2.5. Lukujonon raja - - arvo arvo 2.5.1. Raja

2.5. Lukujonon raja

2.5. Lukujonon raja - - arvo arvo 2.5.1. Raja

2.5.1. Raja -arvon m - arvon mää ää ritelmä ritelm ä

Jono (a_n) suppenee kohti raja-arvoa a, jos sen termit a_n saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a, kun n valitaan riittävän suureksi.

TAI lim a_n = a TAI a_n → a, kun n → ∞ a

a_n

n

∞ =

lim

Jos raja-arvo olemassa, niin se on yksikäsitteinen eli lukujonolla voi olla vain yksi raja-arvo.

Merkintä:

Lukujono hajaantuu, jos sillä ei ole raja-arvoa

E.1. Lukujonon raja-arvo on ½.

Miten suuri on luvun n oltava, jotta termien arvot poikkeaisivat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001?

5 4

3 2

+

= + n a_n n

=

−a

a_{n − =}

+ +

2 1 5 4

3 2

n

n =

⋅ +

⋅

− + + +

2 ) 5 4 (

1 ) 5 4 ( ) 5 4 ( 2

) 3 2 ( 2

n n n

n =

+ −

− +

) 5 4 ( 2

5 4 6 4

n n n

10 8

1 + n

001 , 10 0

8

1 <

+ n

0,008n + 0,01 > 1 0,008 n > 0,99 n > 123,75

V: n:n arvosta 124 allkaen jonon termit poikkeavat raja-arvosta vähemmän kuin 0,001

Raja-arvoja c c

n

∞ =

lim

∞

∞ =

→ n

lim

0) (k

lim

∞

→ k n

n

1 0

lim

∞

→ n

n

0) (k

1 0

lim

∞

→ k

n n

ks. esimerkki 1 s. 116 - 117

Laskusääntöjä

lim a_n = a ja lim b_n = b 1. lim (ca_n) = ca

2. lim (a_n + b_n) = a + b 3. lim (a_n - b_n) = a - b 4. lim (a_n · b_n) = a · b

5. lim (a_n / b_n) = a / b , lim b_n = b ≠ 0

Raja-arvot lasketaan, kuten vastaavien funktioiden raja-arvot.

1) ”1) ”polynomi : polynomi”polynomi : polynomi”

Supista, nimittäjän korkeimmalla n:n potenssilla.

Tällöin äärettömyyteen menevät termit ovat nimittäjässä ja näiden termien raja-arvo on nolla.

2) ”2) ”juuri juuri –– juuri”juuri”

Lavenna lausekkeella ”juuri + juuri”, pääset tilanteeseen ääretön : ääretön.

Supista sitten nimittäjän korkeimmalla potenssilla.

HUOM: n² = n

E.2. Laske lukujonojen raja-arvot

5 4n

3n - a n

d) 1 n

1 - a 2n

c) 3 2n

2n a n

b) 1 n a n

a)

2 2 n

2 n 2 n

n = +

= + +

= −

= +

1

n n

a) lim

n

+ =

∞

→

1 1

lim 1

n

+

n

∞

→

1

1 1

=

3

2n 2 n

b)

2

lim

∞

→

n

3 ) 2

( n

2 ) (1 n

2 2

2

lim

+

−

∞

→

n n

n

3

2 1 2

2

lim

+

−

∞

→

n n

n

2

=

1

5 4n

3n - a n

d) 1 n

1 - a 2n

c)

2 2 n

n = +

= +

1

n

1 2n

c)

lim

∞

→

1 ) 1 ( n

1 ) n(2

lim

+

−

∞

→

n n

n

1

1 2 1

lim 1

+

⋅ −

∞

→

n n n

n

1 0 0

2

5

4n 3 n

d)

2

lim

∞

→

n

5 ) 4 ( n

3 ) (1 n

lim

+

−

∞

→

n n

n

5

4 1 3

lim

+

⋅ −

∞

→

n n n

n

∞

=

⋅

∞

4

1

E.3. Laske lukujonon raja-arvo

a

n

n

n

1

) 1 (

lim

∞

→

n n n ( 1 )

) 1 (

) 1 (

2 2

2 2

2 2

lim

+ +

+

+ +

+ +

−

= +

∞

→

n n n

n n

n n

n n

) 1 (

) 1 (

) (

2 2

2 2

lim

+ +

+

+

−

= +

∞

→

n n n

n n

n

) 1 (

1

2 n 2

lim

= −

∞

→

n n n

n

1 ) 1

( 1 )

1 ( (

1

2 2

n 2

lim

n n n n

n

+ +

+

= −

∞

→

2

n

1

1 ( 1 )

1 ( lim 1

n n n n

n

+ +

+

= −

∞

→

2

n

1

1 1 1

1 1 lim

n n

n

+

= −

∞

→

2

=

1

2.5.3. Monotonisen jonon suppeneminen 2.5.3. Monotonisen jonon suppeneminen

Jos jono on alhaalta rajoitettu ja jono on vähenevä niin jono suppenee.

Jos jono on ylhäältä rajoitettu ja jono on kasvava, niin jono suppenee.

E.4. Osoita, että lukujono E.4.

4 3

7 2

+

= − n

a_n n suppenee.

4 3

7 2 4 ) 1 ( 3

7 ) 1 ( 2

1 − +−

+ ++ −

=

+ −

n n n

a n a_{n n}

4 3

7 2 7 3

5 2

+

− − +

= −

n n n

n

) 4 3

)(

7 3

(

) 7 3

)(

7 2

( ) 4 3

)(

5 2

(

+ +

+

−

− +

= −

n n

n n

n n

) 4 3

)(

7 3

(

49 21

14 6

20 15

8

6 ^{2 2}

+

+ − − + +

−

−

= +

n n

n n

n n

n n

) 4 3

)(

7 3

(

29 +

= +

n

n > 0

=> a_n+1 > a_n ∀x. Lukujono a_n on aidosti kasvava

4 3

7 2

+

= − n a

n

4 3

2

< + n

n

Koska lukujono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin se suppenee.

n n 3

< 2

3

= 2

Lukujono ylhäältä rajoitettu

2.5.4. Geometrisen jonon suppeneminen 2.5.4. Geometrisen jonon suppeneminen

Geometrinen jono an = aqn-1 (a ≠ 0) suppenee, jos -1 < q ≤ 1 Jos -1 < q < 1 niin lim aq^n-1 = 0

Jos q = 1

jono on vakiojono a, a, a, … ja lim a_n = a

Muulloin jono hajaantuu.

E.5. Suppeneeko jono a) 1, 2, 4, 8, … b) 8, 4, 2, 1, … c) 2, -6, 18, -54, … d) 1, -1, 1, -1, …

a) q = 2 : 1 = 2, ei suppene b) q = 4 : 8 = ½, suppenee c) q = -6 : 2 = -3, ei suppene d) q = -1, ei suppene

E.6. Millä x:n arvoilla geometrinen jono a) 1, (x - 1), (x - 1)E.6. ², … b) 2, (3x - 4), … suppenee?

Geometrinen jono suppenee, kun -1 < q ≤ 1

a) b)

1 1

1 = −

= x− x q

1 1 1< − ≤

− x

2 0< x≤

2 2 3 2

4

3 − = −

= x x

q

1 2 2

1< 3 − ≤

− x

2 3 1< 3 x ≤

3 2

2 < x ≤

Jono heilahtelee rajoitetusti Jono heilahtelee rajoitetusti

esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy lukua a ja joka toinen lukua b, missä a ≠ b

Jono heilahtelee rajatta

esim. silloin kun joka toinen termi lähestyy + ∞ ja joka toinen lähestyy − ∞ (tai jotain äärellistä lukua a)