen, jonka arvo ylittää 40, on 12. jäsen.
Vastaus: a) kuva yllä b) 12. jäsenestä alkaen 𝑎
𝑛
𝑛 𝑎
Lukujonon jäsenet ovat luvun 6 monikertoja. Laaditaan taulukko lukujonon jäsenistä.
Lukujonon 10 ensimmäistä jäsentä ovat siis 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 ja 60.
b)
Lukujonon 6. jäsen 𝑎 on 6⋅6 = 36 . c)
Lukujonon viimeinen jäsen on 10. jäsen eli 𝑎 , jonka arvo on 10⋅6 = 60.
Vastaus: a) 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 ja 60 b) 36 c) 60
Järjestysluku Lasku Luku
1 1⋅6 6
2 2⋅6 12
3 3⋅6 18
4 4⋅6 24
5 5⋅6 30
6 6⋅6 36
7 7⋅6 42
8 8⋅6 48
9 9⋅6 54
10 10⋅6 60
a)
Lukujonon jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku yleisen jäsenen lausekkeeseen 𝑎 = 260−13𝑛.
𝑎 = 260−13⋅3 = 221 𝑎 = 260−13⋅13 = 91 b)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon −390.
𝑎 = −390 260−13𝑛= −390
−13𝑛= −650 | ∶(−13) 𝑛= 50
Luku −390 on jonon 50. jäsen.
c)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon 0.
𝑎 = 0 260−13𝑛= 0
−13𝑛= −260 |∶(−13) 𝑛= 20
Koska 𝑛 = 20 on positiivinen kokonaisluku, luku 0 on jonon 20. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 221 ja 𝑎 = 91 b) 50. jäsen c) kyllä
Lukujonon jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku yleisen jäsenen lausekkeeseen 𝑎 = 8−2(𝑛 −1).
𝑎 = 8−2(1 + 1)= 4 𝑎 = 8−2(2 + 1) = 2 b)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon −64.
𝑎 =−64 8−2(𝑛+ 1) =−64
−2𝑛 −2 =−72
−2𝑛 =−70 | ∶ (−2) 𝑛 = 35
Luku −64 on jonon 35. jäsen.
c)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon −103.
𝑎 =−103 8−2(𝑛+ 1) =−103
−2𝑛 −2 =−111
−2𝑛 =−109 | ∶ (−2) 𝑛 =109
2 = 54,5
Koska 𝑛 = 54,5 ei ole positiivinen kokonaisluku, luku −103 ei ole lukujonon jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 4 ja 𝑎 = 2 b) 35. jäsen c) ei ole
a)
Lukujonon 4. jäsen 𝑏 saadaan sijoittamalla järjestysluku 𝑛 = 4 yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑏 =2⋅4−1
4 =7
4 b)
Lukujonon viimeinen järjestysluku on 10, joten lukujonossa on 10 jäsentä.
c)
Lukujonon viimeinen jäsen on 10. jäsen. Sijoitetaan 𝑛 = 10 yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑏 =2⋅10−1
10 =19
10
Vastaus: a) 𝑏 = b) 10 jäsentä c) 𝑏 =
Lasketaan jonon jäsenten arvot, kun 𝑛= 1, 2, 3, 4, 5.
𝑎 = 6 +(−1) = 5 𝑎 = 6 +(−1) = 7 𝑎 = 6 +(−1) = 5 𝑎 = 6 +(−1) = 7 𝑎 = 6 +(−1) = 5
Lukujonon ensimmäiset viisi jäsentä ovat 5, 7, 5, 7 ja 5.
Lukujonossa vaihtelevat luvut 5 ja 7. Kun järjestysluku on parillinen, on jäsenen arvo 5, ja kun järjestysluku on pariton, jäsenen arvo on 7.
b)
Lukujonossa jäsenen arvo on 4, kun 𝑛 = 2, 4, 6, … eli parillinen. Jäsenen arvo on −4, kun 𝑛= 1, 3, 5, …
Jos luku −1 korotetaan parilliseen potenssiin, se muuttuu positiiviseksi. Jos −1 korotetaan parittomaan potenssiin, sen negatiivisuus säilyy.
Jäsen saadaan vaihtelemaan vastaluvusta luvuksi itsekseen kertomalla sitä luvun −1 potenssilla.
Lukujonon yleinen jäsen on siis 𝑏 = 4⋅(−1) , 𝑛= 1, 2, 3, …
Vastaus: a) 5, 7, 5, 7, 5 b) 𝑏 = 4⋅(−1) , 𝑛 = 1, 2, 3, …
a)
Lukujonon 3.jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 3 + 2⋅3 = 15 b)
Lukujonon yleisen jäsenen lauseke on 𝑎 =𝑛 + 2𝑛, 𝑛= 1, 2, 3, …
Koska järjestysluku n on aina positiivinen, luku 2𝑛 on aina positiivinen. Toisaalta neliöön korotettu luku on myös aina positiivinen. Koska kahden positiivisen luvun summa on aina positiivinen, lukujonossa ei voi olla negatiivisia jäseniä.
c)
Ratkaistaan, millä järjestysluvun n arvolla jonon yleisen jäsenen lauseke saa arvon 143.
𝑎 = 143 𝑛 + 2𝑛 = 143 𝑛 + 2𝑛 −143 = 0
𝑥=−2 ± 2 −4⋅1⋅(−143) 2⋅1
𝑥=−2 ± 24 2
𝑥= 11 tai 𝑥=−13
Koska 𝑛 = 11 on positiivinen kokonaisluku, luku 143 on jonon 11. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 15 b) ei voi c) kyllä
Piirretään lukujonon kuvaaja jono-työkalua käyttäen, missä x-koordinaatti on järjestysluku n ja y-koordinaatti lukujonon jäsenen arvo eli 𝑎(𝑛).
b)
Kuvaajan perusteella ensimmäinen jäsen, joka on yli 30, on 17. jäsen.
Vastaus: a) kuva yllä b) 17. jäsenestä lähtien
𝑛
𝑎
𝑛 𝑎
a)
Piirretään lukujonon kuvaaja jono- työkalua käyttäen, missä x-
koordinaatti on järjestysluku n ja y- koordinaatti lukujonon jäsenen arvo eli 𝑎(𝑛).
b)
9 pistettä on suoran 𝑦= 50 yläpuolella, joten 9 jäsentä on suurempia kuin 50.
c)
Lukujonon suurin luku on kuvaajan perusteella 61,5, joka on 11. jäsen.
Vastaus: a) kuva yllä b) 9 jäsentä c) 61,5 𝑎
𝑎
𝑎
𝑛 𝑛
𝑛
Yleisen jäsenen nimittäjä on siis 𝑛 ja osoittaja 𝑛+ 40. Yleisen jäsenen lauseke on siis
𝑎 =𝑛+ 40
𝑛 , 𝑛 = 1, 2, 3, …
b)
Piirretään lukujonot samaan koordinaatistoon.
Kuvaajista nähdään, että kun 𝑛= 8, niin lukujonon 𝑏 jäsenten arvot ovat suurempia kuin lukujonon 𝑎 .
Vastaus: a) 𝑎 = , 𝑛= 1, 2, 3, … b) 8. jäsenestä alkaen.
𝑎
𝑛
Muodostetaan lukujono säännön mukaan ja lasketaan lukujonon jäsenten määrä.
a) Ensimmäinen jäsen on 5, joka on pariton.
𝑎 = 5 pariton 𝑎 = 5⋅3 + 1 = 16 𝑎 = 16 parillinen 𝑎 = 16∶ 2 = 8 𝑎 = 8 parillinen 𝑎 = 8∶ 2 = 4 𝑎 = 4 parillinen 𝑎 = 4∶ 2 = 2 𝑎 = 2 parillinen 𝑎 = 2∶ 2 = 1
Jonon viimeinen jäsen on 𝑎 = 1, eli lukujonossa on 6 jäsentä.
b) Ensimmäinen jäsen on 7, joka on pariton.
𝑎 = 7 pariton 𝑎 = 7⋅3 + 1 = 22 𝑎 = 22 parillinen 𝑎 = 22∶ 2 = 11 𝑎 = 11 pariton 𝑎 = 11⋅3 + 1 = 34 𝑎 = 34 parillinen 𝑎 = 34∶ 2 = 17 𝑎 = 17 pariton 𝑎 = 17⋅3 + 1 = 52 𝑎 = 52 parillinen 𝑎 = 52∶ 2 = 26 𝑎 = 26 parillinen 𝑎 = 26∶ 2 = 13 𝑎 = 13 pariton 𝑎 = 13⋅3 + 1 = 40 𝑎 = 40 parillinen 𝑎 = 40∶ 2 = 20 𝑎 = 20 parillinen 𝑎 = 20∶ 2 = 10 𝑎 = 10 parillinen 𝑎 = 10∶ 2 = 5 𝑎 = 5 pariton 𝑎 = 5⋅3 + 1 = 16 𝑎 = 16 parillinen 𝑎 = 16∶ 2 = 8 𝑎 = 8 parillinen 𝑎 = 8∶ 2 = 4 𝑎 = 4 parillinen 𝑎 = 4∶ 2 = 2 𝑎 = 2 parillinen 𝑎 = 2∶ 2 = 1
Jonon viimeinen jäsen on 𝑎 = 1, eli lukujonossa on 17 jäsentä.
Vastaus: a) 6 jäsentä b) 17 jäsentä
